初中数学最短路径问题总结

初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述
问题一：在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .
作法：连接AB，与直线l 的交点即为P 点 .
原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为AB .
问题二：（“将军饮马问题”）在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .
作法：作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接AB' 与l 的交点即为点P．
原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为AB' .
问题三：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使得△PMN 的周长最小．
作法：分别作点P 关于两条直线的对称点P' 和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N．
原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长．
问题四：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小．
作法：分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q' 和P' 连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N.
原理：两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段Q'P' + PQ 的长．
问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n 上分别求点M、N，使MN⊥m，
且AM + MN + BN 的值最小．
作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A'，连接A'B，交n 于点N，过N 作NM⊥m 于M .
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为A'B + MN .
问题六：在直线l 上求两点M , N （M 在左），使MN = a , 并使AM + MN + NB 的值最小 .
作法：将点A 向右平移a 个长度单位得A'，作A' 关于直线l 的对称点A''，连接A''B 交直线l 于点N，
将N 点向左平移a 个单位得M .
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为A''B + MN .
问题七：在l1 上求点A，在l2 上求点B，使PA + AB 值最小 .
作法：作点P 关于l1 的对称点P'，作P'B⊥l2 于点B，交l1 于点A .
原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段P'B 的长 .
问题八：A 为l1上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点M，在l1上求点N，使AM + MN + NB 的值最小 .
作法：作点A 关于l2 的对称点A' , 点B 关于l1 的对称点B'，连接A'B' 交l2 于点M，交l1 于点N．
原理：两点之间线段最短．AM + MN + NB 的最小值为线段A'B' 的长．
问题九：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最小．
作法：连接AB，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P 点．
原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．| PA - PB | = 0 .
问题十：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．
作法：作直线AB，与直线l 的交点即为P 点．
原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB ，| PA - PB | 的最大值= AB . 问题十一：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．
作法：作点B 关于直线l 的对称点B' 作直线AB'，与直线l 的交点即为P 点．
原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB' ，| PA - PB | 的最大值= AB' . 问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P，
使得PA + PB + PC 的值最小 .
作法：所求点为“费马点”，即满足∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以AB 、AC 为边向外作等边△ABD、△ACE，连接CD、BE 相交于点P，点P 即为所求 .
原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值= CD .
二、“费马点”——到三点距离之和最小的点
费马点的构造方法：
①所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于120°；
②如下图所示：A , B , C 是给定的三点，
以AC 为边向外作正三角形得到点D , 以BC 为边向外作正三角形得到点E ,
连接BD 和AE 交于点O，我们断言点O 就是“费马点” .
费马点的证明方法：
先证△AEC ≌△DBC .
△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，可得到△DBC，从而△AEC ≌△DBC .
于是∠OBC = ∠OEC，所以O、B、E、C 四点共圆 .
拓展知识：四点共圆判定方法
若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .
所以∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证∠AOC = ∠AOB = 120°，所以∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
将O 点看作是AE 上的点，随着△AEC 一起绕点C 顺时针旋转60°得到点O2 , 所以∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以△OCO2 是等边三角形，于是有OO2 = OC .
所以BD = OA + OB + OC .。