高二数学测试题及答案

新博士教育高二数学摸底试卷
姓名： 得分：
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．若y x C C C 117117+=，则y x ,的值分别是 （ ）
A ．6,12==y x
B ．7,11==y x
C ．6,11==y x
D ．7,12==y x
2．已知直线α平面⊥m ，直线β平面⊂n ，给出下列四个命题： ①若βα//，则n m ⊥； ②若βα⊥，则n m //； ③若n m //，则βα⊥；
④若n m ⊥，则βα//.
其中正确的命题有 （ ）
A ．③④
B ．①③
C ．②④
D ．①②
3．5个人排成一排，若A 、B 、C 三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（ ）
A ．55
A
B ．33
33A A ⋅
C ．33
55A A D ．3
3A
4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5
位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ）
A ．
1
10
B ．
1
20
C ．
140
D ．
1120
5．一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的 点数m 、n 作为P 点坐标，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 （ ）
A ．9
1
B ．9
2
C ．3
1
D ．9
4
6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A 1表示第一次摸得白球，A 2
表示第二次摸得白球，则
A 1与A 2是
（ ）
A ．互斥事件
B ．独立事件
C ．对立事件
D ．不独立事件
7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有 （ ）
A ．144种
B ．180种
C ．240种
D ．300种
8．在（
31
2x
x -）8的展开式中常数项是 （ ）
A ．－28
B ．－7
C ．7
D ．28
9．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是 P 2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是 （ ）
A ．P 1+P 2
B ． P 1·P 2
C ．1－P 1·P 2
D ．1－(1－ P 1) (1－ P 2)
10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙 再取1个是红球的概率为
（ ）
A ．245
B ．415
C ．
8
25
D ．625
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

将正确答案填在题中横线上
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）．
12．已知斜三棱柱ABC A B C -111中，侧面BB C C 11的面积为S ，侧棱AA 1与侧面BB C C 11的距离
为d ，则斜三棱柱ABC A B C -111的体积V=______________．
13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F －V= ．
14．已知9
2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x a 的展开式中，3x 的系数为49，则常数a 的值为__________________．
三、解答题：本大题共6小题，满分76分．
15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士 耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．
16．（本题满分12分）如图，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， （1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥AB ；
（3）若平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 试确定θ的值，使得直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线．
17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立）．
（1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把， 于是，他逐把不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
19．（本题满分12分）已知n x )31(+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中
二项式系数的最大的项及系数最大项.
20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB AA ==341，，M 为AA 1 的
中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC 和NC 的长；
（3）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小 （用反三角函数表示）.
高二数学测试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．252 12．dS 2
1 13． 4 14．4
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解一：记事件A 为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A 的对立事件;A 为“中
国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有C 84种方法，即基本事件总数为C 84，
其中中国队与巴西队被分在两个小组有C C 2
163
种可能， ∴==
P A C C C
()21638
4
47
根据对立事件的概率加法公式 ∴=-=-=P A P A ()()1147
37
解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为37
.
答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为37
.
16．(12分) 证明： （1）取PD 中点E ，连接NE 、AE ，则四边形MNEA 是平行四边形，所以MN//AE ，所以MN//平面PAD
（2）连接AC 、BD 交于O ，连接OM 、ON ，因为ON//PA ，所以ON ⊥平面ABCD ，因为OM ⊥AB ，由三垂线定理知，MN ⊥AB ；
（3）∵PA ⊥面AC ，AD 是PD 在面AC 内的射影，CD ⊥AD ∴CD ⊥PD ∴∠PDA 是二面角P-CD-B
的平面角θ.当θ=45°时，AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥面PCD ∵MN ∥AE ∴MN ⊥面PCD ，∵PC ⊂面PCD ， ∴MN ⊥PC ，又由（2）知MN ⊥AB ，∴MN 是AB 与PC 的公垂线. 17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5， 在6个人需上网的条件下，r 个人同时上网这个事件（记为A r ）的概率为：
P(Ar)=)501(50C 66..r r r -⋅⋅-=50C 66.r ⋅=641C 6
r 式中r =0,1,2,…,6 第（1）问的解法一 应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A 3+A 4+A 5+A 6，因为A 3、A 4、A 5、A 6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A 3+A 4+A 5+A 6)= P(A 3)+P(A 4)+P(A 5)+P(A 6)
=641(C C C C 66
564636+++)=641(20+15+6+1)=32
21
解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A 0+A 1+A 2，因为A 0，A 1，A 2是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为
P=1－P （A 0+A 1+A 2）=1－[P(A 0)+P(A 1)+P(A 2)]=1－641(C C C 26
1606++)=1－641(1+6+15)=32
21 第（2）问的解法：记“至少r 个人同时上网”为事件B r ，则B r 的概率P(B r )随r 的增加而减
少，依题意是求满足P(B r )<0.3的整数r 的值，因为P(B 6)=P(A 6)=64
1<0.3， P(B 5)=P(A 5+A 6)= P(A 5)+P(A 6)=641(C C 66
56+)=64
7<0.3 P(B 4)=P(A 4+A 5+A 6)= P(A 4)+P(A 5)+P(A 6)=641(C C C 66
5646++)= 641 (15+6+1)=32
11>0.3 因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．
18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果．
（1）第三次打开房门的结果有A 4
4
种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)=A A 5544
=5
1． （2）三次内打开房门的结果有3A 4
4
种，因此所求概率P(A)=A A 355
44
=53． （3）解法一 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33·A 2
2种，从而三次内
打开的结果有A 55—A 33·A 2
2种，所求概率P(A)=
A A A 55
2
2
3
3-A 55⋅=10
9．
解法二 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有A A C 33121
312A 种；
三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种，因此，三次内找开的结果有A A C 3
3121312A +A 23A 33，所求概率P(A)=A C 553
3
2333121312A A A A A +=10
9． 19．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：C n n 2-，C n n
2-，C n n ，由题设得：C n n 2-+C n n 1-+C n
n =121 即C n 2+C n 1+C n 0=121,∴n 2+n －240=0 ∴n=15 (n=－16) (n=－16舍去) 当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C 715
37x 7与C
815
38x 8
∵展开式通项T r+1= C
r 15
(3x)r
= C
r 15
3r · x r 设T r+1项系数最大，则有
C r
153r ≥C r 1
15
-3r －1
C r
15
3r ≥C r 115+3r+1 解得11≤r ≤12,
∴展开式中系数最大的项为T 12= C 1115
311x 11
，T 13= C
1215
312x 12
20．(14分) 解：（1）正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角
线的长为949722+=
（2）如图1，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1
点P 1 的位置，连结MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线. 设PC=x ，则P 1C=x
在Rt MAP ∆1中，由勾股定理得：()322922
++=x
解得：x =2 ∴==PC PC 1
2 NC MA
P C P A
==1125
∴=NC 45
（3）如图2，连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线. 作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH 由三垂线定理得：CH PP ⊥1
∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 在Rt PHC ∆中， ∠=∠=︒PCH PCP 12
601
∴==CH PC 121 在Rt NCH ∆中，tan ∠NHC 故平面NMP 与平面ABC。