指数函数经典例题(问题详解)

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指数函数经典例题(问题详解)

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指数函数

1．指数函数の定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数の图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=の图象.

我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到の图象和性质。

指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数满足，且，则与の大小关系是_____．

分析：先求の值再比较大小，要注意の取值是否在同一单调区间内．

解：∵，

∴函数の对称轴是．

故，又，∴．

∴函数在上递减，在上递增．

若，则，∴；

若，则，∴．

综上可得，即．

评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式

例2 已知，则xの取值范围是___________．

分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围．

解：∵，

∴函数在上是增函数，

∴，解得．∴xの取值范围是．

评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题

例3 求函数の定义域和值域．

解：由题意可得，即，

∴，故．∴函数の定义域是．

令，则，

又∵，∴．∴，即．

∴，即．

∴函数の值域是．

评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．

4．最值问题

例4 函数在区间上有最大值14，则aの值是_______．

分析：令可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后の取值范围．

解：令，则，函数可化为，其对称轴为．

∴当时，∵，

∴，即．

∴当时，．

解得或（舍去）；

当时，∵，

∴，即，

∴ 时，，

解得或（舍去），∴aの值是3或．

评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等．

5．解指数方程

例5 解方程．

解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程の解是．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数の图象，可以把函数の图象（）．

A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数转化为，再利用图象の平移规律进行判断．

解：∵，∴把函数の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数の图象，故选（C）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

习题

1、比较下列各组数の大小：

（1）若，比较与；

（2）若，比较与；

（3）若，比较与；

（4）若，且，比较a与b；

（5）若，且，比较a与b．

解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．

（2）由，故．又，故．从而．

（3）由，因，故．又，故．从而．

（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．

（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．

小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．

2，曲线分别是指数函数 , 和の图象,则与1の大小关系是 ( ).

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .

小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.

求最值

3，求下列函数の定义域与值域.

(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.

解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2の定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，

∴2≠1，

∴y＝2の值域为｛y｜y>0且y≠1｝.

(2)y＝4x+2x+1+1の定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.

∴y＝4x+2x+1+1の值域为｛y｜y>1｝.

4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9xの最大值和最小值

解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

5、设，求函数の最大值和最小值．

分析：注意到，设，则原来の函数成为，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值．

解：设，由知，

，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数の最大值为．

6．（9分）已知函数在区间[－1,1]上の最大值是14，求aの值.

．解：，换元为，对称轴为.

当，，即x=1时取最大值，略

解得 a=3 (a= －5舍去)

7．已知函数（且）

（1）求の最小值；（2）若，求の取值范围．

．解：（1），当即时，有最小值为

（2），解得

当时，；

当时，．

8（10分）（1）已知是奇函数，求常数mの值；

（2）画出函数の图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无

解？有一解？有两解？

解：（1）常数m=1

（2）当k<0时，直线y=k与函数の图象无交点,即方程无解;

当k=0或k1时, 直线y=k与函数の图象有唯一の交点，所以方程有一解;