哈工大概率论与数理统计第二章条件概率与独立性

P( A1 A2 An )
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例2 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8，活25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这 种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设 A=“能活20岁以上”，B=“能活25岁以上”， 则 P(A)=0.8，P(B)=0.4， 而所求的概率为 P(B|A)=P(AB)/P(A).
P( A1 | B) P( A2 | B) P( An | B)

这就证明了条件概率的完全可加性.
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由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理， 所以由这些公理推得的一切结果对于条件概率同样 成立. 即 推论1 P(Φ |B)=0.
推论2 设A1,A2,…,An是互不相容的事件，则 P {(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B). 推论3 0≤P(A|B)≤1.

由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率 性质都适用于条件概率.
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由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0. 类似地有 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0.
这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下 面的定理. 定理2.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一 个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的 条件概率的乘积，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).

从而
P( A) 1 0.6 0.4 0.1 0.976
WangLi
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解二：
A A1 A1 A2 A1 A2 A3

显然，
A1 , A1 A2 , A1 A2 A3

是互不相容的，故
P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )

设样本空间S={e1,e2,…,en}，其中导致A，B和AB 发生的基本事件分别为m ，k ，r个(r≤m，r≤k).
如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个. 故


r r / n P( AB) P( A | B) k k/n P( B)

P(B)=40/100=0.40；


(b)P(AB)=35/100=0.35；
(c)P(A|B)=35/40=0.875， P(B|Ac)=5/15≈0.333.
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比较(a)与(c)中的结果 P(A)=0.85，P(A|B)=0.875 ； P(B)=0.40 ，P(B|Ac)= 1/3≈0.333； 可见 P(A|B)>P(A)，而P(B|Ac)<P(B). 这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁 大谁小也不能肯定. 由例1的结果 P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35， P(B)=0.40 还可以验证下面的式子成立： P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)>0)
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
P( An ) P( B | An )
P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
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n

解一 设 器皿被打破的事件为A， 器皿第i次扔下被打破事件为Ai (i=1,2,3)，


则
P( A) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
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依题意知：
P ( A1 ) 0.4 P ( A2 | A1 ) 0.6 P ( A3 | A1 A2 ) 0.9
由于BA，故AB=B，于是 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.
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例2 包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率为 0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若 又未破，第三次扔下被打破的概率为0.9，今将这 种包装了的器皿连续扔三次，求器皿打破的概率？
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例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下： 实验者 合格品数 次品数 总 计
第一台机床加工数
第二台机床加工数 总 计
35
50 85
5
10 15
40
60 100
WangLi
4

设
A=“从100个零件中任取一个为合格品”， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”， 求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|Ac). 解:(a)P(A)=85/100=0.85，
wangli21?因a与ac?互不相容故ba与bac?也互不相容?由概率加法公式和乘法定理得abpapabpapabpbapbp????551101029921010899110102??????wangli22?此结果说明抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无关它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介绍
WangLi
22

从例1求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事 件A与Ac，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然 后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B). 一般有下面的定理. 定理2.4 (全概率公式)设A1,A2,…,An是互不相容 的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B， 有A1+A2+…+AnB，则
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证 由于
P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 An1 ) 0

故
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )
P( A1 A2 An ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 An 1 )

P( AB) P( A | B) P( B)
WangLi
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定理2.1 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3.
证明 (ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0. (ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.

(ⅲ)设事件A1,A2,…,An ,…是互不相容的，则 A1B,A2B,…,AnB,… 也互不相容. 因此 P{(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+….


P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
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又因
25 35 40 P( A1 ) , P( A2 ) , P( A3 ) 100 100 100
5 4 2 P( B | A1 ) , P( B | A2 ) , P( B | A3 ) 100 100 100

故
25 5 35 4 40 2 P( B) 100 100 100 100 100 100 0.0345
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第二章

条件概率与独立性
2.3 贝叶斯(Bayes)公式
仍从例子(2.2例2)讲起.

例1 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%， 而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品 混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的 概率为多少？若抽到的一件产品是次品，试问这件 次品是甲、乙、丙车间生产的概率各为多少？又哪 一个概率最大？ WangLi 27

例1 设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是有 物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，求每人抓得有物 之阄的概率？
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解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. 显然，P(A)= 2/10，下面求P(B). 因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即 BA+Ac， 所以 B=B(A+Ac)=BA+BAc. 因 A与Ac 互不相容，故 BA与BAc 也互不相容，
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.9 0.976
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第二章

条件概率与独立性
2.2 全概率公式

在概率的计算中，人们是希望通过已知的简单事件 的概率去求未知的较复杂事件的概率. 在这里，全概率公式起了很重要的作用，先看一个 例子.
例2 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%， 而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品 混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的 概率为多少？ 解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品. 由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全 概率公式 3
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乘法定理很容易推广到个事件上去.
定理2.3设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2，且 P(A1A2…An-1)>0，则有 P(A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)…P(An| A1A2…An-1). 即


P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An 1 )
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由概率加法公式和乘法定理得
P ( B ) P ( BA) P ( BA ) P ( A) P ( B | A) P ( A ) P ( B | A ) 2 1 8 2 2 1 10 9 10 9 10 5


此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无 关，它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介 绍.
概率论与数理统 计课件
作者: 王 力
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概率论与数理统 计
第二章 条件概率与独立性
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第二章

条件概率与独立性
2.1 条件概率、乘法定理


在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外， 还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条 件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率，记 为 P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率. 严格说来，概率都是有条件的，因为试验都是在一 组固定的条件下进行的. 我们这里所说的条件，无非是指在原有的一组固定 条件外再增加一个附加条件:“B发生”.

P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
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n

证 因A1+A2+…+AnB，故 B=B(A1+A2+…+An)=BA1+ BA2+…+BAn.


由于A1,A2,…,An互不相容，故BA1,BA2,…,BAn也 互不相容. 由概率加法公式和乘法定理得

同理可证
P( AB) P( B | A) ( P( A) 0) P( A)
WangLi
8



但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下： 定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B). 即
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而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 即

P( AB) P( A | B) ( P( B) 0) P( B)


注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明之.
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这就证明了条件概率的完全可加性.
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P{( A1 A2 An ) | B} P{( A1 A2 An ) B} P( B) P( A1 B A2 B An B ) P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B) P( B)