平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间的位置关系

[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.

知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系

2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类

⎩⎨

⎧

有无公共点⎩⎪⎨

⎪⎧

直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行

(2)按直线是否在平面内分类

⎩

⎨⎧

直线在平面内——所有点在平面内

直线在平面外⎩⎪⎨

⎪⎧

直线与平面相交直线与平面平行

思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？

答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.

知识点二 两个平面的位置关系

思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.

题型一直线与平面的位置关系

例1 下列命题中，正确命题的个数是( )

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.

A.0

B.2

C.1

D.3

答案 C

解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，

AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.

跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 A

解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，

但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②

错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

题型二平面与平面的位置关系

例2 以下四个命题中，正确的命题有( )

①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.

A.③④

B.②③④

C.②④

D.①④

答案 A

解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.

跟踪训练2 两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.

其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 B

解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.

分类讨论思想

例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.

分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.

解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：

②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：

③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )

A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交

D.任意一条直线不相交

2.下列命题中，正确的命题是( )

A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α

B.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点

D.若a⊄α，则a与α没有公共点

3.下列命题中，正确的有( )

①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )

A.都平行

B.都相交

C.在两个平面内

D.至少与其中一个平面平行

5.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________.

一、选择题

1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )

A.b∥α

B.相交

C.b⊂α

D.b⊂α、相交或平行

2.与同一平面平行的两条直线( )

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行、相交或异面

3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )

A.α内的所有直线均与a异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内的直线均与a相交

D.直线a与平面α有公共点

4.以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.

其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

5.过平面外一条直线作平面的平行平面( )

A.必定可以并且只可以作一个

B.至少可以作一个

C.至多可以作一个

D.一定不能作

6.下列命题正确的是( )

①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；

②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；

③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；

④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.

A.①

B.②③④

C.①②③

D.①④