2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》
§2.2
函数的单调性与最值
最新考纲
1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何
意义.2.
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
1．函数的单调性(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的
任意两个自变量的值x 1，x 2
当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数
当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值
前提
设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件
(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；
(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示
对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．
2．写出对勾函数y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间．
提示
(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(3)函数y ＝1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(
×
)
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×
)
(5)所有的单调函数都有最值．(×)
题组二
教材改编
2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案
[1，＋∞)(或(1，＋∞))
3．函数y ＝2
x －1在[2,3]上的最大值是______．
答案
2
4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]
解析
由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三
易错自纠
5．函数y ＝12
log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案
(2，＋∞)
6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2
解析
∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，
∴a ＝2.
7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案
[－1,1)
解析－2≤a＋1≤2，
－2≤2a≤2，
a＋1>2a，
解得－1≤a<1.
8．函数f(x)1
x，x≥1，
－x2＋2，x<1
的最大值为________．
答案2
解析当x≥1时，函数f(x)＝1
x为减函数，
所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；
当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
题型一确定函数的单调性
命题点1求函数的单调区间
例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()
A．(－∞，－2)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)
答案D
解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．
答案[－1,0]，[1，＋∞)
解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
命题点2讨论函数的单调性
例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1
x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．
解
函数f (x )＝ax 2＋1
x
(1<a <3)在[1,2]上单调递增．
证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 2
1－
1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－
1
x 1x 2，
由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－
1x 1x 2<－1
4
.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2
>0，
从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究
如何用导数法求解本例？解
f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1
x 2
，
因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，
所以函数f (x )＝ax 2＋1
x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．
思维升华
确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和
导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”
的是(
)
A ．f (x )＝2x
B ．f (x )＝|x －1|
C ．f (x )＝1
x －x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
答案C
解析
由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增
函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1
x
与y ＝－x 在(0，
＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．
(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案
(－∞，2]
解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．
(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]
解析
f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.
画出f (x )图象，
由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．
题型二
函数的最值
1．函数y ＝x 2－1
x 2
＋1的值域为____________．
答案[－1,1)
解析
由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y
.
由x 2≥0，知
1＋y
1－y
≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2
解析
由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.
可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，
则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，
所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.
3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案
[3，＋∞)
解析
函数y 2x ＋1，x ≤－1，
，－1<x <2，
x －1，x ≥2.
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1
x －2的值域为________________．
答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝
3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2
＝3＋7
x －2，
因为
7x －2≠0，所以3＋7
x －2
≠3，所以函数y ＝
3x ＋1
x －2
的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．
5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3
解析
由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以
f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
答案B 解析
方法一
设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，
则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 2
2＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，
显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二
由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着
b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.
思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：形如求y＝cx＋d
ax＋b
(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
题型三函数单调性的应用
命题点1比较函数值的大小
例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2
－x1)<0恒成立，设a＝f －
1
2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案D
解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a
＝f －
1
2f
5
22<5
2
<3，所以b>a>c.
命题点2解函数不等式
例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()
A．{x|－3<x<0或x>3}
B．{x|x<－3或0<x<3}
C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3<x<0或0<x<3}
答案B
解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，
∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.
∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，
∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.
∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；
当x<－3时，f(x)<0.
则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3
求参数的取值范围
例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()
A.π4
B.π2
C.3π4
D ．π
答案C
解析
∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin
∴当x －π4∈－π2，
π2，即x ∈－π4，3π
4时，
y ＝sin
f (x )＝－2sin ∴－π4，
3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，
3π4，∴a ≤
3π4，即a max ＝3π4
.
(2)已知函数f (x )2＋1
2a －2，x ≤1，
x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范
围为________．答案
(1,2]
解析由题意，得12＋1
2a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的
取值范围为1<a ≤2.
(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]
解析
设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增
函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，
∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2
(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1
满足对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0
成立，那么a 的取值范围是________．
答案32
，解析
对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0，
所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．
－a >0，>1，
2－a )×1＋1≤a ，
解得3
2
≤a <2.
故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －
1)<f x 的取值范围是______________．答案12，
解析
因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <2
3
.
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A ．y ＝ln(x ＋2)
B ．y ＝－x ＋1
C ．y
D ．y ＝x ＋
1x
答案
A
解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()
A．(－∞，1]B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)
答案B
解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()
A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)
答案A
解析因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)>f(3)>f(2)，
即f(π)>f(－3)>f(－2)．
4．已知函数f(
x)
－2a)x，x≤1，
a x＋
1
3，x>1，
当x1≠x2时，
f(x1)－f(x2)
x1－x2
<0，
则a的取值范围是()
，1
3 B.
1
3，
1
2
，1
2 D.
1
4，
1
3
答案A
解析当x1≠x2时，
f(x1)－f(x2)
x1－x2
<0，
∴f(x)是R上的减函数．
∵f(x
)
－2a)x，x≤1，
a x＋
1
3，x
>1，
－2a<1，
a<1，
－2a≥1
3，
∴0<a≤
1
3
.
5．设f (x )x －a )2，x ≤0，
＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]答案
D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.
∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.
6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，
＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的(
)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件答案
A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，
则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.
由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，
所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．
7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．
答案
a >
b >
c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，
∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，
且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，
∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .
8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14
，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当
a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a
，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且
－1a ≥4，解得－14
≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.
9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．
答案
6
解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，
－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.
10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，
2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a
的取值范围是__________________．
答案
(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，
由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，
需满足a ≥4或a ＋1≤2，
即a ≤1或a ≥4.
11．已知f (x )＝x x －a
(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．
(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2
.设x 1<x 2<－2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．
(2)解设1<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2x 2－a
＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )
.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，
只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，
所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.
12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.
(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.
从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.
∴F (x )x ＋1)2，x >0，
(x ＋1)2，x <0.
(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，
∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，
由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2
≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
13．已知函数f (x )3，x ≤0，
(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(
)A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－1,2)
D ．(－2,1)答案
D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，
∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.
14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，
x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实
数a 的取值范围是________．
答案
(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，
∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，
即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，
∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，
∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．
15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．
答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知
函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14
，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.
(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；
(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．
解(1)2－1>0，
x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.
∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．
(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，
∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，
∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．
设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，
∴(－1)≥0，
(1)≥0，m ＋m 2≥0，
2m ＋m 2≥0，
解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，
即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。