2021-2022学年北京某校九年级(上)开学数学试卷祥细答案与解析
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2021-2022学年北京某校九年级(上)开学数学试卷
一、选择题(本题共32分,每小题4分)在下列各题的选项中,只有一个是符合题意的.
1. √1−x实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x>1
B.x≥1
C.x<1
D.x≤1
2. 垃圾分类功在当代利在千秋,下列垃圾分类指引标志图形中,是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.厨余垃圾FoodWaste
B.可回收物Recyclable
C.其他垃圾ResidualWaste
D.有害垃圾HazardousWaste
3. 下列各式中,从左向右变形正确的是()
A.√4=±2
B.√(−3)2=3
C.√6=√−2×√−3
D.√8+√2=√10
4. 已知P1(−2, m),P2(1, n)是函数y=−2x+1图象上的两个点,则m与n的大小关系是()
A.m>n
B.m<n
C.m=n
D.无法确定
5. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120∘,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个
动点,若AB=2,则PB+PE的最小值是()
A.1
B.√3
C.2
D.2√3
6. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=2,∠ABO=60∘,线段EF绕点O转动,与AD,BC分别相交于点E,F,当∠AOE=60∘时,EF的长为()
A.1
B.
C.2
D.4
7. 已知△ABC(如图1),按图2图3所示的尺规作图痕迹,(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是()
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8. 如图,动点P在边长为2的等边△ABC的边上.它从点A出发,沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动.如果点P的运动时间为t秒,点P与点C之间的距离记为y,那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是()
A. B.
C. D.
二、填空趣(本趣共24分,每小题4分)
写出一个比大且比小的整数是________.
已知关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0,则a的值为
________.
一次函数图象经过第一、二、三象限,且过点(0, 2),写出一个满足条件的一次函数表达式________.
在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC=1,点Q在直线BC上,且AQ=2,则线段BQ 的长为________.
如图,△ABC的周长为17,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为点N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为点M,若BC=6,则MN的长度为________.
在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b与y2=x+m的图象如图所示,若它们的交点的横坐标为2,则下列三个结论中正确的是________(填写序号).
①直线y2=x+m与x轴所夹锐角等于45∘;
②k+b>0;
③关于x的不等式kx+b<x+m的解集是x<2.
三、解答题(本题共44分,第15、16题每題5分,第17、18题每题7分,第19、20题每题6分,第21题8分)
解方程:x2+3x−1=0(公式法).
已知x=+1,求代数式x2−2x的值.
关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为符合条件的最大整数,求此时方程的解.
如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG // EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1, 2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b 的值,直接写出m的取值范围.
2017年国务院印发《新一代人工智能发展规划》,将人工智能上升为国家战略,我国
人工智能领域迎来新的发展契机.根据相关信息,回答问题:
(1)图1反映了我国人工智能专利授权量(单位:件)近些年的变化情况.2017年,
中国人工智能专利授权量为________件;
(2)图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图.
数据被分成5组,其中在100≤x<200之间的数据分是129,154,155,165,170,170,186,190.则20个专利授权量的中位数是________;
(3)2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直
应用三个分支位于前20的统计折线图如图3.依据折线图推断,基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是________.
在△ABC中,∠C=90∘,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
四、附加题(本题10分)
在平面直角坐标系xOy中,把图形G上的点到直线l距离的最大值d定义为图形G到直线l 的最大距离.
如图1,直线l经过(0, 3)点且垂直于y轴,A(−2, 2),B(2, 2),C(0, −2),则△ABC到直线l的最大距离为5.
(1)如图2,正方形ABCD的中心在原点,顶点都在坐标轴上,A(0, 2).
①求正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离.
②当正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于3√2时,直接写出b的取值范围.
(2)若正方形边长为2,中心P在x轴上,且有一条边垂直于x轴,该正方形到直线y=x的最大距离大于2√2,求P点横坐标的取值范围.
参考答案与试题解析
2021-2022学年北京某校九年级(上)开学数学试卷
一、选择题(本题共32分,每小题4分)在下列各题的选项中,只有一个是符合题意的.
1.
【答案】
D
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【解答】
∵√1−x实数范围内有意义,
∴1−x≥0,解得x≤1.
2.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意.
3.
【答案】
B
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得.
【解答】
A.√4=2,此选项错误;
B.√(−3)2=|−3|=3,此选项计算正确;
C.√6=√2×√3,此选项错误;
D.√8+√2=2√2+√2=3√2,此选项错误;
4.
A
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再根据−2<1即可得出结论.
【解答】
∵一次函数y=−2x+1中,k=−4<0,
∴y随着x的增大而减小.
∵P1(−4, m),P2(1, n)是函数y=−3x+1图象上的两个点,
∴m>n.
5.
【答案】
B
【考点】
轴对称——最短路线问题
菱形的性质
【解析】
找出B点关于AC的对称点D,连接DE交AC于P,则DE就是PB+PE的最小值,求出即可.
【解答】
解:连接DE交AC于P,连接DE,DB,
由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,
∴PE+PB=PE+PD=DE,
即DE就是PE+PB的最小值,
∵∠ABC=120∘,
∴∠BAD=60∘,
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形,
∵AE=BE,
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质).
在Rt△ADE中,DE=√AD2−AE2=√3.
即PB+PE的最小值为√3,
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
等边三角形的性质与判定
矩形的性质
【解析】
证得△ABO为等边三角形,得出∠BAO=60∘,由三角形内角和求出∠AEO=90∘,得出四边形ABFE为矩形,则可得出答案.
【解答】
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB,∠ABC=∠BAD=90∘,
又∵∠ABO=60∘,
∴△ABO为等边三角形,
∴∠BAO=60∘,
∴∠OAE=30∘,
∵线段EF绕点O转动,∠AOE=60∘,
∴∠AEO=180∘−60∘−30∘=90∘,
∴四边形ABFE为矩形,
∴AB=EF=2.
7.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的判定
全等三角形的判定
【解析】
根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可.
【解答】
由图可知先作AC的垂直平分线,再连接AC的中点O与B点,并延长使BO=OD,
可得:AO=OC,BO=OD,
进而得出四边形ABCD是平行四边形,
8.
【答案】
D
【考点】
动点问题
分段求出函数表达式即可求解.
【解答】
当点P在点H右侧时,
y=PC=√CH2+PH2=√32+(5−t)2=√t2−10t+28(1)该函数为一条曲线,
当点P在CH左侧时,同理函数为一条曲线(2)故选:D.
二、填空趣(本趣共24分,每小题4分)
【答案】
2或3
【考点】
估算无理数的大小
【解析】
首先估算与的取值范围,再确定有哪些整数.
【解答】
∵,3<4,
∴比大且比,3.
【答案】
−2
【考点】
一元二次方程的解
一元二次方程的定义
【解析】
方程的根即方程的解,就是能使方程两边相等的未知数的值,利用方程解的定义就可以得到关于a的方程,从而求得a的值.
【解答】
解:把0代入方程有:
a2−4=0,
a2=4,
∴a=±2;
∵a−2≠0,
∴a=−2,
故答案为:−2.
【答案】
y=x+2
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
一次函数的性质
【解析】
由一次函数的图象经过的象限判断出k,b的取值范围,然后根据其经过的点即可确定最后的答案.
∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,
∴k>0,b>0,
∵经过(6, 2),
∴一次函数可以是y=x+2
【答案】
+1或−1
【考点】
等腰直角三角形
【解析】
分两种情况:(1)点Q在线段BC的延长线上;(2)点Q在线段CB的延长线上,分别用勾股定理求得QC的长,情况(1)中BQ=QC+BC,情况(2)中BQ=QC−BC.【解答】
(2)点Q在线段CB的延长线上,如图:
∵∠ACB=90∘,AC=1,
∴QC==,
∵BC=1,
∴BQ=QC−BC=−1.
综上,线段BQ的长为−1.
故答案为:+2或.
【答案】
2.5
【考点】
等腰三角形的性质:三线合一
三角形中位线定理
角平分线的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
证明△BNA≅△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可.
【解答】
解:如图,连结MN,
∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,
∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,在△BNA和△BNE中,
{∠ABN=∠EBN,BN=BN,∠ANB=∠ENB,
∴△BNA≅△BNE(ASA),
∴BA=BE,
∴△BAE是等腰三角形,
同理△CAD是等腰三角形,
∴点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),
∴MN是△ADE的中位线,
∵BE+CD=AB+AC=17−BC=17−6=11,
∴DE=BE+CD−BC=5,
∴MN=1
2
DE=2.5.
故答案为:2.5.
【答案】
①②
【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系,根据图象观察,得出结论.
【解答】
解:由y2=x+m知:直线与坐标轴的截距相等,所以y2=x+m与x轴所夹锐角等于45∘,故①的结论正确;
由图知:当x=5时,函数y1图象对应的点在x轴的上方,因此k+b>0故②的结论正确;
由图知:当x>7时,函数y1图象对应的点都在y2的图象下方,因此关于x的不等式
kx+b<x+m的解集是x>2.
故答案为:①②.
三、解答题(本题共44分,第15、16题每題5分,第17、18题每题7分,第19、20题每题6分,第21题8分)
【答案】
∵a=1,b=3
△=b8−4ac=13>0
∴x==
x1=,x2=-.
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
根据公式法,可得方程的解.
【解答】
∵a=1,b=3
△=b8−4ac=13>0
∴x==
x1=,x2=-.
【答案】
x2−2x=x(x−7),
当x=+1时,
原式=(+1)(
=2.
【考点】
二次根式的化简求值
【解析】
直接将原式分解因式,再把x的值代入进而计算得出答案.【解答】
x2−2x=x(x−7),
当x=+1时,
原式=(+1)(
=2.
【答案】
根据题意得△=1−4m>6,
解得m<;
∵m≤,
∴m的最大整数为0,
此时方程变形为x3+x=0,解得x1=6,x2=−1.
【考点】
根的判别式
【解析】
(1)根据判别式的意义得到△=1−4m≥0,然后解不等式即可得到m的范围;(2)在(1)中m的取值范围内确定满足条件的m的值,再解方程即可得到结论.【解答】
根据题意得△=1−4m>6,
解得m<;
∵m≤,
∴m的最大整数为0,
此时方程变形为x3+x=0,解得x1=6,x2=−1.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,∠DAO=∠BAO.
∵E是AD的中点,
AD,
∴AE=OE=1
2
∴∠EAO=∠AOE,
∴∠AOE=∠BAO,
∴OE // FG.
∵OG // EF,
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB,
∴∠EFG=90∘,
∴四边形OEFG是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AB=AD=10,
∴∠AOD=90∘.
∵E是AD的中点,
AD=5.
∴OE=AE=1
2
由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴FG=OE=5.
∵AE=5,EF=4,
∴AF=√AE2−EF2=3,
∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2.
【考点】
矩形的判定
矩形的性质
菱形的性质
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
AD,推出
(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC,∠DAO=∠BAO,得到AE=OE=1
2
OE // FG,求得四边形OEFG是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论;
AD=5;由(1)(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC,AB=AD=10,得到OE=AE=1
2
知,四边形OEFG是矩形,求得FG=OE=5,根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3,于是得到结论.
【解答】
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,∠DAO=∠BAO.
∵E是AD的中点,
AD,
∴AE=OE=1
2
∴∠EAO=∠AOE,
∴∠AOE=∠BAO,
∴OE // FG.
∵OG // EF,
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB,
∴∠EFG=90∘,
∴四边形OEFG是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AB=AD=10,
∴∠AOD=90∘.
∵E是AD的中点,
AD=5.
∴OE=AE=1
2
由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴FG=OE=5.
∵AE=5,EF=4,
∴AF=√AE2−EF2=3,
∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2.
【答案】
解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到,
∴k=1,
将点(1, 2)代入y=x+b,
得1+b=2,解得b=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1.
(2)把点(1, 2)代入y=mx,求得m=2,
∵当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值,
∴m≥2.
【考点】
一次函数图象与系数的关系
一次函数图象与几何变换
【解析】
(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1,再将点A(1, 2)代入y=x+b,求出b的值,即可得到一次函数的解析式;
(2)根据点(1, 2)结合图象即可求得.
【解答】
解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到,
∴k=1,
将点(1, 2)代入y=x+b,
得1+b=2,解得b=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1.
(2)把点(1, 2)代入y=mx,求得m=2,
∵当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值,
∴m≥2.
【答案】
17477
141.5
基础硬件
【考点】
频数(率)分布直方图
中位数
频数(率)分布折线图
方差
【解析】
(1)根据图1中的数据,可以写出2017年,中国人工智能专利授权量;(2)根据题意和题目中的数据,可以得到20个专利授权量的中位数;(3)根据图3中的数据和波动越小,方差越小,可以解答本题.
【解答】
由图1可知,
2017年,中国人工智能专利授权量为17477件,
故答案为:17477;
由题意可得,
20个专利授权量的中位数是(129+154)÷2=141.2,
故答案为:141.5;
由图3可知,
基础硬件波动最小,故三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件,故答案为:基础硬件.
【答案】
解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,
∴DE // BC,DE=1
2
BC,
∵∠ACB=90∘,
∴∠DEC=90∘,
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90∘,
∴四边形CEDF是矩形,
∴DE=CF=1
2
BC,
∴CF=BF=b,
∵CE=AE=a,
∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2;
(2)AE2+BF2=EF2.
证明:过点B作BM // AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,
则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90∘,
∵D点是AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADE和△BDM中,
{∠AED=∠BMD,∠ADE=∠BDM, AD=BD,
∴△ADE≅△BDM(AAS),∴AE=BM,DE=DM,∵DF⊥DE,
∴EF=MF,
∵BM2+BF2=MF2,
∴AE2+BF2=EF2.
【考点】
动点问题
勾股定理
三角形中位线定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
(1)由三角形的中位线定理得DE // BC,DE=1
2
BC,进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF,得出CF,再根据勾股定理得结果;
(2)过点B作BM // AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△ADE≅△BDM得AE=BM,DE=DM,由垂直平分线的判定定理得EF=MF,进而根据勾股定理得结论.【解答】
解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,
∴DE // BC,DE=1
2
BC,
∵∠ACB=90∘,
∴∠DEC=90∘,
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90∘,
∴四边形CEDF是矩形,
∴DE=CF=1
2
BC,
∴CF=BF=b,
∵CE=AE=a,
∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2;
(2)AE2+BF2=EF2.
证明:过点B作BM // AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,
则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90∘,
∵D点是AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADE和△BDM中,
{∠AED=∠BMD,∠ADE=∠BDM, AD=BD,
∴△ADE≅△BDM(AAS),
∴AE=BM,DE=DM,
∵DF⊥DE,
∴EF=MF,
∵BM2+BF2=MF2,
∴AE2+BF2=EF2.
四、附加题(本题10分)
【答案】
①如图2,延长CB交直线y=x+4于点E,记直线y=x+4与y轴交于点F,与x轴交于点G,
令x=0,得y=x+4=4,
∴F(0, 4),
∴OF=4,
令y=0,得y=x+4=0,
解得,x=−4,
∴G(−4, 0),
∴OG=4,
∴OF=OG,
∴∠OGF=∠OFG=45∘,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45∘,
∴EF=EC,∠CEF=90∘,
∵A(0, 2),
∴OA=2,
∴OA=OC=2,
∴CF=OC+OF=6,
∵CE2+EF2=CF2,
∴CE=EF=3√2,
即正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离为3√2;
②由①可知,当b=4时,正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离为3√2,
若要使正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于3√2,
则b的取值范围为:−4<b<4;
当正方形ABCD在如图3所示位置时,该正方形到直线y=x的距离为2√2,
此时点P的横坐标为−2或2,
若要该正方形到直线y=x的最大距离大于为2√2,
则点P横坐标的取值范围为x<−2或x>2.
【考点】
一次函数的综合题
【解析】
(1)①延长CB交直线y=x+4于点E,根据正方形的性质和勾股定理求出CE的长度便是正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离;
②由①可知,当b=4时,正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离为3√2,不难知道当b=−4时,正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离也应该为3√2,由此便可得出正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于3√2时的b的取值范围;
(2)根据最大距离的定义,确定最大距离为2√2时P点的位置,便可求得P点的横坐标的取值范围.
【解答】
①如图2,延长CB交直线y=x+4于点E,记直线y=x+4与y轴交于点F,与x轴交于点G,
令x=0,得y=x+4=4,
∴F(0, 4),
∴OF=4,
令y=0,得y=x+4=0,
解得,x=−4,
∴G(−4, 0),
∴OG=4,
∴OF=OG,
∴∠OGF=∠OFG=45∘,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45∘,
∴EF=EC,∠CEF=90∘,
∵A(0, 2),
∴OA=2,
∴OA=OC=2,
∴CF=OC+OF=6,
∵CE2+EF2=CF2,
∴CE=EF=3√2,
即正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离为3√2;
②由①可知,当b=4时,正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离为3√2,若要使正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于3√2,
则b的取值范围为:−4<b<4;
当正方形ABCD在如图3所示位置时,该正方形到直线y=x的距离为2√2,
此时点P的横坐标为−2或2,
若要该正方形到直线y=x的最大距离大于为2√2,则点P横坐标的取值范围为x<−2或x>2.。