2020版数学人教A版必修一同步进阶攻略课件：3章本章总结

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[例 3] 2008 年北京奥运火炬传递跨越了世界最高峰——珠 穆朗玛峰，火炬传递经历低温、缺氧、风速大、攀登难的挑战．设 海拔 x m 处的大气压是 y Pa，y 与 x 之间的函数关系式是 y＝cekx， (其中 c，k 为常数)，若某火炬手从大气压为 1.01×105 Pa 的海平 面地区，到了海拔 1 000 m 的高原地区，测得大气压为 0.90×105 Pa，感觉没有明显的高原反应，于是向海拔 8 000 m 进军，从身 体需氧的角度讲，当大气压低于 0.775×105 Pa 时就会比较危险， 请你分析这位火炬手是否有危险？
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[点评] 用待定系数法求出函数解析式后，要会利用所得函 数模型解决问题．
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[例 4] 阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练．如图 ①，实线表示父亲离家的路程(m)与时间(min)的函数关系，虚线 表示儿子离家的路程(m)与时间(min)的函数关系．由图象可知， 他们在出发 10 min 时相遇一次，此时离家 400 m；晨练了 30 min， 他们同时到家．”根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐 标系(图②)，求解下列问题：一巡逻艇和一货轮同时从 A 港口前 往相距 100 km 的 B 港口，巡逻艇和货轮的速度分别为 100 km/h 和 20 km/h，巡逻艇不停地往返于 A，B 两港口巡逻(巡逻艇掉头 的时间忽略不计)．
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(1)货轮从 A 港口出发以后直到 B 港口与巡逻艇一共相遇了 几次(开始出发时相遇不计入相遇次数)?
(2)出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时距 A 港口 多少千米？
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[解] 如图所示，在坐标系中画出巡逻艇距离 A 港口的路程 (km)与时间(h)的图象如实线所示，画出货轮距离 A 港口的路程Leabharlann (km)与时间(h)的图象如虚线所示．
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[例 5] 设 a∈R，试讨论关于 x 的方程 lg(x－1)＋lg(3－x) ＝lg(a－x)的实根的个数．
x－1>0， [解] 原方程⇔a3－－xx>>00，，
x－13－x＝a－x. 即 x3－－1x>>00， ，
x－13－x＝a－x. 整理，得－x2＋5x－3＝a(1<x<3)．
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[解] (1)画出 f(x)的图象，如图 1，从图象可以看出，图象 与 x 轴没有交点，f(x)没有零点．
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(2)从图 1 可以看出 f(x)>0. 对于 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，f(x) 的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于 1，否则 g(x)＝0 就 有两个根了． k 应该限制为－1<k<0.几何解释如图 2. (3)有，x＝0，它来源于 2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1 ＝0. (4)规定 k 的范围是{k|k≤－1}．
(2)当 a＝143，或 1<a≤3 时，函数图象有一个交点，故原方 程有一个实数根；
(3)当 3<a<143时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实 数根．
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(1)从图象可知，货轮从 A 港口出发以后直到 B 港口与巡逻 艇一共相遇了 4 次．
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(2)从图象看出，巡逻艇与货轮第三次相遇是在出发后的 3～ 4 h 内，设 OC 所在直线为 y1＝mx(m≠0)，∵过点 C(5,100)，∴ 100＝5m，m＝20，∴y1＝20x.
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[点评] 本题中，图象交点的个数就意味着货轮与巡逻艇相 遇的次数，注意二者之间的这种“对应”关系，正是实际问题与 数学问题之间关系的反映，注意仔细体会图象法解题的优越性．
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专题三 函数与方程思想的应用 函数思想，是用运动的和变化的观点，集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函 数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得 解决． 方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建 立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决． 本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程 f(x)＝0 的实数根，就是确定函数 y＝f(x)的零点，就是求函数 y＝f(x)的 图象与 x 轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模， 解决实际问题．
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[例 2] 已知 f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n 是 f(x)的零
点，且 m<n，则实数 a，b，m，n 的大小关系是( A )
A．m<a<b<n
B．a<m<n<b
C．a<m<b<n
D．m<a<n<b
[分析] 由 m，n 是 f(x)的零点知 f(m)＝f(n)＝0，采用数形结
合法知，f(x)的零点实际上就是(x－a)(x－b)＝1 的根，即 y＝(x
－a)(x－b)与 y＝1 交点的横坐标．
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[解析] 作出 y＝1 与 y＝(x－a)(x－b)的图象如图． 由图得知 m<a<b<n.
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专题二 函数模型及应用 把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应 用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应 用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给 定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题； 3.建立拟合函数模型解决实际问题．
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[例 1] 设 f(x)＝2－x，x，x≥x<00，. (1)f(x)有零点吗？ (2)设 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，k 应该怎样限制？ (3)当 k＝－1 时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如 果没有，请说明理由； (4)请给 k 规定一个范围，使得方程 g(x)＝0 总有两个根．
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在同一坐标系中分别作出函数 y＝a 及 y＝－x2＋5x－3，x ∈(1,3)的图象，如图所示：当 x＝1 时，y＝1；当 x＝3 时，y＝3； 当 x＝52时，ymax＝143.
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(1)当 a>143，或 a≤1 时，函数图象无交点，故原方程无实数 根；
第三章
函数的应用
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本章总结
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专题一 函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x) ＝0 是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图 象与 x 轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的 关系，可以解决函数、方程与不等式的问题． 确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二 是利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性， 特别是二重根容易漏掉．
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设 EF 所在直线为 y2＝kx＋b (k≠0)， ∵过 E(3,100)，F(4,0)， ∴34kk＋ ＋bb＝ ＝10， 00， ∴kb＝＝－40100，0， ∴y2＝－100x＋400. 由－100x＋400＝20x，解得 x＝130，即出发130 h 时巡逻艇与 货轮第三次相遇，此时距 A 港口 20×130＝2300(km)．
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[解] 因为 y＝c·ekx，当海拔为 0 m 时，大气压为 1.01×105 Pa，当海拔为 1 000 m 时，大气压为 0.90×105 Pa，把两组数据 代入解析式得10..0910× ×110055＝ ＝cc··ee01，000k.
c＝1.01×105， 解得k＝1 0100ln19001≈－1.153×10－4， 可得 y＝1.01×105·e－1.153×10－4·x，当 x＝8 000 时，y＝1.01×105·e －1.153×10－4×8 000≈0.402×105<0.775×105， 因此，这位火炬手有危险．