趋势外推法ppt课件

两边取对数：ln yˆt ln a bt
产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
yˆt 303.69 e0.0627t
20
其中调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 73.1738 22.2719 0.5556t
预测2000年的社会总需求量:
yt 73.1738 22.2719 0.55569 73.1
29
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增
长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
16
年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt ,
t 0,1,2,3n 1
n1
2n1
3n1
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
n
1
B1
1 n
S1
S2 S1
n
B 1
22
修正指数曲线预测模型
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发 现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因 此，运用方程：
yˆt 577.24 44.33t 3.29t2
进行预测将会取得较好的效果。
21
修正指数曲线模型的参数估计及应用
对于修正指数曲线模型
yt
K ABt
一般0<B<1, y=K为其渐进线水平。
用三段总和法来估计参数,设时间序列的数据为
5
三、趋势模型的选择方法 经验法: 数学和经济分析结合,选定模型 图形识别法：
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。
有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可 试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。
套用参数估计公式,注意到,yt一般பைடு நூலகம்是等间隔的时期或时点
指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起
到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性
及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取
值以原点为对称,从而有
t 0
化简公式为
b
tyt t2
a
1 T
yt
9
例1:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测
趋势外推法
一、趋势外推法概念： 如果通过对时间序列的分析和计算, 能找
到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经 济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理 由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便 可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测, 这就是趋势外推法。
1
趋势外推法的两个假定： （1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃
1966 0
1967 1
1679.3 1972 6 1962.7 1978 12 2149.3
1722.1 1973 7 2007.9 1979 13 2184.6
1968 2 1766.3 1974 8 2034.5 1980 14 2210.7
1969 3 1808.2 1975 9 2063.9 1981 15 2230.9
差分特性 一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等 三阶差分相等或大致相等
环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
使用模型 一次线性模型 二次线性模型 三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
8
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
y t a bt
yt
1
L aebt
31
皮尔曲线适用于生物繁殖、人口发展统计与预测;尤其适合处
于成熟期的商品或技术的发展趋势分析与预测。
模型的识别:
倒数的一阶差分比率为
模型的参数估计及应用:
1 yt
1 yt 1
1 yt 1
1 yt2
e b
1 1 a e bt
yt
LL
令 则有
Yt
1 ,K yt
1,A L
a , B eb L
6
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
7
差分法识别标准：
1970 4 1971 5
1860.4 1976 10 2092.6 1982 16 2257.6 1915.2 1977 11 2117.9 1983 17 2269.5
33
解:人口的数量变动一般符合皮尔曲线所反映的规律。 通过计算时间序列数据倒数的一阶差分比率,确定选用该模型。 所求皮尔曲线趋势预测模型为:
1）模型的形式
yˆt K abt
23
2）模型的识别
24
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预测 2003年我国卫生机构总人数。
解: 绘制散点图，如图4.13所示。
25
26
得:
27
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
yˆt b0 b1t b2t2 适用的指数曲线模型为：
yˆt aebt
19
（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 t2，得到 估计模型为： yˆt 577.24 44.33t 3.29t2
其中调整的 R2 0.9524 ， F 290 F0.05(2, 29)，
则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误 差为151.7。 (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 yˆt aebt
将 t 1代9 入模型,得到2003年我国卫生机 构总人数的预测值:
y19 615.641 205.667(0.9172)19 575.832
28
例5:某商品1991年投放市场以来,社会总需求量统计资料如下表
所列,试预测2000年的社会总需求量。
年份 总需求量 一阶差分
1991 50.0
_
1992 1993 60.0 68.0 10 8
1994 69.6 1.6
1995 71.1 1.5
1996 71.7 0.6
1997 72.3 0.6
1998 72.8 0.5
1999 73.2 0.4
一阶差分 _ 比率
_ 0.8 0.2 0.94 0.4 1.0 0.83 0.8
解:描散点图,初步确定模型;
计算一阶差分比率,进一步验证选用修正指数曲线模型是否合适; 估计模型参数。
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
13
指数曲线模型的参数估计及应用
对指数曲线模型 yt Aebt 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln yt ln A bt
Yt ln yt , a ln A
Yt a bt
为计算方便,仍然约定 t 0
b
分
10
解:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。
计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在
0.5～0.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行
预测。
利用如上公式,易得 b 0.67, a 7.54
回归模型为
yt 7.54 0.67t
1999年对应的t=5
预测该年的工业总产值
y1999 7.54 0.67 5 10.89
11
指数曲线趋势外推法
一、常见的指数曲线模型 指数曲线预测模型：
y t Aebt
修正指数曲线预测模型:
yt K ABt
12
二、模型的选择 广义差分法 对于指数曲线,一阶差比率(也称环比)为常数 对修正的指数曲线,一阶差分比率
yt yt yt1 B yt1 yt1 yt2
tYt t2
t ln yt t2
a
1 T
Yt
1 T
ln yt
于是
a
Ae
yt Aebt
14
例2:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测
该厂1999年的产量。 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998
t值
-5 -3 -1 1 3 5
产量yt (万 8.7 10.6 13.3 16.5 20.6 26.0 辆)
1999年该市的工业总产值。 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
t值 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
工业总 5.0 5.6 6.1 6.8 7.4 8.2 8.8 9.6 10.4 产值yt 一阶差 _ 0.6 0.5 0.7 0.6 0.8 0.6 0.8 0.8
Yt K ABt
于是,可套用修正指数曲线的估计参数公式。 注意,L是生长曲线的上限,有时通过定性分析或专家咨询所定的L值往往比由 公式计算得到的L值更接近实际,预测效果更好。
32
例6:吉林省1966～1983年年度人口数如下表所列,试预
测该省1984年以后年度人口数。
年份 t值
人口 年份 t值 人口 年份 t值 人口
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
17
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
18
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
式突变； （2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本
一致。
2
二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：
一次（线性）预测模型：
yˆt b0 b1t
二次（二次抛物线）预测模型： yˆt b0 b1t b2t 2
三次（三次抛物线）预测模型： yˆt b0 b1t b2t2 b3t3
环比
_ 1.2 1.3 1.2 1.2 1.3
指数曲线预测模型:
y t 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量
y1999
14.8768e0.10987
32.1
15
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
30
生长曲线趋势外推法
一般产品(或技术)的发展,基本上都要经历一个萌芽、
发展、成熟、衰落的过程。
这里介绍两种能够较好地描述产品或技术生命周期规
律的典型S型生长曲线模型:皮尔曲线和龚珀兹曲线模
型。
一、皮尔曲线模型及其应用
皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了著
名的S型生长曲线模型: 其中,参数L、a、b为正数。
总额 （ yt ） 276.8 348.0 381.1 392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7 604.0
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （t）
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
时序 （t）
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
一般形式：
yˆt b0 b1t b2t 2 bkt k
3
指数曲线预测模型： 一般形式 ：
yˆt aebt
修正的指数曲线预测模型 ：
yˆt a bct
4
对数曲线预测模型：
生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
yˆt a b ln t
yt
1
L aebt
龚珀兹曲线预测模型 ： yˆt kabt