运筹学 第二章对偶理论

对应基变量X s。设迭代若干步后，基变 量为X B， X B在初始单纯形表中的系数矩
阵为B，将B在初始单纯形表中单独列出， 而A中去掉B的若干列后剩余的列组成矩 阵N，这样原线性规划问题的初始单纯形 表可列成以下形式：
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对 偶 问 题
表1：原始单纯形表
非基变量 项 目
XB XN XS
1 2
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x x 5
1 2
x,x 0
1 2
厂 家
对 偶 问 题
设某人有订单， 设备B –––– 但没有生产能力， 这时需要租赁厂 调试工序 –––– 方资源
设：设备A ——
y1元／时 y 2元／时 y 3元／时
付出的代价最小， 且对方能接受。
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租 赁
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
对偶问题： min f1 4 y1 3 y2
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-3y1 +2y 2 20 -4y 3 y 10 1 2 s.t. y1 y2 5 y1 0, y2 为自由变量
再令z = -f1 得
对 偶 问 题
max z 4 y1 3 y2 3y1 -2y 2 20 4y 3 y 10 1 2 s.t. y1 y2 5 y1 0, y2 为自由变量
min Z 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4 x1 x 2 3 x 3 x4 5 2 x 3 4 x4 4 2 x1 x 2 x 3 x4 6 x 0 , x 、x 0 ,x 无约束 2 3 4 1
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对 偶 问 题
练习题（1）
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对 偶 问 题
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对 偶 问 题
练习2：
min Z 2 x1 2 x2 4 x3 2 x1 3x2 5 x3 2 3 x x 7 x 3 1 2 3 x1 4 x2 6 x3 5 x1 , x2 , x3 0
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
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2.1.2
线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出 二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
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对 偶 问 题
一、对偶问题的提出
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种 产品， 有关数据如下表：
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max z CX A b X A b X 0
对 偶 问 题
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
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b min w (Y ,Y ) -b
1 2
A C (Y 1,Y 2 ) A Y 1 0 ,Y 2 0
原问题
对偶问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X0 Y0
证明 化为标准对称型
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max z CX s.t AX b X0 b 对偶 min w Y s.t Y C A Y 0
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
2个约束 3个变量
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一 般 规 律
3个约束 2个变量
C (c1 , c2 )
x1 X x2
Y (y1,y 2 ,y 3 )
b1 b b2 b3
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min w 15 y1 24 y2 5 y3
D 15时 24时 5时
对 偶 问 题
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对偶性是线性规划问题的最重要的内容之 一。每一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴 而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的 一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个称 为“对偶问题”，记为“D”。
厂家能接受的条件：
对 偶 问 题
出让代价应不低于 2 6 y 2 y3 用同等数量的资源 5 y1 2 y2 y3 1 自己生产的利润。 租赁方的意愿：
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元 单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
A (aij )
特点：
对 偶 问 题
min 2．限定向量b 价值向量C
1． max （资源向量）
其它形式 的对偶
?
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3．一个约束 一个变量。
4． max
z 的LP约束“ ” min z LP是“ ”的约束。
的
5．变量都是非负限制。
对 偶 问 题
二、原问题与对偶问题的数学模型
基变量
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0
Xs
b
B CB
N CN
I
0
检验数
当迭代若干步后，基变量变为XB，则该
对 偶 问 题
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步的单纯形表中由XB对应的系数列组成 的矩阵为I，又因单纯形法的迭代是对约 束增广矩阵进行的行的初等变换，所以 对应XS的系数矩阵I在新表中为B-1，故当 基变量为XB时，新的单纯形表具有下表 的形式。
一对对偶问题
厂 家
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租 赁
min w 15 y1 24 y2 5 y3 s.t 6y y 2 对 偶 问 5y 2y y 1 题 y ,y ,y 0 厂
2 3 1 2 3 1 2 3
家
原问题
对 偶 问 题

对偶问题
???????无约束ycyaybwmin返回返回上页上页下页下页对偶问题题对偶问三原问题与对偶问题的对应关系约束条件的限定向量目标函数的价值向量自由变量变量变量个变量约束m约束约束个约束目标函数n00?max????z原问题或对偶问题对偶问题或原问题目标函数的价值向量约束条件的限定向量约束约束约束个约束自由变量m变量变量个变量目标函数n00min?????wzmaxzmin返回返回上页上页下页下页对偶问题题对偶问返回返回上页上页下页下页对偶问题题对偶问?例1
对 偶 问 题
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对 偶 问 题
例1:
max z 5 x1 3x 2 2 x 3 4 x 4 5 x1 x 2 x 3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x 3 2 x 4 10 x1,x 2 0 x 3 ,x 4无约束
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对偶问题为
对 偶 问 题
min w 8 y1 10 y2
5 y1 2 y 2 0 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
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例2：
对 偶 问 题
对 偶 问 题
求最小化线性规划对偶问题的另一种 思路
例题：对偶转化
原问题： f 20 x1 10 x2 5x3 min
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-3x1 4 x2 -x 3 4 s.t. 2x1-3x 2 x3 3 x , x 0, x 为自由变量 1 2 3
对 偶 问 题
表2：迭代后
基变量 项 目
XB XN XS
非基变量
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CB
XB
B-1b
I
0
B-1N CN-CBB-1N
B-1
-CBB-1
检验数
从表1和表2可以看出，进行迭代后基变量为XB
对 偶 问 题
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时，其在初始单纯形表中的系数矩阵为B， 则有： （1）对应初始单纯形表中的单位矩阵I，迭代后 在新的单纯形表中为B-1 （2）初始单纯形表中基变量XS=b，迭代后在新表 中 XB=B-1b; (3)初始单纯形表中约束系数矩阵为 [A,I]=[B,N,I],迭代后表中相应的系数矩阵为 [I,B-1N,B-1] (4)若初始矩阵中变量Xj的系数向量为Pj，迭代后 为Pj’,则有Pj’= B-1 Pj
产品Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1 最大负荷 15时 24时 5时
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对 偶 问 题
设
Ⅰ产量––––– Ⅱ产量–––––
x2
x1
1 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x x s.t.
2
5 x 15 6 x 2 x 24
(Y Y )
对 偶 问 题
2、 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件是等式，则 原问题 对偶问题
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max z X 0
推导:
对 偶 问 题
原问题
max z CX AX b AX b X 0
对 偶 问 题
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
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目标函数 min w 目标函数 max z n个变量 n个约束 变量 0 约束 max z 变量 0 约束 自由变量 约束 m个约束 m个变量 min z 约束 变量 0 变量 0 约束 自由变量 约束 目标函数的价值向量 约束条件的限定向量 约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
令Z1 = -f
对 偶 问 题
可得
原问题：maxz1 20 x1 10 x2 5x3 -3x1 4 x2 -x 3 4 s.t. 2x1-3x 2 x3 3 x , x 0, x 为自由变量 1 2 3
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对 偶 问 题
则其对偶问题
(5)当B 为最优基时，在表2中应该有
对 偶 问 题
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CN-CBB-1N≤ 0 （1） -CB-1≤ 0 （2） 因XB的检验数可写为 CB-CBI = 0 （3） 故式（1）-（3）可重写为 C-CBB-1A ≤ 0 -CB-1≤ 0 CB-1 称为单纯形乘子
对 偶 问 题
小结
第二章 对偶理论及灵敏度分析
2.1.1 单纯形法的矩阵描述 2.1.2线性规划对偶问题 2.1.3 对偶问题的基本性质 2.1.4 影子价格 2.1.5 对偶单纯形法 2.2.6 灵敏度问题
对 偶 问 题
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题 :
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目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
例
对 偶 问 题
2 3
x1
12 8 16 12 y1 y2 y3 y4 2 1 4 0 2
x2
2 2 0 4 3
原问题
≤ ≤ ≤ ≤ 12 8 16 12
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对偶问题
对 偶 问 题
原 问 题
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
对 偶 问 题
对偶问题： W 5 y1 4 y2 6 y3 max 2 y1 2 y2 y3 3 y1 3 y1 2 y2 y3 5 y 4 y y 1 1 2 3 y1 0, y2 0, y3无约束
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对 偶 问 题
给这线性规划问题的约约束条件加 入松弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
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1 0 I 0 1
单纯形法计算时，总选取I
对 偶 问 题
为初始基，
1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束时， 称为对称形式的对偶。 情形一： 原问题

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对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
情形二：
对 偶 问 题
对 偶 问 题
min w (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C Y 1 0, Y 2 0
令
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Y Y 1 Y 2 ，得对偶问题为：
min w Yb YA ≥ C Y 无约束
证毕。
三、原问题与对偶问题的对应关系