高中数学同步练习 第2章 学业质量标准检测

第二章 学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟,满分150分．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．曲线y ＝e x

在点A(0,1)处的切线斜率为( A ) A ．1 B ．2 C ．e

D ．1e

[解析] 根据导数的几何意义可得,k ＝y′|x ＝0＝e 0

＝1.

2．已知使函数y ＝x 3＋ax 2

－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0,则常数a 的值为( C )

A ．0

B ．±3

C ．0或±3

D ．非以上答案

[解析] 求出使y′＝0的值的集合,再逐一检验．y′＝3x 2

＋2ax.令y′＝0,得x ＝0或x ＝－23a.

由题设x ＝0时,y ＝0,故－4

3a ＝0,则a ＝0.且知当x ＝2,a ＝－3或x ＝－2,a ＝3时,也成立．故选C.

3．设f(x)为可导函数,且满足条件lim x→0

f (1)－f (1－x )

2x ＝－1,则曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线的

斜率为( B )

A ．－1

B ．－2

C ．1

D ．2

[解析] 因为f(x)为可导函数,且lim x→0

f (1)－f (1－x )2x ＝－1,所以12lim x→0 f (1)－f (1－x )

x ＝－1,所以lim

x→0

f (1)－f (1－x )

x

＝－2,即f′(1)＝－2,所以y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为－2.

4．运动方程为s ＝1－t t 2＋2t 2

,则t ＝2的速度为( B )

A ．4

B ．8

C ．10

D ．12

[解析] 本题考查导数的物理意义,求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用． ∵s ＝1－t t 2＋2t 2＝1t 2－1t ＋2t 2＝t －2－t －1＋2t 2

,

∴s′＝－2t －3

＋t －2

＋4t.

∴v ＝－2×123＋1

2

2＋4×2＝8,故选B.

5．函数y ＝f(x)的图像过原点且它的导函数y ＝f′(x)的图像是如图所示的一条直线,则y ＝f(x)的图像的顶点在( A )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[解析] 显然y ＝f(x)为二次函数,设为f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0),则y ＝f′(x)＝2ax ＋b.由图像知a<0,b>0.又由已知函数的图像过原点,∴c ＝0,顶点为(－b 2a ,－b 2

4a

),因而y ＝f(x)的顶点在第一象限．

6．若函数y ＝e

x

x 在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数,则x 0的值( C )

A ．等于0

B ．等于1

C ．等于1

2

D ．不存在

[解析] y′＝(e x

)′x－e x

·(x )′x 2＝e x

(x －1)

x

2

, 当x ＝x 0时,y ′＝ex 0(x 0－1)x 2

0,y ＝ex 0

x 0.由题意,知y′＋y ＝0,即ex 0(x 0－1)＋ex 0·x 0＝0, 所以x 0＝1

2

.

7．已知二次函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c 的导数为f ′(x),f ′(0)>0,对于任意实数x 都有f(x)≥0,则f (1)

f ′(0)

的最小值为( C )

A ．3

B ．5

2 C ．2

D ．32

[解析] ∵f ′(x)＝2ax ＋b,∴f ′(0)＝b>0； ∵对于任意实数x 都有f(x)≥0, ∴a>0且b 2

－4ac≤0,∴b 2

≤4ac ,∴c>0,

∴

f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2ac

b

＋1≥1＋1＝2,

当a ＝c 时取等号．故选C.

8．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x 2

＋8x －8,则曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( A )

A ．y ＝2x －1

B ．y ＝x

C ．y ＝3x －2

D ．y ＝－2x ＋3

[解析] ∵f(x)＝2f(2－x)－x 2

＋8x －8,① ∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2

＋8(2－x)－8 ＝2f(x)－x 2

－4x ＋4.② 将②代入①,得

f(x)＝4f(x)－2x 2

－8x ＋8－x 2

＋8x －8. ∴f(x)＝x 2

,y′＝2x.

∴y ＝f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为 y′|x ＝1＝2.

∴函数y ＝f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1.

9．设函数f(x)＝sinθ3x 3＋3co sθ2x 2＋tanθ,其中θ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12,则导数f′(1)的取值范围是

( D )

A ．[－2,2]

B ．[2,3]

C ．[3,2]

D ．[2,2]

[解析] ∵f′(x)＝x 2

sinθ＋3xcosθ, ∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin(θ＋π

3),

∵θ∈[0,5π12],∴sin(θ＋π3)∈[2

2,1],

∴f′(1)∈[2,2]．故选D.

10．若曲线xy ＝a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( C ) A ．2a 2

B ．a 2

C ．2|a|

D ．|a|

[解析] 设切点的坐标为(x 0,y 0),曲线的方程即为y ＝a x ,y′＝－a x 2,故切线斜率为－a

x 20

,切线方程为y －

a x 0＝－a x 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0,即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a

x 0

,即切线与y 轴