变质量动量定理

设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
(e) 设作用于质点系的外力为 F
质点系在瞬时t的动量为 p1 m dm 1 质点系在瞬时t+dt的动量为 p2 (m dm)( d ) 根据动量定理
( e) (m dm)( d ) (m dm 1 ) F dt 将上式展开得 ( e) md dm dm d dm 1 F dt
i [
mi mi 1 mn m p (1 i )mi mi 1 mn m p
]
（e）
则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度
n ri ln i
i 1
n
（f）
利用拉格朗日乘子法 可以求得满足下式的 i 将使火箭的总质量为最小值


（d）
如果取 m p / m 1/ 100 则 m2 / m 1 / 10， m1 / m 9 / 10 如果仍用 0.8 、 r / g 300s m/s 则由式（d）可得 2 max 7500 这显然比 m1 m2时的 2 6000m/s 要大得多 下面讨论多级火箭 ，mn 设各级火箭的质量分别为 m1 ，m2 ， ， 2， ，n) 各级火箭内的燃料质量为 i mi (i 1
0
式（6－14）称为变质量质点动量定理的积分形式 如果并入或放出质量的绝对速度 1 0 则式（6－13）成为
d (m ) F dt
此式与不变质量质点的动量定理形式相同 但其m=m( t )是变量 将其积分有
显然
m m0 0 Fdt 0 即使 F 0 也不是常量 m00 / m
dm t F r m0 e r dt
F a r m
（6－7）
（6－8）

例 6－1 单级火箭 设火箭在真空中运动且不受任何外力作用 其喷射出的气体相对于速度 r 的大小不变 方向与火箭运功方向相反 此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题 对这一问题 变质量质点的运动微分方程（6－3） 在运动方向上的投影为
m0 N mf
m0 N ef / r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式 它表明在 r 已知时 欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用 运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为
t
2.变质量质点的动量矩定理
变质量质点对任一点O的动量矩为
式中 r 为从点O指向该质点的矢径 点O为定点
LO r m
（6－15）
dLO d dr d d (r m ) m r (m ) r (m ) dt dt dt dt dt
将变质量质点动量定理的微分形式（6－13）代入可得
dLO r F r Fa dt
（6－16）
式（6－16）称变质量质点的动量矩定理： 变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数 等于作用于质点上外力的合力对 该点之矩与由于并入（或放出） 质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和

dm F r dt 则式（6－1）改写为 d (e) m F F dt
（6－2）
（6－3）
上式称为变质量质点的运动微分方程 式中m是变量 因 F具有力的量纲且与喷气方向相反 称为反推力
dm 是代数量 dt
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化 设变化规律为
载荷质量为 m p 各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反 ，rn 不计重力 大小分别为 r1 ， r 2 ， 则由例6－1式（b）可以求得 第i级火箭在燃料喷射完毕时所增加的速度 mi mi 1 mn m p i ri ln[ ] (i 1 ， 2， ，n) (1 i )mi mi 1 mn m p 令
3.变质量质点的动量定理
2 m2
2 6761 .14m/s
m p m2 m p m1
（d）
满足式（c）的 m2 / m 将使 2达到最大值 将式（c）代入式（a）（b） 略去 m2 / m 及 m p / m 的高次项 可得
2 max 2r ln 1 [1 (m2 m)1/ 2 ]
d dm m mg r dt dt 设初始时刻t=0时 0 m m0 且 r为常量
将式（f）积分得
（f）
m0 0 gt r ln m
（g）
例 6－2 二级火箭及多级火箭 单级火箭具有重大的缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大 任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠 当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷



则式（6－10）可写为
记
dp dm F 1 dt dt dm Fa 1 dt
（6－11） （6－12）
称Fa为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力
将其代入式（6－11）得
dp d (m ) F Fa dt dt
（6－13）
如果取 m1 3m2 50m p ， 0.8 ， r / g 300s 则由式（a）及（b）可得 如果用单级火箭 仍采用上面的参数 所求得的速度就要低的多 设二级火箭的总质量（不含载荷质量 m p） m m1 m2 为常量 则 m1 ，m2 的不同分配将影响火箭的速度 将式（a）代入式（b） 记 m1 m m2 则 2 是 m2 的函数 为求 2的最大值 将其对m2求导 并令 d 2 / dm2 0 化简并只取M/P幂级数展开的首项 得
二级火箭（n=2）mmin 147m p
三级火箭（n=3） mmin 51m p 四级火箭（n=4） mmin 40m p
五级火箭（n=5） mmin 36m p n级火箭（n→∞） mmin 13.2m p
§ 6－2 变质量质点的运动学普遍定理
研究变质量质点的动量
动量矩及动能的变化规律所使用的动量定理、动量矩定理 及动能定理统称变质量质点的动力学普遍定理
d dm 或 m r dt dt 设初始时刻t=0时 0
d
r dm
m
（a）
m m0 将式（a）积分得
m0 0 r ln m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为 mf 速度为v
令
（c）
称N为质量比（有些资料取 N mf /m0 为质量比） 令 f r ln N （b） 称 f 为火箭的特征速度 它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度 由式（d）可得
1 ri i ， (i 1， 2， ，n) （g） ri (1 i )
式中λ为拉格朗日乘子 将式（g）代入式（f） 设 n、 ri、 i 皆为已知 则可以求得λ 再将求得的λ代入式（g） 即可得 i 如果有 则用上面方法可以求得
ri r ， i (i 1 ， 2， ，n)
n n r e 1m p n nr n [1 e (1 )]
mmin
（j）
利用 i相等这一条件 可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配 例如二级火箭（n=2） m1 : m2 12 : 1 三级火箭（n=3） m1 : m2 : m3 13.7 : 3.7 : 1 如图所示
得
d p p2 p1 F (e) dt
略去高阶微量 dm d 并以dt除各项 得 (e) d dm dm m 1 F dt dt dt (e) d dm 或 m (1 ) F （6－1） dt dt 式中 (1 ) 是微小质量dm在并入前 令 对于质点m得相对速度 r
（6－5）

（2）质量按指数规律变化 设变化规律为
dm t m e m ， 由 知 式中 0 皆为常数 0 dt 其反推力为
m m0 e t
（6－6）
令 a 表示仅在反推力 F 作用下变质量质点的加速度
则当 r 为常量时 a 也是常量 即由反推力引起的加速度为常量
式（6－13）称为变质量质点动量定理的微分形式： 变质量质点的动量对时间的导数 等于作用其上的外力与由于并入（或放出） 质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和 将式（6－13）积分设t=0时质点质量为 m0 速度为 0 得 t t t m m m00 Fdt Fa dt Fdt 1dm（6－14） 0 0 0 m
r [(1 )e
n nr
1]
1
（h）
1 2 n e
n n r
（i）
式（i）表明 欲使火箭总质量为最小 火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度 i 值应相同 即欲使火箭达到给定的最终速度 使火箭总质量为最小值的条件是 火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同 满足这一条件时总质量为
1.变质量质点的动量定理
dp d(m ) dm d m dt dt dt dt
将式（6－2）（6－3）代入式（6－9）得 （6－9）
dp dm dm F r dt dt dt
（6－10）
记并入（或放出）质量的绝对速度为 1 即

1 r
m m0 (1 t ) ， t 1 （6－4） 式中 m0 ， 皆为常数 该式代表质量随时间呈线性变化
dm m0 知 其反推力为 由 dt
可见 当 r 为常数时 反推力也为常量 且与 r方向相反

dm F r m0 r dt
横坐标n代表火箭级数 纵坐标 m / m p 代表火箭总质量 mmin与载荷质量m p 之比
欲将人造地球卫星送入轨道 火箭的最终速度应达到 n 7.8km/s 设 0.8 ， r / g 300s 按上面公式可以求得火箭总质量的最小值： 一级火箭（n=1） mmin 0 （即不可能达到7.8km/s）
常用的几种质量变化规律1质量按线性规律变化设变化规律为65可见2质量按指数规律变化设变化规律为表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度也是常量即由反推力引起的加速度为常量61设火箭在真空中运动且不受任何外力作用方向与火箭运功方向相反单级火箭其喷射出的气体相对于速度的大小不变此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题对这一问题变质量质点的运动微分方程63在运动方向上的投影为称n为质量比有些资料取为质量比它代表这一级火箭在初始速度的基础上所能增加的速度称此式为齐奥尔科夫斯基公式它表明在已知时欲使火箭达到特征速度所应具备的质量比如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上运动称为齐奥尔科夫斯基第二类问题与第一问题的区别是有均匀重力作用运动微分方程63在铅直方向上的投影为62单级火箭具有重大的缺欠任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度二级火箭及多级火箭而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度这就限制火箭速度的提高多级火箭可以克服这一缺欠那就是燃料装得越多其壳体也就越大当前一级火箭燃料燃烧终了时连同其壳体一起抛弃后一级火箭开始工作二级火箭由3部分组成第一级火箭第二级火箭和载荷设第一级火箭总质量为常数方向与火箭速度方向相反每秒喷出的燃料质量也为常数火箭由静止开始运动略去重力由例61式b可得第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为当第二级火箭的燃料也全部喷射完时速度为如果用单级火箭仍采用上面的参数所求得的速度就要低的多设二级火箭的总质量不含载荷质量将其对求导满足式c的将使达到最大值如果取1007500max下面讨论多级火箭设各级火箭的质量分别为各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反大小分别为rn不计重力则由例61式b可以求得第i级火箭在燃料喷射完毕时所增加的速度可以求得满足下式的将使火箭的总质量为最小值riri则可以求得再将求得的代入式g即可得式i表明欲使火箭总质量为最小火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度值应相同即欲使火箭达到给定的最终速度使火箭总质量为最小值的条件是火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同满足这一条件时总质量为利用相等这一条件可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配例如二级火箭n2如图所示横坐标n代表火箭级数纵坐标代表火箭总质量与载荷质量之比欲将人造地球卫星送入轨道火箭的最终速度应达到kms按上面公式可以求得火箭总质量的最小值