OR2

目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
y1
y2 y3
s.t
y1 + 4y2
2y1
2
+ 4y3 3
yi 0, (i=1, 2, 3, )
(原问题)
<========>
max = -CX ´
设X= -X´
变形
st. -AX´ b X´ 0
min w = Y b s.t -YA - C
则有
min w = Y b
s.t YA C Y 0
Y 0
--12--
--第2章 对偶问题--
对偶问题典式： 用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X0 min w = Y b s.t YA C Y0
x3
(d) (e) 2
x4
1 0 0
x5
0 1 0
cj - zj
· · ·
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
(g) (h) 0
x2
2 (i) -7
x3
-1 1 (j)
x4
1/2 1/2 (k)
x5
0 1 (l)
--6--
--第2章 对偶问题--
2.3 问题的提出
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。每生 产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何 安排计划使该工厂获利最多?
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数列向量 A 变量个数 max 变量 x j : xj 0 x j 无约束 xj0 约束方程: = 对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数行向量 AT 约束条件个数 min 约束方程 i : = 变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
（2） max z = C X
s.t AX b <========> X0
min w = Y b
s.t YA C Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b X0 <========>
min w = Y b
s.t YA C Y0
--13--
--第2章 对偶问题--
原问题与对偶问题关系表
--14--
--第2章 对偶问题--
例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题
m in z 2 x1 3x2 5 x3 x4
1 y1 x1 x2 3x3 x4 5 2 x 2 y2 2 x3 x4 4 1 3 y3 x2 x3 x4 6 x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
资源
产品
设
备
原材料 A 原材料 B
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
--7--
--第2章 对偶问题--
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
2.资源最低售价模型
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则 有
min w= 8y1 + 16y2 + 12y3
0 1
0 -1/2 1/2 -3/2 -1 1 -1
--3- B2 1
B11
--第2章 对偶问题--
• • • • • • •
1.初等行变换 相当于 左乘一个相应的初等阵 2. B-1 B = E 3. b/ = B-1 b 4. 目标函数 AX= b B-1 AX= B-1 b CB B-1 AX= CB B-1 b 与 Z= CX 相加 Z= CB B-1 b + (C- CB B-1 A ) X
--15--
--第2章 对偶问题--
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对 偶问题，
m ax z 5 y1 4 y 2 6 y 3
'
y1 2 y 2 2 y1 y3 3 3 y1 2 y 2 y 3 5 y1 y 2 y 3 1 y1 0 , y 2 0 , y 3无约束
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 若YS X 0,YX S 0;则Yb YAX CX , ˆ ˆ 由性质（ ），可知X ,Y是最优解。 4 又若分别是原问题和对 偶问题的最优解， 根据性质（ ），则有CX YAX Yb 4 由（2 15 ），（2 16）式可知，必有 ˆ ˆ YX 0,Y X 0
--25--
--第2章 对偶问题--
• 将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS 代替后， 得到 z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15) • 将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS 代 替后，得到 ω =Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16)
--26--
--第2章 对偶问题--
--23--
--第2章 对偶问题--
（5）强对偶性（对偶定理）
若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，
且有 z
max
= w
min
证： 由 = C- CB B-1 A 0 得 Y *A C -Y * = -CBB-1 0，
令 CBB-1 = Y * ， Y *0
因此， Y *是对偶问题的可行解， 又 CX * = CB (B-1 b) = CB B-1b = Y * b ∴ Y *是对偶问题的最优解。
--4--
--第2章 对偶问题--
用单纯形表表示如下： 初始表 XS = b XB XN XS
表中，
B B
··· ··· ··
N N
E
0,··,0 ·· ··
b ' =B-1 b
N ' =B -1 N 或者 Pj ' =B -1 Pj N ' = CN-CB B-1 N 或者j' =Cj-CBB-1 Pj S' = -CB B-1
Cj → CB XB b 0 x3 3 0 x4 4 cj - zj 0 3 x3 x2 cj - zj 2 3 x1 x2 cj - zj 2 1 1 2 2 3 0 0
x1
1 1
2 1/2 1/2 1/2 1 0 0
x2
1 2
3 0 1 0 0 1 0
x3
1 0
0 1 0 0 2 -1 -1
x4
( 对偶问题)
--8--
--第2章 对偶问题--
2.4 原问题与对偶问题的关系
一般表示式：
原问题： max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn s.t a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1 a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2 ········ ········ ······· am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm xj 0，j=1,2,┈,n
--17--
--第2章 对偶问题--
(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题
• • • • • • • 证设原问题是 max z=CX; AX≤b； X≥0 根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是 min ω=Yb; YA≥C； Y≥0 若将上式两边取负号，又因min ω=max(-ω)可得到 max(-ω)=-Yb; -YA≤-C； Y≥0 根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min(-ω′)=-CX； -AX≥-b; X≥0 又因 min(-ω′)=maxω′ 可得 maxω′=max z=CX； AX≤b; X≥0 这就是原问题。证毕。
cj - z j
最终表 XB = b
'
XB
XN
XS
'
E
0,··,0 ·· ··
N
B
-1
cj - zj
'N
'S
--5--
--第2章 对偶问题--
练习： 用单纯形法解目标规划问题时，有如下二个 单纯形表，试求括弧中未知数a~l的值。
XB x4 x5 b 6 1
x1
(b) -1 (a)ຫໍສະໝຸດ x2(c) 3 -1
--9--
对偶问题：
--第2章 对偶问题--
典式模型对应对偶结构矩阵表示
原问题 （1） max z = C X s.t AX b X0
对偶问题
min w = Y b
s.t
YA C Y0
--10--
--第2章 对偶问题--
对偶模型其他结构关系
（2）若模型为
max z = C X s.t AX b X0 变形
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym s.t a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2 ········· ········ ········ a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn yi 0，(i=1,2,·,m ) · ·
max z = C X
s.t - AX -b X0