结构动力学习题2..

结构动力学习题参考答案
2.3一根刚梁AB ，用力在弹簧BC 上去激励它，其C 点的运动规定为Z （t ）,如图P2.
3. 按B 点的垂直运动u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。

解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。

根据
达朗贝尔原理，通过对A 点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力1s f ，
2s f ，以及阻尼力D f ，惯性力2M 。

B 点的垂直位移是u ，则有几何关系知2
/L 处的位移为2/u 。

根据位移图和受力图可得：
02
221=⨯-⨯+⨯+L f L
f L f M s D s I 其中
.
22221....
22
1)
(21
23
1
31u
c f u z k f u k u R f u
mL L u mL M D s s I =-==⨯=== 代入○
1式得： 0
)(L 4
1
41ML 3121...=--++L u z k u k u cL u 合并化简得：
)(12)123(3M 4221.
..
t Z k u k k u c u =+++
2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：)(.
..t P ku u c u m u =++。

其中u 为
E 点的垂直运动。

假定薄刚杆AE 的质量为M,其转动很小。

解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B 点取矩得
L u
L m mL L u k L u c L L t f p 4
3
)4(1214343854)(..
22.0⨯
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⨯⨯-⨯-⨯⨯
化简合并得：
)
()()(845
.,3,3,M 7)(8
45
337.
...
..
t P ku u c u m t P L t f P K k C c m L t f P ku u c u M u u O O =++=====
++得令
2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度ρ，并具有顶部质量M ，应
用假定法L x x =()ψ来推导该系统轴向自由振动的运动方程。

假定=AE 常数。

解：
)
()()(),(t u L
x t u x t x u =
=ψ 由虚功原理，有：
0W V W =+-惯非保守δδδ ①
其中非保守力为端部集中力)(t P ，惯性力包括顶部质量M 和均匀杆的所受的惯性力，计算如下：
u
u M u u L A u u M udx L x u L x A t L u t L u M udx u W u L
EAu udx L L u EA dx u EAu V u t P t L u t L
O L
O L
O
L
O
δδρδδρδδρδδδδδδδδ..........
..
''3
1
),(),(A 1)(),()P W --=-⋅-=--==⋅⋅
====⎰⎰⎰⎰惯非保守（ 把上式代入①式，化简合并得：
0)()31..=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-++u t P u L EA u M AL δρ（ 因为u δ可取任意值，所以得运动方程：
)()31(..t P u L
EA u M AL =++ρ 2.14 应用)2/sin()(L x x π=ψ重做习题2.13
解：)(2sin )()(),(t u L
x
t u x t x u π=ψ=
由习题2.13可得
⎰⎰⎰⎰+-=--=--==
⋅===⋅=L o L O L
O
L
O
u
u M u A u M udx L x x u L x A t L u u M udx u W u
EAu L
udx u L
x
x L
EA dx u EAu V u t p t L u t δρδππρδδρδδπδππ
δδδδδ)21
(2sin 2sin ),(A 8)2cos
2(
'')(),()P(W (2)
2
慢非保守 合并化简得：
)(8)2(..t P u L
EA
u M LA =++2πρ 2.17一均匀悬臂梁作用有一水平力N 和一与时俱变的横向分布荷载),(t x p ，如
图P2.17.),(t x ψ采用一简单多项式来推导悬臂梁横向振动的运动方程。

解：设()t u x t x u )(),(ψ=，由虚功原理得
0W V =+-惯性力非保守δδδW ①
其中非保守力包括三角形均布力，轴向压力N ，以及阻尼力；惯性力为均匀梁所受的惯性力，计算如下：
u u L
c udx u x N udx x t xf t L u t L u c dx u Nu dx t x u t xf L L δψδψδψδδδδ.0.202L 000
.0L
00
)2
(])'([)()(L P )
,2/(),2/(''),()(L P W ⎰⎰⎰⎰-+=-+=非保守 ⎰⎰==L
L udx u x EI dx u EIu V 0
20
)]("[""δψδδ
udx x m dx t x u u m L L δψδδ)(),(W 20
..0
⎰⎰-
-==惯性力
为了简化计算，假设多项式22)(L x x =ψ, 则=),(t x u )(22
t u L
x ，代入以上各式
得
u
u mL u u L
EI V u
u c u Nu L u t f L p δδδδδδδδ..
3.005
W 4161
34)(4W -
==-+=惯性力非保守
代入①式，合并化简得
)(4)344(16503.0..t f L p u L N
L
EI u c u L m =-++-
令
5L
m -
=*M , 160c =*C , L N L
EI 3443-=*K , )(40t f L p =)(*t P ，得
悬臂梁横向振动方程如下：
*
M ..u +*
C .
u +*K u =)(*t P
3.3 一根柔杆总质量为M ，它的弯曲刚度为EI 。

一个集中质量M μ作用在杆的
顶部，如图P3.3，由于顶部质量的惯性与几何刚度的影响，确定其w n 2
的近似表达式。

可应用题2.9中假定的振型表达式，以及)(x ψ采用静位移函数，均匀梁用作集中横向端部力（见图P2.18）。

解：在广义参数模型中单自由度系统的运动
方程可表示为
*
M ..
u +*
C .
u +u K K G
)(*
*-=)(*t P
所以 w n 2
=*
*
*M K K G
-，应用例题2.3得
)
()()(])("[20
2*
2*20
*
L M dx x L
M M dx
x Mg K dx
x EI K L
L G L
ψμψψμψ+=
==
⎰
⎰⎰
代入w n 2
的表达式可得
w n 2
=
)
()()(])("[20
20
220
L M dx x L
M dx
x Mg dx x EI L
L
L
ψμψψμψ+-⎰
⎰⎰
①
在悬臂端作用横向力P 时，挠曲线方程为
),3
1
(2)(2x L x EI p x -=
ψ代入①式，积分可得 3
2
22
25*
23*
2
2
26*
)42099(182050415227131260)14033(ML EI Mg p
I E Mg L K p
EI
L K p I E ML M w n G μμμμ+-=
==+= 3.4 一个22Kg 质量的1m 用一根弹簧悬挂着，弹簧的弹簧常数k=17KN/m 。

第二个质量Kg m 102=，由高度h=0.2m 处降落，并附着在质量1m 上，如图P3.4。

（a ）确定两个质量相碰瞬间后运动)(t u 表达式？ （b ）确定两个质量的最大位移？
解：（a ）以两个物体在重力作用下的平衡位置为原点建立运动微分方程 则标准运动方程为
17000320)(..
..
21=+=++u u ku u m m
于是s rad m k w n /05.2332
17000===
确定运动的初始条件，即碰撞发生瞬间时，21m m +的位置和速度
因为碰撞发生在仅有1m 时的平衡位置，所以
m k g m u 006.017000
10
10)0(2-=⨯-=-
= 又由动量守恒（完全非弹性碰撞），得 s m m m gh m u /625.022
102
.0102102)0(211'=+⨯⨯⨯=+=
由公式3.17得
)
05.23sin(027.0)05.23cos(006.0)
05.23sin(05
.23625
.0)05.23cos(006.0)(t t t t t u +-=+
-= （b ）相对平衡位置，二者的最大位移 m u 028.0027.0006.0221max,=+= 相对运动初始位置二者最大位移 m u 034.0006.0028.01max,=+=
3.8 模拟风涡轮成一个集中质量（涡轮的）在一根无重量，长度为L 的塔顶上。

确定该系统的动力特性，塔旁用一台大型起重机，而且沿着涡轮轴给一横向力P=200 1b ，如图P3.8,这样引起1.0 in 的水平位移。

连在涡轮到起重机的绳索立即突然切断，记录到涡轮的自由振动结果。

在两个整循环后，时间为1.25s ，其幅值为0.64 in 。

根据以上数据确定如下：
（a ） 无阻尼固有频率n W （b ） 有效刚度)1(in b k 。

（c ） 有效质量)1(2in s b m •
（d ） 有效阻尼因素ξ
解: 因为通常情况下系统所受的阻尼很小，由题目已知条件，可用阻尼固有
频率d W 近似计算无阻尼固有频率n W 。

有效刚度k 通过定义求解。

有效阻尼因素ξ由对数衰减法计算。

具体计算如下：
(a) s rad T W W d n 05.102
25.122===
≈ππ (b) )1(2000
.1200in b u P k st ===
(c) )/1(98.105
.102002
2
2in s b W k m n •===
(d) 0355
.064
.01ln 212164
.01=⨯⨯==
πξτξn W e
4.13 机械设备经常使用转动装置，它可使支承结构受力增加，例如建筑物屋顶
上的空气调节设备。

根据图4.11来判断，使用隔振装置可以减少支承结构的受力。

假定一台机器以20Hz 运行，并希望应用弹簧形式的隔振装置来使传递的力减少90%，即
（a ）根据强迫频率函数和静弯曲k mg st /=δ来确定已知力减少百分比的表
达式。

（b ）计算静弯曲，k mg st /=δ，其条件如上，即在20Hz 时减少90%，以毫
米表示。

解：传递到支承结构的力
2
12
2
221
2
]
)2()1[(]
)2(1[ξγγξγδ+-+=
-
st tr k f
故力的传递率
=
=
-
st
tr
k f TR δ2
122
221
2
]
)2()1[(]
)2(1[ξγγξγ+-+
所以已知力减少百分比的表达式为 -
=⨯-=1(%100)1(TR D p 2
122
2212]
)2()1[(]
)2(1[ξγγξγ+-+）%100⨯
又因为隔振装置为弹簧式，所以0=ξ，化简表达式得
%100)111(2
⨯--
=γ
p D
（b ）把p D =90%,)/(4020s rad Hz π==Ω，n
w Ω
=
γ代入上式的，得 %901112
=--
γ
解得 112=γ 即
112
2
2=Ω=Ωk m w n
，所以 mm m g k mg st 88.600688.0)40(86
.911/11/2
2==⨯=
Ω==πδ
4.14 安装在实验室的一个隔振块，使之邻近工厂运转试验不会产生振动干扰。

如隔振块重2000 1b,而四周地面和基础振动为24Hz 时的振幅为0.01 in ，计算隔振块仅产生0.002 in 的幅值时振动系统的刚度。

解：根据隔振的含义，本题所指隔振块的振幅应为绝对振动振幅，有公式
得隔振块的绝对运动与基础运动幅值比为
212
])2(1[ξγ+=s D Z
U
因为忽略阻尼，所以 又
22
2222
γ
γΩ=⇒Ω=Ω=m k k m w n ，
代入数据，得
)
/1(028.196176
)48(38620002
in b k =⨯÷=π
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为)cos()cos(2211t t ΩZ +ΩZ =Z =
05.0cos (t π60))120cos(
02.0t π+。

（a ）用一加速度计其阻尼因数70.0=ξ和KHz 20共振频率来确定振动记录
)(t w p 。

(b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？
解：（a ）振动记录)(t w p 可以看作由两部分组成。

一部分由)
cos(11t ΩZ =Z 激励引起，一部分由)cos(22t ΩZ =Z 激励引起。

总的振动记录
)(t w p 由这两部)(1t w p 和)(2t w p 叠加而成。

首先计算)(1t w p
)](cos[1
)(11112
21
11Ω-Ω••ΩZ =αt D w t w s n
p 其中 3
3
211105.12102060-⨯=⨯⨯=Ω=
π
πγn w
2
/1212211]
)2()1[(ξγγ+-=
s D 1
999999955
.0}
)105.17.02(])105.1(1{[1
2
123223≈=⨯⨯⨯+⨯-=
--
)
/(0021.0)
105.1(1105.17.02arctan 12arctan
2
33
2
111s rad =⨯-⨯⨯⨯=-=--γξγα 则)(1t w p 可以表示为 )(1t w p =)(cos 1111τ-Ωt A C
其中 5
1
1
122
11111
2
3211101146.1600021
.0728
.1774)60(05.010339.6)21020(1--⨯==
Ω=
=⨯=Ω=⨯=⨯⨯==
π
ατππZ A w D C n s
所以 )(1t w p =)101146.1(60cos 10339.65111--⨯-⨯t A π 计算)(2t w p
)](cos[1
)(22222
2222Ω-Ω••
ΩZ =αt D w t w s n
p 其中 3
3
222100.321020120-⨯=⨯⨯=Ω=
π
πγn w
2
/1222222]
)2()1[(ξγγ+-=
s D 1
999999982
.0}
)100.37.02(])100.3(1{[1
2
123223≈=⨯⨯⨯+⨯-=
--
)
/(0042.0)
100.3(1100.37.02arctan 12arctan
2
33
2
2
2
2s rad =⨯-⨯⨯⨯=-=--γξγα 则)(2t w p 可以表示为 )(2t w p =)(cos 2222τ-Ωt A C
其中 5
2
2
222
11211
2
3222101146.1600021
.05648
.2839)120(02.010339.6)21020(1--⨯==
Ω=
=⨯=Ω=⨯=⨯⨯==
π
ατππZ A w D C n s
所以 )(2t w p =)101146.1(120cos 10339.65211--⨯-⨯t A π
所以
)(t w p =)(1t w p +)(2t w p
)
101146.1(120cos 10339.6)101145.1(60cos 10339.65
2115111----⨯-•⨯+⨯-⨯=t A t A ππ
（b ）由相位畸变和幅值畸变的定义，由第一步的计算可知
τ
ττ=⨯===⨯==--5
21112110
1146.110339.6C
C C
所以
)(t w p =)](cos )(cos [2211ττ-Ω+-Ωt A t A C
1A ,2A 分别表示1Z ,2Z 的加速度幅值，所以输出)(t w p 与加速度输
入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。

5.2 运送一件仪器设备重40 1b ，是用泡沫包装在一容器内。

该容器的有效刚度
k=100 1b/in ，有效阻尼因数05.0=ξ，若整个容器和它的包装以垂直速度V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。

（如图P5.2所示）
解： 由有阻尼SDOF 系统脉冲响应函数得仪器设备的振动位移函数为
t w e w V u d t
w d
n sin ξ-=
其中)/(067.31386
/40100
s rad m
k w n ===
)/(3105.01067.31122s rad w w n d =-⨯=-=ξ
方法① 直接求加速度..
w 的最大值
,n d w w ≈近似计算用n w 代替d w ，并令V
w u w d
•
= 对w 求三次导得
]
cos )31(sin )3[(]cos 2sin )1[(233...22..
t w t w e w w t w t w e w w n n t
w n n n t
w n n n ξξξξξξξ--+-=--=--
为了求得..
w 的极值，令0...
=w 得
0cos )31(sin )3(23=--+-t w t w d d ξξξ 解得
3
2
331arctan ξ
ξξ--=t w n ，代入..w 的表达式得
d
n w V w u e
w w /1max ..
max ..331arctan
22
max ..
3
2
•=+-=---ξξξξξ
代入数据得
)/(3353.43512max ..
s in u =
所以泡沫包装作用在仪器设备上的最大总力 )1(92.4503353.4351386/40max ..
max b u m F =⨯== 方法② 由.w c kw f +=，求极值得到总力的最大值
'
.
)sin (sin 322
.0067.3105.0)38640(22t w e w V c t w e w V k w
c kw f w m c
d t w d
d t w d n n n ξξξ--•+•=+==⨯⨯÷⨯==
因为f 的表达式中含有很多的参数，用符号表达式计算求导
过程会使计算复杂化，故求导时直接代入数据计算。

代入数据，计算得
)31cos 3.4831sin 45.483(55.1t t e f t +=-
对f 求一次导得
)31cos 08.1475031sin 55.2243(55.1't t e f t +-=-
令0'=f 得
42
.155
.224308
.14750arctan
310
31cos 08.1475031sin 55.2243===+-t t t
把42.131=t 代入f 得表达式计算得
)
1(739.451)
42.1cos 3.4842.1sin 45.483()31/42.1(55.1max b e f =+⨯=⨯-
考虑到数据误差，方法①与方法②所得的结果一致。

6.5 例题 4.3中的车辆，已知。

4.0,1200,104003==⨯=ξkg m k 当满载时以
h km /100速度通过一半正弦曲线形的凸起路面，
凸起长度为m 2，如图P6.5所示。

（1）计算质量在时的力和d d
t t t t t ==
=2
,0。

（2）确定被弹簧支承的质量m 所受的最大力，并与（1）比较。

解：分析：质量m 所受的最大力与其绝对加速度成正比，要求得绝对加速
度的最大值就可以先求出质量m 相对运动的运动方程w 的表达
式，然后再求..
..
z w +的极值即可。

其中w 的表达式可以用SDOF 系统在简谐激励下的公式计算，也可以用杜哈梅积分计算。

汽车自振频率n d n T w w 和周期和的计算如下：
)
(072.06.3/1002
)
/(6.433600428
.6100000t )(343.02)/(8.163.184.011),
/(3.181200
10400d 223
s t s rad s w T s rad w w s rad m
k w d n
n n d n ===⨯⨯=
ΩΩ==
=⨯-=-==⨯==
计算如下和作用时间作用频率路面凸起作用的激励力π
ξ
方法① 通过求解运动为运动微分方程求解w 的表达式 车辆的振动方程为
①当d t t ≤≤0时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，运动方程如下：
()t t mz kw w c w m 6.43sin 2.228115sin 2.
..
=ΩΩ=++
初始条件
0)0()0(.
==w w
②当d t t ≥时，车辆为有阻尼的自由振动，运动方程如下：
0.
..
=++kw w c w m 初始条件
)()(.
.
d d t w w t w w ==
求解运动方程，得w 的表达式： 解①得
)sin cos ()6.43sin(t w B t w A e t U w d d t w n ++-=-ξα
其中
()
7546
.2221arctan 0
)2(11
222
22202
2
20
0=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∴<Ω-•=Ω•=Ω=+-•=
=π
ξγγαξγγm k r z w z k mz k p k
p D U U s 又
代入初始条件计算得 A=0.0424 , B=0.2886 所以
)
8.16sin 2886.08.16cos 0424.0()7546.26.43sin(1124.032..7t t e t w t ++-=-)
6.43sin(1.190)
8.16sin 5851.558.16cos 7014.80()7546.26.43sin(6679.213)8.16sin 5851.558.16cos 7014.80()7546.26.43sin(6679.213)8.16sin 8256.28.16cos 5398.4()7546.26.43sin(9006.432..7..
..
..
32..7..
32..7.
t t t e t z w u t t e t w t t e t w t t t ---+--=+=--+--=-+-=---为：
则绝对加速度的表达式把)(072.0s t t d ==代入上式求得
9293.3)(2104.0)(.
==d d t w t w ，代入自由振动解公式得
在自由振动阶段的振动方程（0≡z ）：
))
072.0(8.16sin 5632.0)072.0(8.16cos 0142.0()072.0(32..7-+--==--t t e w u t 对w 求两次导得(本题的求导过程都是通过matlab 求解的)
))072.0(8.16sin 70.22)072.0(8.16cos 19.281()072.0(32..7..
-+-=--t t e u t
由于..
w 的表达式很复杂，要求得两个时间段下..
u 的最大值，可以通过
Matlab 作出两个时间段下..u 的图形，进而得到..
u 的最大值。

通过作图知当)(0685.0s t =时，..u 取到负的最大，最大值)/(1.1292max ..
s m u =；
)(072.0s t =时， ..
u =)/(2.1282
s m -；)/(4.67)(036.02..
s m u s t -==时，；
)/(2.602
..
s m u t -==时，。

用matlab 绘制加速度随时间变化的曲线如下：
所以，
被弹簧支承的质量m 受到的最大力max F 为
KN w m F 92.1541.1291200max ..
max =⨯== 方法② 通过杜哈梅积分求解w 的表达式
① 当d t t ≤≤0时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，w 的表达
式由杜哈梅积分（强迫振动部分）和自由振动两部分表达式组成
t
w e w w w w t w e w d t w e P mw
w d t
w d
n d t w d t w t d n n n sin cos )(sin )(1.
00.
0)(0ξξτξξτττ----++
++-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎰
其中=)(τP ()t t mz 6.43sin 2.228115sin 2=ΩΩ
0)0()0(.
==w w
对上式积分可得（用matlab 计算）
τ
τττd t e w t t
)(8.16sin **)6.43sin(*3152.11)(32.70-=--⎰)8.16sin 2888.08.16cos 0427.0()7546.26.43sin(1124.0)8.16sin 2888.08.16cos 0427.0()3859.06.43sin(1124.032..732..7t t e t t t e t w t t ++-=+++-=--与解微分方程的结果比较可知，忽略数据误差，二者的结果可以认为一致，与理论相符。

② 当d t t ≥时，车辆为有阻尼的自由振动，此时w 表达式得求法与
方法①相同。

当用杜哈梅积分求得w 的表达式以后，其余的计算步骤同方法①，
二者所得结果相同
9.5 一均匀薄刚杆BC 的质量m ，长度L 附在一根均匀柔性梁AB 上，设侧向位移
很小，用哈密顿原理推导柔性梁AB 的运动方程和边界条件。

解： 哈密顿原理可以表示为()02
1
2
1
=+-⎰⎰dt W dt V T t t nc t t δδ
对于薄壁长梁的横向振动可以忽略梁的剪切变形和转动惯量， 则对整
体有
动能 2
.2.220.212121⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰B B L I u m dx u A T αρ
势能 ()
dx EI V L 220
'
21⎰=α
外力功 0=nc W 求变分
dx
EI EI dx
EI V L
L L
δααδα
αδααδ⎰⎰-==20
"
20
'
'20
'
因为在0=x 处0=δα，所以 dx EI EI V L
L
x δααδα
αδ⎰-==20
"2'
),2(),2(3
1
),2(),2(3
1..
2....20..
2.
.
.
.
20t L t L mL t L u t L u m dx u u A mL u u m dx u u A T L B
B B B L
αδαδδραδαδδρδ++=++=⎰⎰ dt t L t L mL dt t L u t L u m dx dt u u A dt
t L t L mL t L t L mL dt
t L u t L u m t L u t L u m dx udt u A u u A dt
t L t L mL t L u t L u m dx u u A Tdt dt
dx EI EI Vdt t t t t L
t t t t t
t t t t t L t t t t t t L
t t t t L
L x t t ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
---=-+-+-=++=-==2
1
2
1
2
1
2121
2
1
21
2
1
21
2
12
1
2
1
2
1),2(),2(3
1),2(),2(][),2(),2(31),2(),2(31),2(),2()
,2(),2(][)],2(),2(3
1),2(),2([][..
2..
20
..
..2
.2..
.
20
...
..
2.
.
.
.
20
20
"2'δααδδρδααδααδδδρδραδαδδρδδααδααδ 把以上各式代入哈密顿公式得
][),2(),2(31),2(),2(][2
1
2
1
2
1
2
1
20
"2'
..
2..
20
..
=+----⎰⎰⎰
⎰⎰⎰=dt dx EI EI dt t L t L mL dt t L u t L u m dx dt u u A t t L
L
x t t t t L
t t δααδα
αδααδδρ
又对于均匀梁有'u =α，代入上式，化简整理得
)31()(2'..2
2..'"20
..""21212
1
=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰⎰⎰
dt EI mL dt u u m EIu udxdt u A EIu L
x t t t t L
x t t L
δα
ααδδρ
所以运动方程为
..
""u
A
EIuρ
+=0
边界条件为
)
3
1
(
)
(
2
'
..
2
2
..
"'
=
+
=
-
=
=
L
x
L
x
EI
mL
u
m
EIu
α
α
10.5 有许多结构梁，既不是固定端的也非简直的，而可以考虑成局部弯曲。

确
定如图P10.5所示梁的特征方程，其中∞
≤
≤β
0是个控制参数，控制转动约束的大小。

解：梁的振动方程为
()0
''
"
"=
+V
A
EIVρ，通解如下：
x
C
x
C
x
ch
C
x
sh
C
x
Vλ
λ
λ
λcos
sin
)
(
4
3
2
1
+
+
+
=
弹性约束边界条件θ
β•
=
M，即
0000'"0'
"===•-•=•-•====L
x x L
x x V
V V V EI V V EI ββ
根据公式，对)(x V 求两次导得1
x C x C x ch C x sh C dx
V d x C x C x sh C x ch C dx
dV
λλλλλλλλλλλλλλλλcos sin sin cos 2
42322212
24321--+=-++=
代入以上边界条件得 令
λ
β
EI =A,写成矩阵的形式，如下 ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++-0000sin cos cos sin cos sin 1110104321C C C C L A L L A L L Ash L ch L Ach L sh L
L L ch L sh A A λλλλλλλλλλλλ 若这组齐次方程方程有非零解，则系数行列式必须为零，这样得到特征方程：
0sin 2cos 22=--L L sh L L ch A A λλλλ
11.9 应用拉格朗日方程推导下面系统的运动方程式（设图P11.19中两根刚杆的
转动很小）。

解：以在重力作用下系统的平衡位置作为基准点建立运动方程，则计算时不
考虑重力势能的影响。

广义坐标11θ→q ，22θ→q
系统动能
2
2.221.221
.2
21.248
1
1812231219121θθθθML ML L M ML T +=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=
系统势能
2222122122
212
18
1
3118523221321θθθθθθθkL kL kL L L k L k V +-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛= 外力虚构
1
2.10101..9192
31323
3δθθδθδθθδL c P L L P L
L c W ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛•⨯+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
所以广义力
=1Q 2.109192
L c P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θ
02=Q
由拉格朗日公式，有
2
21211
1.2
.
13
1
9509
1θθθθθθkL kL V T
ML T
-=∂∂=∂∂=∂∂
所以可得关于第一个自由度的运动方程
21.022121..2
9192319591L c P kL kL ML ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+θθθθ 又
1
22222
2.2
.
23
1
41024
1θθθθθθkL kL V T
ML T
-=∂∂=∂∂=∂∂
所以可得关于第二个自由度的运动方程
03
14124112222..2
=-+θθθkL kL ML 写成矩阵形式：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡09241313195
00
091241009120212222.
2.12..2..
122L P kL kL kL kL cL ML ML θθθθθθ
11.26 一根悬臂梁是用2-DOF 假定振型模型来模拟的，如图P11.26所示，
它的广义坐标是以自由度端的挠曲与斜率（很小）表示，即)(t V 与
)(t θ。

图示符合形函数的振型。

（a ）根据一般多项式来推导1ψ与2ψ多项式形式的形函数
3
2)(⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=L x d L x c L x b a x ψ
（b ）推导这个2-DOF 模型的运动方程 解：（a ）对)(1x ψ有边界条件如下
0)0(1=ψ，1)(1=L ψ，0)0('1=ψ， 0)('1=L ψ 代入)(x ψ求解得
0=a ，0=b ，3=c ，2-=d
所以)(1x ψ=3
223⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛L x L x
对)(2x ψ有边界条件如下
0)0(2=ψ，0)(2=L ψ，1)('
2
=L ψ， 0)('2=L ψ 代入)(x ψ求解得
0=a ，0=b ，3=c ，2-=d
所以)(2x ψ=3
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-L x L x
综上⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=323
2)(23)(),(L x L x t L x L x t v t x u θ
(b) 322'1
66L x L x -=ψ , 32"1126L
x
L -=ψ
322'
2
32L x L x +-=ψ，32"162L
x
L +-=ψ
求刚度矩阵dx EI k j L
i ij "0
"ψψ⎰=
L EI dx L x L
EI k L EI dx L x L L x L
EI k k L EI dx L x L
EI k L
L L
462662126121262
322223203221123
2
32011=
⎪⎭⎫
⎝⎛+-==⎪⎭⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎰
⎰⎰
求质量矩阵dx A m j L
i ij ψψρ⎰=0
AL
dx L x L
x A m AL dx L x L x L x L x A m m AL
dx L x L x A m L
L
L ρρρρρρ1051
701233513232
320
223
20
3221122
03
211=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰
⎰⎰
所以运动方程如下：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0046612
105170170135132....θθρv L L L L EI v AL 12.1 有一两层建筑结构的刚度与刚度矩阵如下：
)/(3111600in k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=，)/sec (100122in k m -⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡= （a ） 求该结构的两个固有周期
（b ） 求相应的两个振型，按比例画出两个模态图，其最大位移为1.0。

解：（a ）振动方程如下
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011116001001221..2..
1u u u u 设简谐解为
)cos(2121α-⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧wt u u u u ，代入振动方程得代数特征值问题：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--001001300300300300212u u w i 得特征方程如下：
()()030030090030022=⨯---i i w w 解得264.10242=i w ，or 736.1752=i w 所以
)(474.02)(196.02)
/(257.13)
/(322
21121s w T s w T s rad w s rad w ====
==π
π （b ）把i w 代入方程得
,300300
2
21i i w U U -==
β代入i w 计算得 414.2414.021=-=ββ
12.8 有一2-DOF 均匀悬臂梁的横向振动，根据
21)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=L x x ψ,3
2)(⎪⎭
⎫
⎝⎛=L x x ψ
（a ） 推导出该2-DOF 模型的运动方程
（b ） 计算固有频率。

比较该频率与例题10.3的精确频率，并比较该频率
与例题10.4的频率值。

解：（a ）推导振动方程 2'12L x =
ψ , 2"
12L
=ψ 32'
2
3L x =ψ，3"16L
x
=ψ
求刚度矩阵dx EI k j L
i ij "0
"ψψ⎰=
3
2
322330221123
2
20114666242L EI dx L x EI k L EI dx L x L EI k k L EI dx L EI k L
L L
=⎪⎭
⎫
⎝⎛==⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰
⎰⎰
求质量矩阵dx A m j L
i ij ψψρ⎰=0
AL
dx L x A m AL dx L x L x A m m AL
dx L x A m L
L L
ρρρρρρ7161516
223
221120
4
11=⎪⎭
⎫
⎝⎛==⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰
⎰
⎰
所以运动方程如下：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡00126647161
6151
21..21..
u u L EI u u AL ρ
（b ）求固有频率 设简谐解为
)cos(2121α-⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧wt u u u u ，代入振动方程得代数特征值问题：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡007161615112664212
3
u u AL w L EI i ρ 根据系数行列式矩阵等于零得特征方程如下：
061671125142
232323=⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-i i i ALw L EI ALw L EI ALw L EI ρρρ
化简整理得
3534124
-A L EI ρ2i w +0126044=i w L EI
A ρ 令
λρ=4L EI
A
,化简上式得
01
1235341260124=+-λ
λi i w w 解得A L EI w i ρ4248.12=
，or A
L EI w i ρ4
2
52.1211= 所以
2
1
222
121807.34533.3⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=A EI L w A EI L w ρρ 比较：1. 由计算可知，所有的近似解都大于精确解。

2．用瑞利法求解频率时往往得到精确解的上限。

3. 用二阶假定振型模拟振动计算得到的频率解要比用一阶假定振
型模拟振动计算得到的对应频率解精确。

4. 假定振型越接近物体实际振动形式，求得的频率解越精确。

可以选用适当的振型，从理论上无限地接近精确解。

16-2．假定一根长度为L ，总质量为m 的等截面刚性杆，由一个弹性的无质量弯
曲弹簧支承，并且承受均匀分布的，随时间变化的外荷载作用，如图E16-1所示。

如果取点1和2从其静力平衡位置向下的竖向挠度作为广义坐标
21q q 和，试用Lagrange 方程得到最小挠度的控制运动方程。

解：刚性杆的总动能等于它平动及转动动能之和，即
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=•
•••••••2221212
212
2
21612
21221q q q q m L q q mL q q m T ①
由于21q q 和是从静力平衡位置算起的位移，如果体系的势能是从弯
曲弹簧中所贮存的应变能算得，则重力可以忽略不计，其中的这种
应变能用刚度影响系数表示时，势能变成 ()
2
2222112211122
1q k q q k q k V ++=
② 非保守荷载)(t f p -
在任意变分)(q )(21t t q δδ和产生的虚位移上所做
的虚功为
()212
)
(q q t pLf W nc δδδ+=
-
由广义力的定义知
)(2
)()(21t f pL
t Q t Q -
=
= ③ 把式①，式②和式③代入Lagrange 方程中，给出这个结构的线性
运动方程：
)(226)(2262221122121211121t f pL q k q k q q m t f pL q k q k q q m -
••••-
•
••
•=++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
++⎪⎭
⎫
⎝⎛+。