2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷(十二)理科数学

2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷（十二）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m ＋n等于()
A．9 B．8
C．7 D．6
解析M＝{x|0<x<4}，又N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，故m＝3，n ＝4，∴m＋n＝7，选C.
答案 C
2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋i
a－i
(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的
虚部为()
A．1 B．i
C ．2
D ．2i
解析 设z ＝
1＋i
a －i
＝b i(b ∈R 且b ≠0)， 则1＋i ＝b ＋ab i ，∴b ＝1.选A. 答案 A
3．(2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 当m 与n 反向时，m ·n <0，而|m ·n |>0，故充分性不成立．若m ·n ＝|m ·n |，则m ·n ＝|m |·|n |·cos 〈m ，n 〉＝|m |·|n ||cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案 D
4．甲、乙、丙3人参加某项测试，每人通过该测试的概率都为1
3，测试结束后，已知甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试，则甲未通过该测试的概率是( )
A.12 B ．920 C.1019
D ．919
解析 设事件A 为“甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试”，事件B 为“甲未通过该测试”．则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，P (AB )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－132＝1027，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝10
19
.
答案 C
5．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，若a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则
sin C ＝( )
A.3314 B ．5314 C.3314或5314
D ．1114
解析 通解 8sin A ＝7sin60°⇒sin A ＝437⇒cos A ＝±17.因为sin B ＝
3
2，cos B ＝12，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以当cos A ＝17时，sin C ＝53
14；当cos A ＝－17时，sin C ＝3314.故sin C 的值为3314或5314.
优解 设角C 的对边为c ，由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒49＝64＋c 2－8c ⇒c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，sin C ＝c b ·sin B ＝3314；当c ＝5时，sin C ＝c
b ·sin B ＝5314.故sin C 的值为3314或5314.
答案 C
6．函数f (x )＝e x ＋1
x (e x －1)
(其中e 为自然对数的底数)的图像大致为( )
解析 由题意，f (－x )＝e －x ＋1－x (e －x －1)＝e x ＋1－x (1－e x )＝e x ＋1
x (e x －1)＝f (x )，所以函数
f (x )为偶函数，
故f (x )的图像关于y 轴对称，排除B ，C ； 又x →0＋时，e x ＋1→2，x (e x －1)→0＋，
所以
e x＋1
x(e x－1)
→＋∞，排除D，
故选A.
答案 A
7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2 020，1，则输出的i ＝()
A．5 B．6
C．7 D．8
解析i＝1，a＝2 020＋1，b＝1＝1！；
i＝2，a＝2 020＋3，b＝2×1＝2！；
…
i＝n，a＝2 020＋n(n＋1)
2，b＝n！.
当i＝6时，a＝2 020＋21＝2 041，b＝6！＝720<a；
当i＝7时，a＝2 020＋28＝2 048，b＝7！＝5 040>a.
故输出的i的值为7.
答案 C
8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金() A．多1斤B．少1斤
C ．多13斤
D ．少13斤
解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a 1，a 2，…，a 10，则a 1，a 2，…，a 10成等差数列．由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝4，a 2＝4
3，a 8＋a 9＋a 10＝3a 9＝3，a 9＝1.则a 2－a 9＝43－1＝1
3，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多1
3斤．
答案 C
9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D -ABC 的体积最大．
∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △DOB 中，OD ＝OB ，
∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°. 答案 C
10．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥1
2”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 3<p 1
C ．p 3<p 1<p 2
D ．p 3<p 2<p 1
解析 如图所示，
由几何概型得p 1＝1－12×12×12
1＝
7
8；
由几何概型得p 2＝1－12×12
1＝3
4；
由几何概型得p 3＝1－∫112⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12x d x
1＝
1＋ln 2
2； 所以p 2<p 3<p 1. 答案 B
11．已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α
－β|的最小值为3π4，且f(x)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间
是( )
A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析 由题设条件可知f (x )的周期T ＝4|α－β|min ＝3π，所以ω＝2πT ＝23，又f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23×π4＋φ＝0.
因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23x －π6＋1，再由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2
＋2k π，k ∈Z ，得－π
2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z .
答案 B
12．已知函数f (x )是奇函数，且f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋2
1－x 2，则
|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
16，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫16，12
解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，两边同时求导数得，－f ′(－x )＝－f ′(x )，则f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数．
∴f (－x )＋f ′(－x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋
2
1－x 2
， 则－f (x )＋f ′(x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋2
1－x 2，
与f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋2
1－x 2
联立可得⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，f ′(x )＝21－x 2.
又f (x )的定义域为(－1,1)，∴f ′(x )＝2
1－x 2
>0， ∴f (x )在(－1,1)上为单调递增函数．
∴在(0,1)上，f (x )>f (0)＝0，∴|f (x )|为偶函数，且在(0,1)上单调递增．
∴由|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋
12，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
－1<2x －1<1，
－1<x ＋1
2<1，|2x －1|<⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，
∴16<x ＜1
2. 答案 D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中所有项的系数和为81，则展开式的常数项为________．
解析 令x ＝1，则3n ＝81⇒n ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x 4展开式的通项T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫
23x r
＝2r C r 4x 4－43r ，令4－43
r ＝0，得r ＝3，则展开式的常数项为23×C 3
4＝32. 答案 32
14．如图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点
P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．
解析 如图，记平行于直线DE ，且与圆相切的直线分别为NQ 和BF ，则x ＋y 的最大值为AB AD ＝4＋23，x ＋y 的最小值为AN
AD ＝4－2 3.
答案 [4－23，4＋23]
15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1-DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有BM ∥平面A 1DE ；
②三棱锥C -A 1DE 体积的最大值为42
3； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
解析 取DC 的中点为F ，连接FM ，FB ， 如图所示，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，
可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；
当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C -A 1DE 的体积取得最大值，最大值为13×12A 1D ×A 1E ×EC ＝13×12×2×2×22＝4
32，
所以②正确；
假设存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°，因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ，
可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②.
答案 ①②
16．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2
k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小
时，双曲线的离心率为________．
解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称，∴B (－x 1，－y 1)，
∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 2
1
x 22－x 21
， ∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22
b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2
a 2>0，
对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2
k 1k 2＋ln|k 1k 2|，
设函数y ＝2
x ＋ln x ，x >0， 由y ′＝－2x 2＋1
x ＝0，得x ＝2，
当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0， ∴当x ＝2时，函数y ＝2
x ＋ln x ，x >0取得最小值， ∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2
a 2＝2，
∴e ＝1＋b 2
a 2＝ 3. 答案
3
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分
17．(12分)平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.
(1)求sin∠ABD；
(2)若cos∠BDC＝1
7，求△BCD的面积．
解析(1)在△ABD中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2，
由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝9＋4－6＝7，所以BD＝7，(2分)
由正弦定理，得BD
sin A＝
AD
sin∠ABD
，(4分)
所以sin∠ABD＝AD·sin A
BD＝
2×
3
2
7
＝
3
7
＝
21
7.(6分)
(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，
所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝3 7，
所以sin∠DBC＝2
7
.
因为cos∠BDC＝1
7，所以sin∠BDC＝
43
7.(8分)
所以sin C＝sin(π－∠BDC－∠DBC)
＝sin(∠BDC＋∠DBC)
＝sin∠BDC cos∠DBC＋cos∠BDC sin∠DBC
＝43
7×
3
7
＋
1
7×
2
7
＝
2
7
.(10分)
所以sin∠DBC＝sin C，所以∠DBC＝∠C，
所以DC ＝BD ＝7，所以S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×7×7×43
7＝2 3.(12分)
18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝年级总平均分总分
，
区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分
总分
.
(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．
(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：
通过计算说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．
参考数据：∑i ＝1
6
x i y i ＝0.9309，
∑i ＝1
6
(x i －x →
)2
∑i ＝1
6
(y i －y →
)2
≈0.0112，∑i ＝1
6
t i y i ＝
0.0483，∑i ＝1
6
(t i －t →
)2≈0.0073.
参考公式：相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)2
，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为b ^＝
∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)∑i ＝1
n
(x i －x →
)
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
，a ^＝y →－b ^x →.
解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋137
3
＝142(分)，
普通班三人成绩的平均分为
97＋102＋113
3
＝104(分)，
所以区分度为142－104
150≈0.25.(3分) (2)①由表格数据知，
x →＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.826＝0.74， y →＝
0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.15
6
＝0.21，
r ＝
∑i ＝16
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
6
(x i －x →
)2
∑i ＝1
6
(y i －y →
)2
≈
0.9309－6×0.74×0.21
0.0112≈－0.13，
故|r |<0.75，相关性较弱．(6分)
综上可知，不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(7分) ②y 与t 的值如下表：
则b ^＝
∑i ＝
1
6
t i y i －n t →y →
∑i ＝1
6
t i －t
→
2
≈0.0483－6×0.26
6×0.210.0073
≈－0.86，
a ^＝y ^－
b ^t →
＝0.21＋0.86×0.266≈0.25.
故所求回归方程为y ＝－0.86t ＋0.25，(11分) 当x ＝0.75时，t ＝0.01，所以y ≈0.24.(12分)
19．(12分)在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB .
(1)设AC 与BD 相交于点M ，AN →＝mAP →
(m >0)，且MN ∥平面PCD ，求实数m 的值；
(2)若AB ＝AD ＝DP ，∠BAD ＝60°，PB ＝2AD ，且PD ⊥AD ，求二面角B -PC -D 的正弦值．
解析 因为AB ∥CD ，
所以AM MC ＝AB CD ＝12，即AM AC ＝1
3.(1分)
因为MN ∥平面PCD ，MN ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ， 所以MN ∥PC .(2分)
所以AN AP ＝AM AC ＝13，即m ＝1
3.(3分)
(2)因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 为等边三角形， 所以BD ＝AD ＝PD ，又BP ＝2AD ， 故BP 2＝PD 2＋DB 2，所以PD ⊥DB . 由已知PD ⊥AD ，AD ∩BD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD .(5分)
如图，以D 为坐标原点，DA →，DP →
的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设AB ＝1，则AB ＝AD ＝DP ＝1，CD ＝2， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，32，P (0,1,0)，C (－1,0，3)
则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－1，32，PC →＝(－1，－1，3)，(6分)
设平面PBC 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有 ⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·PB →＝0，
m ·
PC →＝0，即⎩⎨⎧
x 1－2y 1＋3z 1＝0，
x 1＋y 1－3z 1＝0.
设x 1＝1，则y 1＝2，z 1＝3， 所以m ＝(1,2，3)，(8分)
设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由已知可得⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·DC →＝0，
n ·DP →＝0，
即⎩⎨⎧
x 2－3z 2＝0，
y 2＝0.
令z 2＝1，则x 2＝3，所以n ＝(3，0,1)．(10分) 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝
6
4.
设二面角B -PC -D 的平面角为θ，则sin θ＝10
4.(12分)
20．(12分)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为
－12，3
2，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .
(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．
解析 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－94，
设P (x P ，－x 2P
)，－12<x P <3
2，
所以k ＝
－x 2P ＋14
x P ＋12
＝－x P ＋1
2∈(－1,1)， 故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(4分) (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －1
4， 直线BQ ：x ＋ky ＋94k －3
2＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋12k －1
4，x ＋ky ＋94k －3
2＝0，
可知，
点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 2
2k 2＋2，(5分)
|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )
＝1＋k 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3－4k －k 2
2k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )
1＋k 2
(6分)
|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，(7分)
所以|P A |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，(8分) 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，
则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，
当－1<x <－1
2时，f ′(x )>0， 当－1
2<x <1时，f ′(x )<0，
故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，1上单调递减．
故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝27
16，
即|P A |·|PQ |的最大值为27
16.(12分)
21．(12分)已知函数f (x )＝(mx 2－x ＋m )e －x (m ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当m >0时，证明：不等式f (x )≤m x 在⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．
解析 (1)由题意得f ′(x )＝－[mx －(m ＋1)](x －1)·e －x ，(1分) ①当m ＝0时，则f ′(x )＝(x －1)e －x ， 令f ′(x )>0时，则x >1；令f ′(x )<0，则x <1.
∴f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2分)
②当m <0时，令f ′(x )<0，则1＋1m <x <1；令f ′(x )>0，则x <1＋1
m 或x >1. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1m 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋1m ，1上单调递减．(3
分)
③当m >0时，令f ′(x )<0，则x <1或x >1＋1
m ； 令f ′(x )>0，则1<x <1＋1
m .
∴f (x )在(－∞，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，1＋1m 上单调递增．(4
分)
(2)由(1)知当m >0时，f (x )在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛
⎦⎥⎤1，1＋1m 上单调递增，
当x ∈(0,1]时，f (x )＝mx 2－x ＋m e x <mx 2＋m e x ≤m (x ＋1)
e x ，(5分)
记i (x )＝x ＋1e x ，则i ′(x )＝－x
e x ，当x ∈(0,1]时，i ′(x )<0
∴i (x )在(0,1]上单调递减，∴i (x )<i (0)＝1， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )<
m (x ＋1)e x <m ≤m
x .
当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1m 时，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝(2m ＋1)·e －⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m x min ＝m 2m ＋1.(7
分)
下面证明(2m ＋1)e －⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1m ≤m 2m ＋1，
即证e1＋1m ≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ，(8分)
令g (x )＝e x －x (x ＋1)，x >1， 则g ′(x )＝e x －(2x ＋1)，
令h (x )＝e x －(2x ＋1)，x >1，则h ′(x )＝e x －2>0，
∴h (x )＝g ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －3<0， g ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝e 3
2－4>0，
∴存在x 0∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32，使得g ′(x 0)＝0，即e x 0－(2x 0＋1)＝0，
∴当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0，32时，g ′(x )>0，
∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0，32上单调递增， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝－x 2
0＋x 0
＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋54>0， 当x >1时，g (x )＝e x －x (x ＋1)>0， 即e x >x (x ＋1)，
∴e1＋1m ≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋1m ， ∴不等式f (x )≤m x 在⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．(12分)
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π
6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．
解析
(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos π
6，
y ＝2＋t sin π
6，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，y ＝2＋t
2
(t 为参数，t ∈R )．
由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，
得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，
∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(5分) (2)把⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，y ＝2＋t
2
代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
2＋t 2－12＝2，
整理得t 2＋t －1＝0， Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1， ∴|MP |＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1
2.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝x 2－|x |＋
3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ，
即x 2－4x ＋3≥0，
解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，
此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.
综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(5分) (2)f (x )－x 2
≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 2＋a 恒成立，
即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2＋a 恒成立，
即⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2≥|a |， 当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.
故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10分)。