函数的概念与基本初等函数第2讲-高考文科数学复习练习卷

一、选择题
1．函数f (x )＝x
1－x
在( )
A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x
－1，根据函数y ＝－1
x 的单
调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭
⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，0)∪(0，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1
|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.
3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞) C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D ．[8，40]
解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k
8
，因为函数
f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k
8
≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数
k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.
法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.
4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12 解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，
因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f (x )≤f (1)＝－1，
因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.
5．已知函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x
，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1
∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.
6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2x
x －2
在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为
M ，m ，则m 2
M ＝( )
A ．2
B ．3
C ．83
D ．103
解析：选C.易知f (x )＝
2x x －2＝2＋4x －2
，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2
＝4，所以m 2M ＝166＝8
3.
二、填空题
7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．
解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2
＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，
所以f (x )＝⎩
⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122
－54
，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122
＋34
，x ＜1， 作出函数图象如图，
由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭
⎫3
4，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．
解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.
函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．
解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩
⎨⎧x （2x －a ），x >a
2
，
－x （2x －a ），x ≤
a
2
(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的
递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a
2，所以⎩
⎨⎧a
4≤2，a
2
≥4，解得a ＝8.
答案：8
10．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，
－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－
f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调
递减函数，则⎩
⎪⎨⎪⎧a －3<0，
3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3.
答案：[1，3) 三、解答题
11．已知函数f (x )＝1a －1
x
(a >0，x >0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦
⎤1
2，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，
则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1
x 2
＝x 1－x 2x 1x 2
，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，
所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤
12，2上为增函数，
所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12
， f (2)＝1a －1
2＝2，
解得a ＝2
5
.
12．已知函数f (x )＝2x －a
x
的定义域为(0，1](a 为实数)．
(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；
(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1
x
，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.
因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.
所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．
(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当
a <0时，f (x )＝2x ＋－a
x ，
当 －a
2
≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1
时取得最小值2－a ；
当 －a 2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣
⎡⎦⎤－a
2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a
2
时取得最小值2－2a .。