遗传算法

• 针对本优化问题中自变量的定义域，可以考虑采用二进制 数来对其编码，遗传算法是从一个种群（由若干个串组成， 每个串对应一个自变量值）开始，不断的产生和测试新一 代的种群。初始种群的生长往往是随机产生的。对于本优 化问题，若设种群大小为4，即含有4个个体，则需要按位 随机生成4个5位二进制串。例如，通过掷硬币20次，随机 的生成如下4个位串（正面=“1”，背面=“0”）

• （5）遗传算法具有隐含并行性。遗传算法在搜索过程中 使用相对较少的串，就可以检验表示数量级极大的区域。 这种特性称为隐含并行性（implicit parallelism）。这一特 性再次提高搜索效率，且易于采用并行机制做并行高速运 算，发展潜力很大。 • （6）遗传算法最善于搜索复杂区域，从中找出期望值高 的区域，但搜索效率不高。正如遗传算创始人John H.Holland所指出的“如果只对几个变量做微小的改动就能 进一步改进解，则最好使用一些更普通的方法，来为遗传 算法助一臂之力”。 • 上述特点使得遗传算法使用简单、鲁棒性强、易于并行化， 从而应用范围很广。

• 7.2.2 交叉
简单的交叉操作分两步实现。在由等待配对的位串构成的 匹配池中，第一步是将新复制产生位串个体随机两两配对； 第二步是随机的选择交叉点，将匹配的位串进行交叉繁殖， 产生一对新的位串，具体过程如下：

设位串的字符长度为l,随机的从[l,l-1]中选取一个整数位置值k， 则从两个配对位串中从位置k到串末尾的子串相互交换，从而生 成两个新的位串。例如，本优化问题中初始种群的两个个体

• 表7-3列出了交叉操作之后的结果数据。从中可以看出交 叉操作的具体过程。首先随机的将匹配池中的个体配对， 位串1和位串2配对，位串3和位串4配对；然后，随机的选 取交叉点，设位串1（0110∣1）和位串2（1100 ∣ 0）的 交叉点为k=4，二者只交换最后一位，从而生成两个新的 位串，即（01100）和（11001）；位串3（11 ∣ 000）和 位串4（10 ∣ 011）的交换点为k=2，二者交换后三位。结 果生成两个新的位串，即（11011）和（10000）。

7.1.1 遗传算法的发展概况

7.1.2 遗传算法的生物学基础
生命的基本特征包括生长、繁殖、新陈代谢和遗传与变异。 达尔文用自然选择（natural selection）来解释物种的起源 和生物的进化，其自然选择学说包括以下三个方面： （1）遗传（heredity）、（2）变异（variation）、 （3）生存斗争和适者生存。 遗传算法是一种模拟生物进化过程的随机优化方法，以下先 给出几个生物学的基本概念和术语。 染色体（chormosome），生物细胞中含有的一种微小的丝状 化合物。它是遗传物质的主要载体，由多个遗传因子—— 基因组成。 遗传因子（gene），ＤＮＡ或ＲＮＡ长链结构中占有一定位 置的基本遗传单位，也称为基因。

遗传子型（genotype），遗传因子组合的模型叫遗传子型。它是 性状染色体的内部表现，又称基因型。一个细胞核中所有染色体 所携带的遗传信息的全体称为一个基因组（genome）。 表现型（phenotype），由染色体决定性状的外部表现，或者说， 根据遗传子型形成的个体。 基因座（locus），遗传基因在染色体中所占据的位置。同一基因 座可能有的全部基因称为等位基因（allele）。

7.3.2 积木块假说
定义7.3 具有低阶、短定义距以及高适应度的模式称为“积 木块”。
Leabharlann Baidu
正如搭积木一样，这些“好”的模式在遗传操作下相互拼搭、 结合，产生适应度更高的串，从而找到更优的可行解，这 正是积木块假设所揭示烦人内容。 假设7.1 低阶、短定义距以及高适应度的模式（积木块）在 遗传算子的作用下，相互结合，能生成高阶、长定义距、 高平均适应度的模式，可最终生成全局最优解。

这样位串的适配值越高，在其下一代产生的后代就越多。

• 当一个位串被选中时，此位串将被完整的复制，然后将复 制位串送入匹配池中。旋转4次转轮即产生4个位串。这4 个位串是上一代种群的复制，有的位串可能被复制一次或 多次，有的可能被淘汰。在本优化问题中，位串3被淘汰， 位串4被复制1次。如表7-2所示，适配值最好的有较多的 副本，平均的折中，而最差的被淘汰。

• 位串1~4可分别解码为如下十进制的数：

• 遗传算法的每一代都是从复制开始的。复制操作可以以轮 盘选择法、择优选择法、确定性选择法、两两竞争法、线 性标准化方法等多种算法的形式实现，这里采用轮盘赌选 择法，群体中的每个当前串按照其适配值的比例占据盘面 上成比例的一块区域。对应于本优化问题，依表7-1可绘 制出如图7-1所示的轮盘赌转盘。

• 7.2.3 变异
尽管复制和交叉操作很重要，在遗传算法中是第一位的，但 不能保证不会遗漏一些重要的遗传信息。在人工遗传系统 中，变异用来防止这种不可弥补的遗漏。在简单遗传算法 中，变异就是某个字符串某一位的值偶然的（概率很小的） 随机的改变，即在某些特定位置上简单的把0变成1或反之。 变异是沿着位串字符空间的随机移动。当它有节制的和交 叉一起使用时，它就是一种防止过度成熟而丢失重要概念 的保险策略。例如，随机产生的一个种群，如表7-4所示。

7.1.3 遗传算法的特点
同常规优化算法相比，遗传算法有以下特点： （1）遗传算法的处理对象不是参变量本身，而是参变量编码后的 称为人工染色体的位串，使得遗传算法可直接对集合、队列、 矩阵、图表等结构对象进行操作。 （2）遗传算法是多点搜索，而不是单点，从而避免陷入局部最优， 逐步逼近全局最优解。 （3）与自然界类似，遗传算法对求解问题的本身可以一无所知， 如对搜索空间没有特殊要求（如连续、凸性等），对目标函数 也不要求诸如连续性、导数存在和单峰等假设，它所需要的仅 是对算法所产生的每个染色体进行评价，并基于适应值排列等 级来选择染色体，使适应值好的染色体比适应值差的染色体有 更多的繁殖机会。遗传算法利用简单的编码技术和 繁殖机制来 表现复杂的现象，从而解决非常困难的问题。 （4）遗传算法是一种自适应随机搜索算法。遗传算法是以概率原 则指导搜索，适应值高的个体，在进化过程中将被赋予更高的 选择概率，在下一代中有更大的繁殖机会。遗传算法可以有效 的利用已有的信息来搜寻那些有希望改善解质量的串，比一般 的随机搜索有更高的搜索效率。

个体（individual），指染色体带有特征的实体。 种群（population），染色体带有特征的个体的集合。该集 合内个体数称为群体的大小。有时个体的集合也称为个体群。 进化（evolution），生物在其延续生存的过程中，逐渐适应 其生存环境，使得其品质不断得到改良，这种生命现象称为 进化。生物的进化是以种群的形式进行的。 适应度（fitness），在研究自然界中生物的遗传和进化现象 时，生物学家使用适应度这个术语来度量某个物种对于生存 环境的适应程度。
第7章 遗传算法
• 7.1 遗传算法概述
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一类借鉴生物界的 进化规律（适者生存，优胜劣太遗传机制）演化而来的全 局优化自适应概率搜索方法，具有全局收敛性和并行性， 适用性广，并仅需要较少的先验知识。遗传算法已被人们 广泛的应用于解决组合优化、机器学习、图像处理、模式 识别、信号处理、自适应控制和人工生命等领域的实际问 题。遗传算法具有可扩展性，便于与模糊逻辑、神经网络 和专家系统结合，从而为智能控制的研究注入新的活力。

• 这样就完成了遗传算法的准备工作。以下来介绍遗传算法 的三个基本操作步骤。

• 7.2.1 复制
• 复制是从一个旧种群中选择生命力强的个体位串（或称字 符串）产生新种群的过程。或者说，复制时个体串根据其 目标函数f（即适配值函数）复制自己的过程。在自然群 体中，适配值是由一个生物为继续生存而捕食、预防时疫、 在生长和繁殖后代过程中克服障碍的能力决定的。在复制 操作过程中，目标函数（适配值）是该串被复制或被淘汰 的决定因素。 • 将上述通过抛一个均匀的硬币20次得到的初始种群，将其 编号成四个位串：

选择（election），指决定以一定的概率从种群中选择若干个体的 操作。一般而言，选择的过程是一种基于适应度的优胜劣汰的过 程。 复制（reproduction），细胞在分裂时，遗传物种DNA通过复制而 转移到新产生的细胞中，新的细胞就继承了旧细胞的基因。 交叉（crossover），有性生殖生物在繁殖下一代时两个同源染色 体之间通过交叉而重组，亦即在两个染色体的某一相同位置处 DNA被切断，其前、后两串分别交叉组合形成两个新的染色体。 这个过程又称基因重组，俗称“杂交”。 变异（mutation），在细胞进行复制时可能以很小的概率产生某些 复制变异，从而使DNA发生某种变异，产生新的染色体，这些新 的染色体表现出新的性状。 编码（coding），DNA中遗传信息在一个长链上按一定的模式排列， 也即进行了遗传编码。遗传编程可以看做从表现型到遗传子型的 映射。 解码（decoding），从遗传子型到表现型的映射。

7.2 遗传算法的基本操作
• 根据达尔文的进化理论，群体中的个体之间进行生存斗争， 对环境适应度高的个体更容易生存下来，同时父染色体和 母染色体进行交叉配对和突然变异而繁殖后代；而对环境 适应度低的个体则从群体中淘汰。这样，子代保留了来自 父本和母本的大部分遗传信息，又有一定的变异性，从而 体现了子女和父母有一些相似但又有明显的差别。如此一 代代的进化，最后整个群体都能适应所给定的环境，从而 求出优化问题的最优解。由此可知，遗传算法的基本操作 包括复制、交叉和变异。复制、交叉和变异操作体现了适 者生存，优胜劣汰的进化规则。 • 假设需要求解的优化问题为寻找 ,当自变量x在 0~31之间取整数值时函数的最大值。遗传算法的第一步是 将x编码为有限长度的串。

图7-2 积木块混合

7.3.3 内在并行性
定理7.2（内在并行性定理） 设ε ∈（0,1）是一个很小的数， ，群体规模为N= ，则GA在一次迭代中所 -1 处理的“存活率”大于 1，ε的模式数约为O（N^3）.其中，int （x）函数表示上取整。内在并行性表现出GA对空间的搜索效 率是非常高的，它每对种群进行一次处理就处理了O（N^3）个 模式。

7.3 遗传算法的理论基础
• 7.3.1 模式定理
1、模式 模式表示基因串中某些特征为相同的结构，也可解释为相同 的构型。 2、模式阶和定义距 定义7.1 模式H中确定位置的个数称为模式H的模式阶，记做 o(H). 定义7.2 模式H中第一确定位置和最后一个确定位置之间的 距离称为模式的定义距。 3、模式定理 定理7.1 在复制、交叉和变异操作的作用下，具有低阶、短 定义距以及平均适应度高于群体平均适应度的模式在子代 中得以指数级的增长。

• 复制时，只是简单的转动这个按权重 划分的转盘4次，从而产生4个下一代的种 群。例如，对于表7-1中的位串4，其适 配值为361，为总适配值的30.9%。因此， 每次转动一次轮盘，只想位串的概率为 0.309。每当需要另一个后代时，就简单的 转动一次转轮，产生一个复制的候选者。
图7-1 按适配值所占比例划分的赌轮

7.3.4 Walsh模式变换
1、walsh函数 walsh函数的基函数只有两个值+1和-1.

定理7.3 walsh函数的基函数为正交函数 ，满足

定理7.4 任意函数f（x） 可以展开表示成walsh多项式：

2、用walsh 函数表示模式平均适应度 考虑模式H的平均适应度

位串的字符长度l=5，假定在1和4之间随机的选取一个值k（k=4， 如分隔符“∣”所示），经交叉操作后将得到如下两个新串，即

遗传算法的有效性主要来自复制和交叉操作，尤其是交叉在遗传 算法中起着核心的作用。人们在社会生活中的思想交流、学术 交流、多学科交汇形成的交叉学科等，本质上都是观念和思想 上的交叉，而这种交叉是富有成果的。位串交叉就相应于不同 观念的重新组合，而新思想就是在这种组合中产生的，遗传搜 索的威力也在于此。