2023年黑龙江省高考文科数学真题及参考答案

2023年黑龙江省高考文科数学真题及参考答案
一、选择题1.=++3
2
22i
i （）
A .1
B .2
C .5
D .5
2.设集合{}8,6,4,2,1,0=U ，集合{}6,4,0=M ，{}6,1,0=N ，则=⋃N C M U （
）
A .{}8,6,4,2,0
B .{}8,6,4,1,0
C .{
}8,6,4,2,1D .U
3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（
）
A .24
B .26
C .28
D .30
4.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若c A b B a =-cos cos ，且5
π
=C ，则=∠B （
）
A .
10
πB .
5
πC .
10
3πD .
5
2π5.已知()1-=ax x
e xe x
f 是偶函数，则=a （
）
A .2
-B .1
-C .1
D .2
6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则=⋅ED EC （
）
A .5
B .3
C .52
D .5
7.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}
41,2
2
≤+≤y x y x 内随机取一点A ，则直线
OA 的倾斜角不大于4π
的概率为（）
A .8
1B .61C .4
1D .
2
1
8.函数()23
++=ax x x f 存在3个零点，则a 的取值范围是（
）
A .()2-∞-，
B .()3-∞-，
C .()14--，
D .()
0,3-9.某学校举办作文比赛，
共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（
）
A .
6
5B .
3
2C .
2
1D .
3
110.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数
()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫
⎝⎛-125πf （
）
A .2
3
-
B .2
1-
C .
2
1D .
2
311.已知实数y x ,满足04242
2
=---+y x y x ，则y x -的最大值是（
）
A .2
231+
B .4
C .231+
D .7
12.已知B A ,是双曲线192
2
=-y x 上两点，下列四个点中，可为AB 中点的是（
）
A .()
1,1B .()2,1-C .()3,1D .()
4,1-二、填空题
13.已知点()
51，A 在抛物线px y C 22
=：上，则A 到C 的准线的距离为.
14.若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈30πθ，，2
1
tan =
θ，则=-θθcos sin .
15.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为
.
16.已知点C B A S ,,,均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，
SA ⊥平面ABC ，则=
SA .
三、解答题（一）必做题
17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下
试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率i
y 536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2
s ，（1）求z ，2
s ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显
著提高（如果10
22s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡
胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知112=a ，4010=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}
n a 前n 项和n T .
19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6=
=PC PB ，
BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，点F 在AC 上，AO BF ⊥.
（1）证明：EF ∥平面ADO ；
（2）若︒=∠120POF ，求三棱锥ABC P -的体积.
20.已知函数()()1ln 1+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）若()x f 在()∞+，0单调递增，求a 的取值范围.
21.已知椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
x a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；
（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，证明：
线段MN 中点为定点.
（二）选做题【选修4-4】
22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1
C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπ
θρ，曲线2C ：⎩
⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，
παπ
<<2
）.（1）写出1C 的直角坐标方程；
（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.
【选修4-5】
23.已知()22-+=x x x f .
（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨
⎧≤-+≤0
6y x y
x f 所确定的平面区域的面积.
参考答案
一、选择题123456789101112C
A
D
C
D
B
C
B
A
D
C
D
1.解：∵i i i i 21212223
2
-=--=++，∴()5
2121222
23
2
=-+=-=++i i
i 3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，
31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等
分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.
4.解：∵C B A -=+π，∴()B A C +=sin sin ，∵c A b B a =-cos cos ，
由正弦定理得：B A B A C A B B A sin cos cos sin sin cos sin cos sin +==-∴0cos sin =A B ，∵()π，0∈B ，∴0sin ≠B ，∴0cos =A ，∴2
π
=A ∵5π=
C ，∴10
352π
ππ=-=B .5.解：∵()1
-=ax x
e xe x
f 是偶函数，则
()()=--x f x f ()()[]
01
111=--=-------ax
x a x ax x ax
x e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--x
a x
e
e ，则()x a x 1-=，∴2=a .
6.解：以AD AB ,为基底表示：
AD AB BC EB EC +=
+=21
，AD AB AD EA ED +-=+=21
，
∴3
1441212122=-=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AB AD AD AB AD AB ED EC
7.解：∵区域(){}
41,2
2
≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半
径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4
π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4
π
=
∠MON ，结合对称性可得所求概率为4
1242=⨯
=ππ
p .8.解：由条件可知()032
=+='a x x f 有两根，∴0
<a 要使函数()x f 存在3个零点，则03>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a f 且03<⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-a f ，解得3
-<a 9.解：有条件可知6
5
6626=⨯=A P .
10.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==T
π
ω.当6π=
x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2
262π
πϕπ，则Z k k ∈-
=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=652sin πx x f ，
则2335sin 125=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
ππf .11.解：由04242
2
=---+y x y x 得()()9122
2
=-+-y x ，
令t y x =-，则0=--t y x ，圆心()1,2到直线0=--t y x 的距离为
32
11
1122
2
≤-=
+--t t ，解得231231+≤≤-t ，∴y x -的最大值为231+.
12.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，
()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.
设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在
.
设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，
整理得(
)()(
)0944292
2
2
=------k x k k x
k
，
只需满足⎩
⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422
=--k k k ，解得49
=k ，此时满足0>∆.二、填空题13.
4
9；14.5
5-
；15.8；16.2
13.解：由题意可得：()
1252
⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，
准线方程为45-
=x ，点A 到C 的准线的距离为4
9451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.解：∵⎪⎭⎫
⎝⎛∈20πθ，，∴0cos ,0sin >>θθ，由⎪
⎩
⎪⎨⎧===+21cos sin tan 1
cos sin 22θθθθθ，
解得552cos ,55sin ==
θθ，∴5
5
cos sin -=-θθ.15.解：作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，
∴z x y -=2，
联立有⎩⎨
⎧=+-=-9
21
3y x y x ，
解得⎩⎨
⎧==2
5y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使
其经过点A ，
此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .
16.解：如图所示，根据题中条件2==OS OA ，
3===AC BC AB ，
∴3323
321=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯==A O r ，∴()⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+=21212
2
1212A O OO SA OS A O OO OA
即()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2
22222r d SA R r d R ，代入数据得()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3
43422d SA d ，解得2=SA 或1-=SA （舍）三、解答题（一）必做题
17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，
∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；
197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]11122018191115886910
1101
1021=++++++-+++⨯=++=
z z z z ∵()∑=-=10
1
2
101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612
=s ，
∴512210612106121022
2=
⨯==s ，121112==z ，∴10
22s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高
18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+==+=4029
101011
11012d a S d a a 解得⎩⎨
⎧-==2
13
1d a ，∴数列{}n a 的通项公式为()n d n a a n 21511-=-+=.
（2）由（1）知n a n 215-=，令0215>-=n a n 得*
∈≤<N n n ,70∴当*∈≤<N n n ,
70时，()
n n a a n T n n 142
21+-=+=
；当*∈≥N n n ,
8时，
n
n a a a a a a T +++++++= 98721n a a a a a a ----+++= 98721()
n a a a a a a +++-+++= 98721
()
98
1414492222777+-=+--⨯=-=--=n n n n T T T T T n n 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧∈≤++-∈≤+-=*
*
N
n n n n N
n n n n T n ,7,814,7,142219.解：（1）∵BC AB BF AO ⊥⊥,，∴OAB FBC ∠=∠.
22tan ==
∠AB OB OAB ，2
2tan ==∠BC AB ACB ，∴ACB FBC ∠=∠.又点O 为BC 中点，∴BC OF ⊥.又BC AB ⊥∴AB OF ∥.∴点F 为AC 中点.
∵点E 为P A 中点，∴PC EF ∥.
∵点O D ,分别为BC BP ,中点，∴PC DO ∥，即EF
DO ∥∵⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）过点P 作OF PH ⊥，垂足为H .由（1）知BC OF ⊥，
在PBC ∆中，PC PB =，∴BC PO ⊥.
∵O PO OF =⋂，∴BC ⊥平面POF .又⊂PH 平面POF ，∴PH BC ⊥.又∵OF PH ⊥，O BC OF =⋂，∴PH ⊥平面ABC .在PBC ∆中，222=-=
OC PC PO .
在POH Rt ∆中，︒=∠60POH ，3
sin =∠⋅=POH PO PH ∴3
62213131=⋅⋅⨯=⋅=
∆-BC AB PH S PH V ABC ABC P .20.解：（1）（1）当1-=a 时，()(),1ln 11+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x x f ，则()()11111ln 12+⨯⎪
⎭
⎫
⎝⎛-++⨯-
='x x x x x f ，据此可得()()2ln 1,01-='=f f ，
函数在()()11f ，处的切线方程为()12ln 0--=-x y ，即()02ln 2ln =-+y x .
（2）由题意知()()()()()11ln 11
1
11ln 12
22+++-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x x x x x ax x a x x x x f .若()x f 在()∞+，0上单调递增，则方程()()01ln 12
≥++-+x x x ax 在()∞+，0上恒成立，
令()()()0,
1ln 12>++-+=x x x x ax x h ，则()()1ln 2+-='x ax x h .
当2
1
≥
a 时，()()01ln 2≥+-='x ax x h 成立，()x h 单调递增且()00=h ，()0≥x h 成立，符合题意.当210<
<a 时，()()()0112,1ln 2=+-=''+-='x a x h x ax x h ，则121-=a x ，则()x h '在⎪⎭⎫ ⎝
⎛-121,
0a 上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+-，121a 上单调递增，()00='h 则()x h 在⎪⎭
⎫
⎝
⎛-121,
0a 上单调递减，()00=h ，则⎪⎭
⎫
⎝
⎛-∈121,
0a x 上时，()0<x h 不合题意，舍去.当0≤a 时，()()01ln 2<+-='x ax x h ，()x h 单调递减，()00=h ，则()0<x h 不合题意，舍去.
∴a 的取值范围为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞+，
2
1.21.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
==+==3522
22a c e c b a b ，解得⎪
⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y 。

（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()32++=x k y PQ ：，()
()2211,,,y x Q y x P ，
联立方程()⎪⎩⎪⎨⎧=+++=149
322
2x y x k y ，消去y 得：()()()
0316328942
22=+++++k k x k k x k ，则()()()017283946432642222
>-=++-+=∆k k k k k k
，解得0<k ，
可得()()
9
4316,943282
221221++-=++-=+k k
k x x k k k x x ，∵()0,2-A ，则直线()22
11
++=
x x y y AP ：，
令0=x ，解得2211+=x y y ，即⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+22011x y M ，，同理可得⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+22022x y N ，，则()()2
322322222222112211+++++++=+++x x k x x k x y x y ()()()()336
1084232434221212121==++++++++=x x x x k x x k x kx ，∴线段PQ 的中点时定点()3,0.
（二）选做题
22.解：（1）∵θρsin 2=，即θρρsin 22=，可得y y x 22
2=+，整理得()112
2=-+y x ，表示以()1,0为圆心，半径为1的圆，又∵θθθθρ2sin cos sin 2cos ===x ，θθθρ2cos 1sin 2sin 2-===y ，且24πθπ≤≤，则πθπ≤≤22
，则[]1,02sin ∈=θx ，[]2,12cos 1∈-=θy ，故1C ：()1122=-+y x ，[]1,0∈x ，[]2,1∈y .
（2）∵2C ：⎩⎨
⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）整理得422=+y x ，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线m x y +=过()1,1，则0=m ，
若直线m x y +=即0=+-m y x 与2C 相切，则⎪⎩
⎪⎨⎧>=022m m ，解得22=m ，
若直线m x y +=与1C ，2C 均没有公共点，则22>m 或0<m ，
即实数m 的取值范围为()()
∞+⋃∞-，，220
.
23.解：（1）依题意，()⎪⎩
⎪⎨⎧<+-≤≤+>-=0,2320,22,23x x x x x x x f ，
不等式()x x f -≤6化为：⎩⎨⎧-≤->x x x 6232或⎩⎨⎧-≤+≤≤x x x 6220或⎩⎨⎧-≤+-<x x x 6230，解得22≤≤-x ，∴不等式()x x f -≤6的解集为[]22，-.
（2）作出不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤0
6y x y x f 表示的平面区域，如图中阴影ABC ∆，
由⎩
⎨⎧=++-=623y x x y 得()82，-A ，由⎩⎨⎧=++=6
2y x x y ，解得()42，C ，
又()()6020，，，D B ，
∴ABC ∆的面积
()822262
121=--⨯-=-⨯=∆A C ABC x x BD S
.。