山东省聊城市莘县莘城镇中学2021年高一数学理联考试题含解析

山东省聊城市莘县莘城镇中学2021年高一数学理联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图,中，点同时从点出发，分别沿,
运动，相遇时运动停止。

已知,运动的速度是的两倍，则
的最大值是( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 设，且，则
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 已知集合A={x∈Z||x|＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（）
A．（1，4）B．[1，4）C．{1，2，3} D．{2，3，4}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x∈Z||x|＜4}={x∈Z|﹣4＜x＜4}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={1，2，3}，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4. 设函数为奇函数，,则
A.5
B.
C.1
D. 0
参考答案：
B
5. 关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
参考答案：
A
略
6. 已知＜α＜π，sinα+cosα=，则（）
A．﹣B．﹣C．D．﹣
参考答案：
D
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知，sinα+cosα=，
∴1+2sinα?cosα=，∴sinαcosα=﹣，
∴sinα＞0，cosα＜0．
再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，
∴==﹣，
故选：D．
7. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
C
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知
∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A
∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角
而三角形D1AC为等边三角形
∴∠D1AC=60°
故选C．
8. 根据如下样本数据：
求得y关于x的线性回归方程为，则x每减少1个单位，y
A. 增加0.7个单位
B. 减少0.7个单位
C. 增加2.2个单位
D. 减少2.2个单位
参考答案：
D
，则每减少1个单位，减少2.2个单位.
9. 已知集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|1＜x≤3}，则如图所示阴影部分表示的集合为（）
A．[0，1）B．（0，3] C．（1，3）D．[1，3]
参考答案：
C
【分析】根据Venn图得到阴影部分对应的集合为B∩（?U A）．根据集合的基本运算关系进行求解．
【解答】解：A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≥3或x≤0}，
图中阴影部分所表示的集合为B∩（?U A）．
则?U A={x|0＜x＜3}，
则B∩（?U A）={x|1＜x＜3}=（1，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．10. 法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由几何概型中的角度型得：，得解．
【详解】设固定弦的一个端点为，
则另一个端点在圆周上劣弧上随机选取即可满足题意，
则（A），
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概型中的角度型，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若圆与圆相交于，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是__________
参考答案：
略
12. 程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入；
参考答案：
k≤10（或k＜11）
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．
【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，
∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，
∴判断框的条件是k≤10（或k＜11），
故答案是k≤10（或k＜11），
【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．
13. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于______
参考答案：
略
14. 函数y=3cos（2x+）的最小正周期为．
参考答案：
π
【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据余弦函数y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为T=，求出即可．
【解答】解：函数y=3cos（2x+）的最小正周期为
T===π．
故答案为：π．
15. 在区间内随机取一个数，的值介于0到之间的概率
为
参考答案：
16. 已知点M在的内部，，,，，
,
则CM的长是___________。

参考答案：
略
17. 函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在
内是单调函数；②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”。

下列函数中存在“倍值区间”的有________。

①；②（x∈R）；
③；④=︱x︱（x∈R）；
参考答案：
①③
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 直线l过直线x + y－2 = 0和直线x－y + 4 = 0的交点，且与直线3x－2y + 4 = 0平行，求直线l的方程.
参考答案：
解法一：联立方程：解得，即直线l过点(－1,3)，由直线l与直线3x－2y + 4 = 0平行得：直线l的斜率为，
所以直线l的方程为：y－3 = (x + 1) 即3x－2y + 9 = 0.
解法二：∵直线x + y－2 = 0不与3x－2y + 4 = 0平行
∴可设符合条件的直线l的方程为：x－y + 4 + λ(x + y－2)= 0 整理得：(1 + λ)x+ (λ－1)y + 4－2λ = 0
∵直线l与直线3x－2y + 4 = 0平行
∴解得λ =
∴直线l的方程为：x－ y + = 0即3x－2y + 9 = 0
略
19. （14分）已知向量，满足，+=（﹣，3），﹣=（3，﹣1），=（m，3），
（1）求向量，的夹角θ值；
（2）当（3+）∥时，m的值．
参考答案：
考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知求出向量，的坐标，然后解答．
解答：由已知+=（﹣，3），﹣=（3，﹣1），得=（，1），=（﹣2，2），
所以（1）向量，的夹角θ余弦值为cosθ===，所以θ=；（2）由（1）可知3+=（，5），当（3+）∥时，得3=5m，所以m=．点评：本题考查了向量的加减、数量积的坐标运算，以及利用数量积求向量的夹角．20. （12分）已知函数f（x）=x﹣，
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性．
参考答案：
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣∞，0）上的单调性．
解答：证明：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
则f（﹣x）=﹣x+=﹣（x﹣）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x1＜x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣x2+=（x1﹣x2）﹣=（x1﹣x2）（1+），
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，1+＞0，
∴（x1﹣x2）（1+）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调递增．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，综合考查函数性质的应用．
21. 已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（）+f（）．当x＞0时，f （x）＞0
（1）判断函数f（x）在R上的单调性并证明；
（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（）+f（），令
x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，带入f（x）=f（）+f
（）．利用x＞0时，f（x）＞0，可判断单调性．
（2）求解f（x）的奇偶性，可得g（x）的奇偶性，x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），利用奇偶性求g（x）的解析式，判断单调性，从而求解不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立时实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（）+f （），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，
则，
可得：则，即＞0．
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
（2）令x=0，y=2x，
可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．
∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．
当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），
即g（x）=
当x＜0时，g（x）的最大值为m．
对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，
只需要：1≥3m﹣（﹣2m），
解得：．
故得实数m的取值范围是（﹣∞，）．
22. （12分）已知是定义在(－4,4)上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若满足：
，求实数的取值范围．
参考答案：
∵函数f(x)为奇函数，
∴f(1－a)<－f(2a－3)＝f(3－2a)．
又f(x)为(－4,4)上的减函数，
∴，解得2<a<，
∴a的取值范围是{a|2<a<}．。