(北师大版)高三理科第一轮复习学案： 第8章第7节 双曲线学案

第七节双曲线
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．
(对应学生用书第144页)
[基础知识填充]
1．双曲线的定义
(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个
定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
[
1．三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax 2＋By 2
＝1(AB<0)．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2
－a 2y 2
＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2
a 2－y
2
b
2＝λ(λ≠0)．
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x，离心率为e ＝ 2.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2
m －y
2n
＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )
(3)双曲线x 2
m 2－y 2
n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2
m 2－y 2
n 2＝0，即x m ±y
n ＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)³ (2)³ (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知双曲线x 2
a 2－y
2
3
＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2
B ．
62 C ．5
2
D ．1 D [依题意，e ＝c a ＝a 2
＋3a
＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2
＝1，a ＝1.]
3．若双曲线E ：x 2
9－y
2
16
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]
4．已知双曲线x 2
a 2－y
2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程
为( ) A ．x 2
4－y 2
＝1
B ．x 2
－y
2
4
＝1
C ．3x 2
20－3y
2
5
＝1
D ．3x 25－3y
2
20
＝1
A [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝1
2，
a 2
＋b 2＝5，
a ＞0，
b ＞0，
解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 2
4
－y 2
＝1，故选A ．]
5．(2017²全国卷Ⅲ)双曲线x 2
a 2－y 2
9＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3
5
x ，则a ＝________.
5 [∵双曲线的标准方程为x 2
a 2－y
2
9＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3
a
x.
又双曲线的一条渐近线方程为y ＝3
5
x ，∴a＝5.]
(对应学生用书第145页)
(1)已知双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4
3
|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为
( )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
(2)(2017²湖北武汉调研)若双曲线x 2
4－y
2
12＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋
|PA|的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10
D ．12
(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1
3
|PF 2|＝2a ＝2，
解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1|²|PF 2|＝24.
(2)由题意知，双曲线x 2
4－y
2
12＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B(4,0)，由双曲线
的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2
＋(0－4)2
＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF|＋|PA|的最小值为9.]
121221【导学号：79140294】
A ．14
B ．13
C ．
24
D ．
23
A [由e ＝c
a
＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A|－|F 2A|＝2a.
又|F 1A|＝2|F 2A|，故|F 1A|＝4a ，
|F 2A|＝2a ，∴cos∠AF 2F 1＝(4a)2
＋(2a)2
－(4a)2
2³4a³2a ＝1
4.]
(1)(2017²全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 2
12＋y
2
3＝1
有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 2
8－y
2
10＝1
B ．x 24－y
2
5＝1
C ．x 2
5－y
2
4
＝1
D ．x 2
4－y
2
3
＝1
(2)(2018²湖北调考)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线
上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 2
－y
2
4
＝1
B ．x 2
－y
2
3
＝1
C ．x 2
－y
2
2
＝1
D ．x 2－y 2
＝1
(1)B (2)D [(1)由y ＝
52x 可得b a ＝5
2
. ① 由椭圆x 2
12＋y
2
3＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a 2
＋b 2
＝9.
②
由①②可得a 2
＝4，b 2
＝5. 所以C 的方程为x 2
4－y
2
5＝1.
故选B ．
(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M 作MN⊥x 轴于点N ，则|BN|＝1，|MN|＝3，所以M(2，3)，代入双曲线方程得4－3
b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程
为x 2
－y 2
＝1，故选D ．]
[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：a 2－b 2＝1的离心率e ＝4
，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )
A ．x 2
4－y
2
3＝1
B ．x 29－y
2
16＝1
C ．x 2
16－y
2
9
＝1
D ．x 2
3－y
2
4
＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差
的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________． (1)C (2)x 2
16－y
2
9＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5.
又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2
＝9.
所以双曲线C 的标准方程为x 2
16－y
2
9
＝1.
(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.
故曲线C 2的标准方程为x 2
42－y 2
32＝1，即x 2
16－y
2
9＝1.]
◎角度1 双曲线的离心率问题
(2018²长沙模拟(二))已知双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2
＝83相切，则该双曲线
的离心率为( ) A ．
6
2
B ．32
C ． 3
D ．3
A [由双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝b a x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b|b 2＋a 2＝22b
c ＝22
3，即c
＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2
)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62
，故选A ．]
◎角度2 双曲线的渐近线问题
(2018²合肥二检)已知双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．
y ＝±2x [因为e ＝c a ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2
，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
x.]
◎角度3 双曲线性质的综合应用
(2017²全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2
－y
2
3
＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是
(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13
B ．12
C ．23
D ．32
D [因为F 是双曲线C ：x 2
－y
2
3＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2
P
3＝1，解得y P ＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12³|PF|³1＝12³3³1＝3
2.
故选D ．]
[跟踪训练] (1)(2017²全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线a
2－y 2
＝1的离心率的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(2，2)
C ．(1，2)
D ．(1,2)
(2)(2016²全国卷Ⅰ)已知方程x 2
m 2＋n －y
2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范
围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3)
D ．(0，3)
(3)(2017²武汉调研)双曲线C ：y 2
a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
4，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴
长等于________.
【导学号：79140295】
(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2
＋1
a .
∴e 2
＝a 2
＋1a 2＝1＋1a
2.
∵a＞1，∴0＜1a ＜1，∴1＜1＋1
a ＜2，
∴1＜e ＜ 2.
故选C ．
(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋n ＞0，
3m 2
－n ＞0.
又∵(m 2
＋n)＋(3m 2
－n)＝4，∴m 2
＝1，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋n ＞0，
3－n ＞0，
∴－1<n<3.
若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为
y 2n －3m 2－x
2
－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
n －3m 2
＞0，－m 2
－n ＞0，
即n>3m 2
且n<－m 2
，此时n 不存在．故选A ．
(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c)，所以bc a 2
＋b 2
＝b ＝3，所以a ＝c 2
－b 2
＝
2516
a 2－9，所以a 2
＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。