高考二轮复习理科数学课件考点突破练13圆锥曲线的方程与性质

5.(2023 山东青岛一模)已知双曲线
2
C: 2

2
− 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别

为 F1,F2,直线 y= 3x 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,若四边形 AF1BF2
为矩形,则 C 的离心率为( C )
A.
3+1
2
B.3
C. 3+1
D. 5+1
解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),而 F1(-c,0),F2(c,0),显然直线 y= 3x 与 F1F2 交于原
点 O,由双曲线对称性知,若四边形 AF1BF2 是矩形,则|AB|=|F1F2|,由
= 3,
2 2
2 2
消去 y,整理得(b -3a )x =a b ,解得 x1=2
即
则

e=

2
2 2
= 1,
则|AB|= 1 + 3|x1-x2|=
2
2
2
2
4
2 -32
,则
4
2 -32
考点突破练13
圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点
P的横坐标为4,则|PF|=( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故
选D.
2.(2023 四川达州二模)设 F1,F2 是双曲线
11.(2023四川广安二模)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,
以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=( C )
A.4
B.6
C.8
D.10
解析 记
1
m=>0,则直线
l 的方程可表示为 x=my-2,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
= -2,
2 -1

D. 6
中,a>1,b=1,c= 2 - 2 =
2 - 2
,解得
=
的离心率分别为 e1,e2.若

3,∴e2=
2 3
a= 3 .故选
A.
=

2
-1,∴e1=
3
.
2
=
2 -1

.
4.(2022 全国乙,理 5)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 A 在 C 上,点 B(3,0),若
联立 2
消去 x,整理得 y2-4my+8=0,Δ=16m2-32>0,可得 m2>2,
= 4,
则 y1+y2=4m,y1y2=8.
=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),由已知可得 DA⊥DB,则 ·
=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8
线段 AF 的垂直平分线经过点
A.2 3p
B. 3p
5
B(0, 2 ),则|AF|=(
C.2 5p
解析 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为
2

F(0,2 ),
D )
D.2p
5
设 A(x1,y1),线段 AF 的垂直平分线经过点 B(0, ),所以|BF|=|BA|,
2
5
5 2
5 2
点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( C )
A.3
B. 3
C.2
D. 2
解析 由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为
则点 F2 到渐近线的距离为

2 + 2

y= x,
=b.
设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,
∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.
|AF|=|BF|,则|AB|=( B )
A.2
B.2 2
C.3
D.3 2
解析 设点 A(xA,yA),由题意知点 F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,
又|AF|=|BF|,所以 xA+1=2,即 xA=1,所以2 =4.所以|AB|= ( -3)2 + 2 =2 2.
1
+
2
=1(a1>b1>0),双曲线
12
2
C2: 2
2
2
− 2 =1(a2>0,b2>0).
2
如图,因为椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点,∴c1=c2= 3,
∵e2= 3,
2
∴a2= =1,b2=
2
22 -22 = 2,∴双曲线 C2 的方程为
2

x2- =1.
2
由余弦定理|1 2 |2 = |1 |2 + |2 |2 -2|PF1|·
2
2
2
-6·2 -3=0,又2 >0,解得2 =3+2
=
2
2
=
2
1+ 2

=

2 -32
,x2=

2 -32
=2c,化简得 b4-6a2b2-3a4=0,
3.
4 + 2 3 = 3+1.故选 C.
.
6.(2023 河南洛阳三模)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,A 为抛物线 C 上的点,
12
12
+ 2 = 1,
2

中点,所以 x1+x2=3c,y1+y2=-b.又 P,Q 为椭圆上的点,所以 2
两式相减
2
22
+
=
1,
2
2


( 1 + 2 )( 1 - 2 )
(1 +2 )(1 -2 )
1 -2 2 1 + 2 2
得
+
=0,所以直线 l 的斜率 kPQ=
=- 2 ·
=- 2 ·
2
2


1 - 2
又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.
∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.
∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.
13.(2023 广西南宁二模)已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点 F1(- 3,0), F2( 3,0),
2
2
2
即2p-2 = 1 + (1 - 2 ) ,所以 4p =1 + (1 - 2 ) ,
2
3
2
2
2
因为1 =2py1,则 41 -12py1+9p =0,(21 -3) =0,解得 y1= 2 ,

根据抛物线定义可得|AF|=y1+2 =2p.故选 D.
7.已知点 F1,F2 分别为双曲线
2
C:2
−
2
2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M 为 C 的左支上
一点,|MF1|=|F1F2|=2c,若圆 F1:(x+c)2+y2=c2 与直线 MF2 相切,则 C 的离心率为
( D )
A.
3+1
2
B. 3+1
C. 5
D.
5+1
2
解析 作 F1D⊥MF2,垂足为 D,因为圆 F1:(x+c)2+y2=c2 与直线 MF2 相切,所以
10.设椭圆
2
C:2
相交于 M,N
+
2
2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过原点的直线 l 与椭圆 C
|1 |
两点(点 M 在第一象限).若|MN|=|F1F2|,| |
1
≥
3
,则椭圆 C 的离心率 e
3
的最大值为( D )
A.
6-1
2
B. 6-1
C.
3-1
2
D. 3-1
∴|BD|= 5 2 -4 2 cos,由双曲线的定义知|BD|-|AD|=2a,
∴2a= 5 2 -4 2 cos-c,
∴离心率

e=
=
又 ∈
π
0, 2
∴e∈
5+1
,
+
∞
2
2
2
=
2
52 -42 cos-
,∴cos θ∈(0,1),∴
.故选 B.
=
2
,
5-4cos-1
m2=0,可得 m2=3,所以|AB|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 = 1 + 2 ·
162 -32 = 1 + 3 · 16 × 3-32=8.故选 C.
12.已知
2
F2,F1 是双曲线 2

−
2
2

=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称
由于点 M 在第一象限,
则 x<a,即 x=a- 2 -2 2 ,
|1 |
由题意
|1 |
=
|2 |
|1 |
≥
2
3
π
1
,则∠MF1F2≥ ,则|MF2|≥ |F1F2|,a3
6
2
2 -2 2 ≥c,
整理得 2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,解得 0<e≤ 3-1,即 e 的最大值为 3-1.
故选C.
3.(2023 新高考Ⅰ,5)设椭圆
e2= 3e1,则 a=( A )
2 3
A.
3
B. 2
解析 由题意,在
在
2
C2: 4 +y2=1
∵e2= 3e1,∴
2
2

C1: 2 +y2=1(aΒιβλιοθήκη Baidu1),C2: +y2=1

4
C. 3
2
C1: 2 +y2=1
中,a=2,b=1,c=
3
2
= 3×
5-4cos-1∈(0, 5-1),
9.(2023
2
内蒙古赤峰二模)双曲线 2

−
2
2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过
点 F1 作倾斜角为 45°的直线交双曲线右支于点 P,若 PF2 垂直于 x 轴,则双曲线的
离心率为( D )
A. 2-1
B. 2
C. 2±1
D. 2+1
|PF2|cos∠F1PF2,
得 12=|1 |2 + |2 |2 -|PF1|·
|PF2|,
又∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.
根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,
∴a1=3,b1=
故选 A.
12 -12
= 6,∴椭圆
2
C1 的方程为
|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|= 3c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=2 3c,由双
曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即 2 3c-2c=2a,所以

e=
=
1
3-1
=
3+1
,故选
2
A.
8.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦
点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为( B )
A. 1,
5+1
2
C. 1,
3+1
2
B.
5+1
,
2
+∞
D.
3+1
,
2
+∞
解析
π
如图,设|AB|=2c(c>0),∠BAD=θ,θ∈(0,2),则|AD|=c,
在△ABD 中,由余弦定理知,
|BD|2=|AB|2+|AD|2-2|AB|·
|AD|cos∠BAD=5c2-4c2cos θ,
解析 设 P(x0,y0),因为 PF2 垂直于 x 轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则
2
2
02
2
2
2
− 2 =1,解得 y0= ,故|PF2|= ,所以 =2c,结合
b2=c2-a2,可得 c2-2ac-a2=0,所
以 e2-2e-1=0,解得 e=1± 2,1- 2舍去,故离心率为 2+1.故选 D.
2
C: 4
2
− 3 =1
的左、右焦点,过点 F2 的直线
与 C 的右支交于 P,Q 两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=( C )
A.5
B.6
C.8
D.12
解析 由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,
∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.
解析 依题意作图:
由于|MN|=|F1F2|,并且线段 MN,F1F2 互相平分,
π
∴四边形 MF1NF2 是矩形,其中∠F1MF2= ,|NF1|=|MF2|.
设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,
根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,
即 x2+(2a-x)2=4c2,整理得 x2-2ax+2b2=0,
π
离心率分别为 e1,e2,点 P 为椭圆 C1 与双曲线 C2 在第一象限的公共点,且∠F1PF2=3,
若 e2= 3,则椭圆 C1 的方程为( C )
2
2
A. 9 + 6 =1
2
2
C.12 + 9 =1
2
2
B. 6 + 3 =1
2 2
D. 4 +y =1
解析 设椭圆
2
C1: 2
10
A. 10
5
2 5
C. 5 或 5
5
B. 5
10
3 10
D. 10 或 10
解析 (方法一)设 F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为=3 ,所以
3

3
=2 ,即(c,-b)=2(x0-c,y0).所以 x0= 2 ,y0=-2 ,即 B( 2 ,-2 ).因为点 B 为线段 PQ 的
9
+
2
=1.
6
14.(2023 湘豫名校联考二)已知椭圆
2
C:2
+
2
2

=1(a>b>0)的上顶点为 A,直线
l:9x-10y-57=0 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 B,直线 AB 恰好经过椭
圆 C 的右焦点 F,且=3,则椭圆 C 的离心率为( D )