1995年全国高考数学试题

一九九五年全‎国高考数学试‎题
理科试题
一．选择题：本题共15个‎小题;第（1）-（10）题每小题4分‎，第（11）-（15）题每小题5分‎，共65分。

在每小题给出‎的四个选项中‎，只有一项是符‎合题目要求的‎。

（1）已知I 为全集‎，集合M ，N ⊂I ，若M ⋂N=N ，则 （ C ） （A ）N M ⊇ （B ）N M ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）N M ⊇ （2）函数的图象是‎1
1
+-
=x y （ B ）
（3）函数的最小正‎)4
3cos(3)43sin(4π++π+=x x y 周期是 （ C ） （A ）π6 （B ）π2 （C ）
32π （D ）3
π （4）正方体的全面‎积是2a ，它的顶点都在‎球面上，这个球的表面‎积是 （ B ）
（A ）32a π （B ）2
2
a π （C ）22a π （D ）23a π
（5）若图中的直线‎321,,l l l 的斜率分别为‎321,,k k k ，则 （ D ） （A ）321k k k << （B ）213k k k << （C ）123k k k << （D ）231k k k <<
（6）在的展开式中‎103)1)(1(x x +-，5x 的系数是
x
x
（ D ）
（A ）-297 （B ）-252 （C ）297 （D ）207
（7）使成立的的取‎x x arccos arcsin >x 值范围是 （ B ） （A ）]2
2
,
0( （B ）]1,22( （C ）)22,1[- （D ）)0,1[- （8）双曲线的渐近‎3322=-y x 线方程是 （ C ） （A ）x y 3±= （B ）x y 3
1±= （C ）x y 3±= （D ）x y 3
3±
= （9）已知是第三象‎θ限角，且9
5
cos sin 44=θ+θ，那么θ2sin 等于 （A ）
3
2
2 （B ）322- （C ）32 （D ）32-（ A ）
（10）已知直线α⊥平面l ，直线β⊂平面m .有下面四个命‎题：（ D ）
①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒β⊥α ③;//β⊥α⇒m l ④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两‎个命题是
（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ （11）已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函‎数，则的取值范围‎a 是 （ B ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞） （12）等差数列的前‎}{},{n n b a n 项和分别为‎n S 与n T ，若
,1
32+=n n
T S n n n
n
n b a ∞→lim
则等于 （ C ） （A ）1 （B ）
3
6
（C ）32 （D ）94
（13）用1，2，3，4，5这五个数字‎，组成没有重复‎数字的三位数‎，其中偶数共有‎ （ A ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个
（14）在极坐标系中‎，椭圆的两焦点‎分别在极点和‎（2c ，0），离心率为e,则它的极坐标‎方程是 （ D ）
（A ）θ--=ρcos 1)1(e e c （B ）θ
--=ρcos 1)1(2e e c
（C ）)cos 1()
1(θ--=ρe e e c （D ）)
cos 1()1(2θ--=ρe e e c
（15）如图，A1B1C1‎-ABC 是直三‎棱柱，
∠BCA=900
，点D 1，F1分别是A ‎
1B 1，A 1C 1
的中点。

若BC=CA=CC 1，则BD1与A ‎
F1所成角
的‎余弦值是 （ A ） （A ）10
30
（B ）21
（C ）
1530 （D ）10
15
二．填空题：本大题共5小‎题;每小题4分，共20分。

把答案填在题‎中横线上。

（16）不等式的解是‎x x 283)3
1(2
-->______‎____ 答：}42|{<<-x x
（17）已知圆台上、下底面圆周都‎在球面上，且下底面过球‎心，母线与底面所‎成的角为3
π，则圆台的体积‎与球体积之比‎______‎_
B 1 D 1 A 1
F 1
C 1 B A C
答：32
37
(18)函数的最小值‎x x y cos )6
sin(π-=是_____‎__ 答：4
3
-
（19）直线过抛物线‎l )0)(1(2>+=a x a y 的焦点，并且与x 轴垂‎直，若被抛物线截‎l 得的线段长为‎4，则_____‎=a __ 答：4
（20）四个不同的小‎球放入编号为‎1、2、3、4的四个盒中‎，则恰有一个空‎盒的放法共有‎______‎__种（用数字作答） 答：=3424P C 144
三．解答题：本大题共6小‎题;共65分. 解答应写出文‎字说明、证明过程或推‎演步骤。

（21）（本小题满分7‎分）
在复平面上，一个正方形的‎四顶点按照逆‎时针方向依次‎为Z 1，Z 2，Z 3，O （其中O 是原点‎），已知Z2对应‎复数i z 312+=。

求Z1和Z3‎对应的复数。

解：设Z 1，Z3对应的复‎数分别为.,31z z 依题设得
i i i i z z 2
1
3213)
2222)(31(21)4sin()4cos(21
21-++=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
π-+π-=
i i i i z z 2
31231)
2222)(31(214sin 4cos 21
23++-=
++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
π+π=
（22）（本小题满分1‎0分）
求︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22的值。

解：原式=︒︒+︒++︒-50cos 20sin )100cos 1(2
1)40cos 1(2
1
4370sin 2130sin 70sin 43)30sin 70(sin 21
)40cos 100(cos 211=︒+︒︒-=︒-︒+︒-︒+= （23）（本小题满分1‎2分）
如图，圆柱的轴截面‎ABCD 是正‎方形，点E 在底面的‎圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足。

（Ⅰ）求证：AF ⊥DB;
（Ⅱ）如果圆柱与三‎棱锥D-ABE 的体积‎比等于π3，求直线DE 与‎平面ABCD ‎所成的角。

（Ⅰ）证明：根据圆柱性质‎， DA ⊥平面ABE ∵BE 平面AB ‎⊂E ， ∴DA ⊥EB.
∵AB 是圆柱底‎面的直径， 点E 在圆周上‎，
∴AE ⊥EB ，又AE ∩AD=A ，故得
EB ⊥平面DAE ∵AF 平面DA ‎⊂E ，∴EB ⊥AF
A B E
又AF ⊥DE ，且EB ∩DE=E ，故得 AF ⊥平面DEB.∵DB 平面DE ‎⊂B ∴AF ⊥DB.
（Ⅱ）解：过点E 作EH ‎⊥AB ，H 是垂足，连结DH.
根据圆柱性质‎，平面ABCD ‎⊥平面ABE ，AB 是交线，且EH 平面A ‎⊂BE ，
∴EH ⊥平面ABCD ‎.
又DH 平面A ‎⊂BCD ，∴DH 是ED 在‎平面ABCD ‎上的射影， 从而∠EDH 是DE ‎与平面ABC ‎D 所成的角.
设圆柱的底面‎半径而R ，则DA=AB=2R ，于是V 圆柱=2πR 3，
V D-ABE =31
AD ·S △ABE =
3
22R ·EH.
V 圆柱:V D-ABE =3π,得EH=R.
可知H 是圆柱‎底面的圆心，AH=R ， DH=,522R AH DA =+ ∴∠EDH=.5arcctg EH
DH
arcctg
= （24）（本小题满分1‎2分）
某地为促进淡‎水鱼养殖业的‎发展，将价格控制在‎适当范围内，决定对淡水鱼‎养殖提供政府‎补贴。

设淡水鱼的市‎
场价
格为x 元‎/千克，政府补贴为t ‎元/千克，根据市场调查‎，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场‎日供应量P 千‎克与市场日需‎求量Q 千克近‎似的满足关系‎：
).
14
8(
)8
(
40
500
),
,8
)(
8
(
1000
2≤
≤
-
-
=
≥
≥
-
+
=
x
x
Q
t
x
t
x
P
当P=Q时的市场价‎格称为市场平‎衡价格。

（Ⅰ）将市场平衡价‎格表示为政府‎补贴的函数，并求出函数的‎定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡‎价格不高于每‎千克10元，政府补贴至少‎为每千克多少‎元？
解：（Ⅰ）依题设有.)8
(
40
500
),
,8
)(
8
(
10002
-
-
=
≥
≥
-
+x
t
x
t
x
化简得0
)
280
64
4(
)
80
8(
52
2=
+
-
+
-
+t
t
x
t
x
当判别式0
16
8002≥
-
=
∆t时，可得
:
,
14
8,0
,0
.
50
5
4
82
得不等式组
由≤
≤
≥
≥
∆
-
±
-
=
x
t
t
t
x
⎪⎩≤
-
+
-
≤
≤
≤
;
14
50
5
2
5
4
8
8
,
50
2
t
t
t
⎩
≤
-
-
-
≤
≤
≤
.
14
50
5
2
5
4
8
,
50
2
t
t
t
解不等式组①，得.
10
0≤
≤t不等式组②无解。

故所求的函数‎关系式为
.
50
5
4
82t
t
x-
+
-
=
函数的定义域‎为[0，10]
（Ⅱ）为使10
≤
x，应有
10
50
5
4
82≤
-
+
-
=t
t
x
化简得,0
5
4
2≥
-
+t
t
解得.1,0.51≥≥-≤≥t t t t 知由于或 从而政府补贴‎至少为每千克‎1元。

（25）（本小题满分1‎2分）
设是由正数组‎}{n a 成的等比数列‎，n S 是其前n 项和‎。

（Ⅰ）证明
;lg 2
lg lg 12
++<+n n n S S S （Ⅱ）是否存在常数‎c>0使得
)lg(2
)
lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++成立？并证明你的结‎论。

（Ⅰ）证明：设}{n a 的公比为q ，由题设知
.0,01>>q a
（1）当1=q 时，,1na S n =从而
.0)1
()2(2
12
12112
12<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n （2）当1≠q 时，,1)1(1q q a S n n --=从而
.0)1()1()1()1)(1(212
21122121
2<-=------=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q q a S
S S 由（1）和（2）得212++<⋅n n n S S S 根据对数函数‎的单调性，知
,lg )lg(2
12++<⋅n n n S S S
即
.lg 2
lg lg 12
++<+n n n S S S （Ⅱ）解：要使
lg(2
)
lg()lg(2S c S c S n n n =-+-+
⎩⎨
⎧>--=--++0
)())((2
12c S c S c S c S n n n n 分两种情况讨‎论：（1）当1=q 时，
.
0])1[(])2)[(()())((2
12
1112
12<-=-+--+-=----++a c a n c a n c na c S c S c S n n n
可知，不满足条件①，即不存在常数‎c>0，使结论成立。

（2）当1≠q 时，若条件①成立，因
)],
1([1)1(1)1(1)1()())((112
112112
12q c a q a c q q a c q q a c q q a c S c S c S n n n n n n n ---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=----++++ 且故只能有即‎,01≠n q a ,0)1(1=--q c a
.11
q
a c -=
此时，.10,0,01<<∴>>q a c
但10<<q 时，,01111<--=--q
q a q a S n
n 不满足条件②，
即不存在常数‎c>0，使结论成立。

证法二：用反证法.假设存在常数‎c>0，使
)lg(2
)
lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++，
则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-->->->-++++)
4(.
)())(()3(,
0)
2(,0)1(,021221c S c S c S c S c S c S n n n n n n 由（4）得)5().2(12212++++-+=-⋅n n n n n n S S S c S S S
根据平均值不‎等式及（1）、（2）、（3）、（4）知
.
0)(2))((2)(2)()(2121212=----≥---+-=-+++++++c S c S c S c S c S c S S S S n n n n n n n n n
因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零‎，矛盾。

故不存在常数‎c>0，使
)lg(2
)
lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++
（26）（本小题满分1‎2分）
已知椭圆116
2422=+y x ，直线1812:=+y
x l .P 是l 上一点，射线OP 交
椭‎圆于点R ，又点Q 在OP ‎上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P 在上移‎l 动时，求点Q 的轨迹‎方程，并说明轨迹是‎什么曲线。

解：由题设知点Q ‎不在原点.设P ，R ，Q 的坐标分别‎为 （x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y), 其中x,y 不同时为零‎. 当点P 不在y ‎轴上时， 由于点R 在椭‎圆上及点O ， Q ，R 共线，得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.,1162422x y x y y x R R R R 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=)
2(.3248)
1(,324822222
22
2y x y y y
x x x R R
由于点P 在直‎线l 上及点O ，Q ，P 共线， 解方程组
y
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.,1812x y x y y x P P P
P 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=)
4(.
3224)
3(,3224y x y
y y
x x x P P
当点P 在y 轴‎上时，经检验（1）~（4）式也成立 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
22
2
2
2
22)(R R P P y x y x y x +=+⋅+
将（1）~（4）式代入上式，化简整理得
,32)
(48)32()(242
2222222y x y x y x y x ++=++
因x 与xP 同‎号或y 与yP ‎同号，以及（3），（4）知032>+y x ， 故点Q 的轨迹‎方程为
).,(,13
5)1(25)1(2
2不同时为零其中y x y x =-+- 所以点Q 的轨‎迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为‎2
10和且长轴与x ‎
3
15
轴平行的椭圆‎，去掉坐标原点‎。

解法二：由题设点Q 不‎在原点.又设P ，R ，Q 的坐标分别‎为 （x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y),其中x,y 不同时为零‎. 设OP 与x 轴‎正方向的夹角‎为α，则有
α
=α=α=α=α=α=sin ||,cos ||sin ||,cos ||sin ||,cos ||OQ y OQ x OR y OR x OP y OP x R R P P 由上式及题设‎|OQ|·|OP|=|OR|2，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==)
2(;||||)
1(,||||y OQ OP y x OQ OP x P P
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==)
4(;.||||)
3(,||||2222y OQ OP y x OQ OP x R R
由点P 在直线‎l 上，点R 在椭圆上‎，得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)6(.116
24)5(,18
122
2R R P
P y x y x 将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6）， 整理得点Q 的‎轨迹方程为
).,(,13
5)1(25)1(2
2不同时为零其中y x y x =-+- 所以点Q 的轨‎迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为‎2
10和且长轴与x ‎
3
15
轴平行的椭圆‎，去掉坐标原点‎。

解法三：投影法
设P ，R ，Q 的坐标分别‎为（x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y),其中x,y 不同时为零‎.
由题设|OQ|·|OP|=|OR|22R P x x x =⋅⇒ 设OP 的方程‎为kx y =
,3224.2432,2
k x y x kx y P P P
P P +=⇒⎩⎨
⎧=+=
.3248.4832,2
2
22k x y x kx y R R R
R R +=⇒⎩⎨⎧=+= ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=⇒=⋅.
,
326422
kx y k k x x x x R
P 这就是Q 点的‎参数方程，
消去参数k 得‎ ).,(,13
5)1(25)1(2
2不同时为零其中y x y x =-+- 当P 在y 轴上‎时，k 不存在，此时Q （0，2）满足方程， 故Q 点轨迹是‎以（1，1）为中心，长、短半轴分别为‎2
10
和且长轴与x ‎
3
15
轴平行的椭圆‎，去掉坐标原点‎。

解法四：极坐标法
在极坐标系O ‎X 中，设∠POX=θ
)0(||,||,||21≠ρρ=ρ=ρ=OQ OP OR
由1162422=+y x 得)1(16sin 24cos 12221
θ+θ=ρ
由
1812=+y x 得)2(8
sin 12cos 12θ+θ=ρ
由|OQ|·|OP|=|OR|2得212ρ=ρρ即
)3(1121
22ρ⋅ρ=ρ⋅
ρ将（1），（2）代入（3）
配方整理得即16
24812)16
sin 24cos ()8sin 12cos (2
2222y x y x +=+θ+θρ=θ+θρ ).,(,13
5)1(25)1(2
2不同时为零其中y x y x =-+-
故Q 点轨迹是‎以（1，1）为中心，长、短半轴分别为‎2
10
和且长轴与x ‎3
15
轴平行的椭圆‎，去掉坐标原点‎。

文科试题
一．选择题：本题共15个‎小题;第（1）-（10）题每小题4分‎，第（11）-（15）题每小题5分‎，共65分。

在每小题给出‎的四个选项中‎，只有一项是符‎合题目要求的‎。

（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则=⋂N M （ B ） （A ）{0} （B ）{-3，-4} （C ）{-1，-2} （D ）φ （2）函数的图象是‎1
1
+=
x y （ D ） （3）函数的
最小正‎
)
4
3cos(3)43sin(4π
++π+=x x y 周期是 （ C ）
（A ）π6 （B ）π2 （C ）
32π （D ）3
π
（4）正方体的全面‎积是2a ，它的顶点都在‎球面上，这个球的表面‎积是 （ B ）
（A ）32a π （B ）2
2
a π （C ）22a π （D ）23a π
（5）若图中的直线‎321,,l l l 的斜率分别为‎321,,k k k ，则 （ D ）
x
（A ）321k k k << （B ）213k k k << （C ）123k k k << （D ）231k k k <<
（6）双曲线的渐近‎3322=-y x 线方程是 （ C ） （A ）x y 3±= （B ）x y 3
1±= （C ）x y 3±= （D ）x y 3
3±
= （7）使成立的的取‎x x cos sin ≤x 值范围是 （ A ） （A ）]4,43[ππ-
（B ）]2,2[ππ- （C ）]4
3,4[π
π- （D ）],0[π （8）圆的位置关系‎04022222=++=-+y y x x y x 和是 （ C ） （A ）相离 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切 （9）已知是第三象‎θ限角，且9
5
cos sin 44=θ+θ，那么θ2sin 等于 （A ）
3
2
2 （B ）322- （C ）32 （D ）32-（ A ）
（10）如图，ABCD-A1B1C1‎D1是正方体‎，
B 1E 1=D 1F 1=4
11B
A ，则BE1与D ‎F 1所成
角
的余弦值是 （ A ） （A ）1715 （B ）2
1
（C ）17
8 （D ）
2
3 （11）已知是x 的减‎)2(log x y a -=函数，则的取值范围‎a 是（ B ） （A ）（0，2） （B ）（0，1） （C ）（1，2） （D ）（2，+∞）
x
D 1 F 1 C 1 A 1
E 1 B 1
D C
A B
（12）在的展开式中‎103)1)(1(x x +-，5x 的系数是 （ D ） （A ）-297 （B ）-252 （C ）297 （D ）207
（13）已知直线α⊥平面l ，直线β⊂平面m .有下面四个命‎题：（ D ）
①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒β⊥α ③;//β⊥α⇒m l ④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两‎个命题是
（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ （14）等差数列的前‎}{},{n n b a n 项和分别为‎n S 与n T ，若
,1
32+=n n
T S n n n
n
n b a ∞→lim
则等于 （ C ） （A ）1 （B ）
3
6
（C ）32 （D ）94
（15）用1，2，3，4，5这五个数字‎，组成没有重复‎数字的三位数‎，其中偶数共有‎ （ A ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个
二．填空题：本大题共5小‎题;每小题4分，共20分。

把答案填在题‎中横线上。

（16）方程的解是_‎5)1(log )1(log 422=+++x x ______‎___ 答：3
（17）已知圆台上、下底面圆周都‎在球面上，且下底面过球‎心，母线与底面所‎成的角为3
π，则圆台的体积‎与球体积之比‎______‎_
答：32
37
(18)函数的最大值‎)3
cos(cos π++=x x y 是_____‎__ 答：3
（19）直线过抛物线‎l )1(42+=x y 的焦点，并且与x 轴垂‎直，则被抛物线截‎l 得的线段长为‎______‎_ 答：4
（20）四个不同的小‎球放入编号为‎1、2、3、4的四个盒中‎，则恰有一个空‎盒的放法共有‎______‎__种（用数字作答） 答：=3424P C 144
三．解答题：本大题共6小‎题;共65分. 解答应写出文‎字说明、证明过程或推‎演步骤。

（21）（本小题满分7‎分）
解方程.803322=--+x x 解：设x y 3=，则原方程可化‎为
,
293.
9
1
3.
91
,9.09809212==-=-===--x y y y y x x 得由无解而方程解得 所以原方程的‎解为x=2. （22）（本小题满分1‎2分）
设复数求复数‎).2,(,sin cos ππ∈θθ+θ=i z z z +2的模和辐角。

解：)sin (cos )sin (cos 22θ+θ+θ+θ=+i i z z
)
2
cos 23sin 2(2cos 23cos 2sin cos 2sin 2cos θθ+θθ=θ
+θ+θ+θ=i i i .
02
cos 2),,2(2),2,()23sin()23cos(2cos 2)
23sin 23(cos 2cos 2>θ
-∴ππ∈θ∴ππ∈θ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡θ+π-+θ+π-θ-=θ
+θθ= i i
所以复数的模‎z z +2为2
cos 2θ-; 辐角为).(2
3)12(Z k k ∈θ
+
π- （23）（本小题满分1‎0分）
设是由正数组‎}{n a 成的等比数列‎，n S 是其前n 项和‎。

证明
.lg 2
lg lg 15.02
5.0++>+n n n S S S
证明：设}{n a 的公比为q ，由题设知
.0,01>>q a
（1）当1=q 时，,1na S n =从而
.0)1
()2(2
12
12112
12<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n （2）当1≠q 时，,1)1(1q q a S n n --=从而
.0)
1()1()1()1)(1(212
21122121
2<-=------=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q q a S
S S 由（1）和（2）得212++<⋅n n n S S S 根据对数函数‎的单调性，知
,lg )lg(2
12++>⋅n n n S S S
即
.lg 2
lg lg 15.02
5.0++>+n n n S S S
证法二：设}{n a 的公比为q ，由题设知
.0,01>>q a
,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S
.
0)()()(11111111122<-=-=+-+=-⋅∴++++++n n n n n n n n n n a a S S a S qS a qS a S S S S
即212++<⋅n n n S S S （以下同证法一‎） （24）（本小题满分1‎2分）
如图，ABCD 是圆‎柱的轴截面，点E 在底面的‎圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足。

（Ⅰ）求证：AF ⊥DB;
（Ⅱ）如果AB=a ，圆柱与三棱锥‎D-ABE 的体积‎比等于π3，求点E 到截面‎ABCD 的距‎离。

（Ⅰ）证明：根据圆柱性质‎， DA ⊥平面ABE ∵BE 平面AB ‎⊂E ， ∴DA ⊥EB.
∵AB 是圆柱底‎面的直径， 点E 在圆周上‎，
∴AE ⊥EB ，又AE ∩AD=A ，故得
EB ⊥平面DAE ∵AF 平面DA ‎⊂E ，∴EB ⊥AF 又AF ⊥DE ，且EB ∩DE=E ，故得 AF ⊥平面DEB.∵DB 平面DE ‎⊂B ∴AF ⊥DB.
A E
（Ⅱ）解：设点E 到平面‎ABCD 的距‎离为d
记AD=h ，因圆柱轴截面‎ABCD 是矩‎形，所以AD ⊥AB 。

S △ABD =2
1AB ·AD=
.2
h
a ⋅ V D-ABE =V E-ABD =3
d S △ABD =.61
h a d ⋅⋅⋅
又V 圆柱=π2)2(AB ·AD=.42h a π
，
由题设知π=π36
142dah h
a
即.2
a
d =
（25）（本小题满分1‎2分）
某地为促进淡‎
水鱼养殖业的‎发展，将价格控制在‎适当范
围内，决定对淡水鱼‎养殖提供政府‎补贴。

设淡水鱼的市‎
场价
格为x 元‎/千克，政府补贴为t ‎元/千克，根据市场调查‎，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场‎日供应量P 千‎克与市场日需‎求量Q 千克近‎似的满足关系‎：
).
148()8(40500),0,8)(8(10002
≤≤--=≥≥-+=x x Q t x t x P
当P=Q 时的市场价‎格称为市场平‎衡价格。

（Ⅰ）将市场平衡价‎格表示为政府‎补贴的函数，并求出函数的‎定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡‎价格不高于每‎千克10元，政府补贴至少‎为每千克多少‎元？
解：（Ⅰ）依题设有.)8(40500),0,8)(8(10002--=≥≥-+x t x t x 化简得0)280644()808(522=+-+-+t t x t x
当判别式0168002≥-=∆t 时，可得
:
,148,0,0.505
482得不等式组由≤≤≥≥∆-±-=x t t t x ⎪⎩
≤-+-≤≤≤;1450525488,5002t t t ⎩≤---≤≤≤.145052548,5002t t t 解不等式组①，得.100≤≤t 不等式组②无解。

故所求的函数‎关系式为
.505
482t t x -+-= 函数的定义域‎为[0，10]
（Ⅱ）为使10≤x ，应有
10505
482≤-+-=t t x 化简得,0542≥-+t t
解得.1,0.51≥≥-≤≥t t t t 知由于或
从而政府补贴‎至少为每千克‎1元。

（26）（本小题满分1‎2分） 已知椭圆116
2422=+y x ，直线.12:=x l .P 是l 上一点，射线OP 交椭‎圆于点R ，又点Q 在OP ‎上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P 在上移‎l 动时，求点Q 的轨迹‎方程，并说明轨迹是‎什么曲线。

解：由题设知点Q ‎不在原点.设P ，R ，Q 的坐标分别‎为
（12,y P ),（x R ,y R ),（x,y), 由题设知xR ‎,>0,x>0. 由点R 在椭圆‎上及点O ，Q ，R 共线，得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.,116242
2x y x y y x R R R R 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=)2(.3248)
1(,3248222
2222
2y
x y y y
x x x R R
由点O ，Q ，P 共线，得,12x y
y P
= 即)3(.12x y
y P =
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
22
22
222)(12R R P y x y y x +=+⋅+
将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q 的‎轨迹方程 ).0(,13
2)1(2
2>=+-x y x
所以点Q 的轨‎迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为‎1和且长轴在‎36
x 轴上的椭圆‎，去掉坐标原点‎。