高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学

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【分析】 由题目可获取以下主要信息： 对于(1)，两人当班长，有正副之分； 对于(2)，对数的底数与真数交换，其值也不同； 对于(3)，点的坐标有横坐标与纵坐标之分； 对于(4)，焦点在 x 轴上的椭圆方程，必须 a>b. 解答本题，其关键是看问题的结果与选出的元素排列时跟顺 序是否有关，有关即是排列问题，否则不是．
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类型一 排列的概念 【例 1】 判断下列问题是否是排列问题： (1)某班共有 50 名同学，现要投票选举正、副班长各一人， 共有多少种可能的选举结果？ (2)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数，有多 少不同对数值？ (3)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得 多少个不同的点的坐标？ (4)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为 a， b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程ax22＋by22＝1?
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1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时 注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列 元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是 排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
解：按分步乘法计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有 3 种分法； 第二步，分给乙，有 2 种分法； 第三步，分给丙，有 1 种分法． 故共有 3×2×1＝6(种)不同的分法． 列出树形图：如下
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所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英， 数英语，英语数，英数语．
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[目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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【解析】 (1)因为 m，m＋1，m＋2，…，m＋20 中最大的 数为 m＋20，且共有 m＋20－m＋1＝21 个因式．所以 m(m＋1)·(m ＋2)…(m＋20)＝A2m1＋20.
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(2)解：①A315＝15×14×13＝2 730. ②方法 1：AA16059＋ －AA49510＝
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(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
(4)特别地，规定 0！＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含 义作解释．
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(1)设 x∈N*，且 x<23，则(23－x)(24－x)(25－x)·…·(30－x)
可化简为( D )
A．A273－x C．A730－x
B．A3203－－xx D．A830－x
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解析：本题考查排列数公式的应用．先确定最大数，即 n，再 确定因式的个数，即 m.因为 n＝30－x，m＝(30－x)－(23－x)＋1＝ 8，所以原式＝A380－x.故选 D.
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由 1,2,3,4 这四个数字组成的首位数字是 1，且恰有三个相同 数字的四位数的个数是 12 .
解析：本题要求首位数字是 1，且恰有三个相同的数字，用 树形图表示为：
由此可知共有 12 个．
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【正解】 首先注意 a1 位置的数比 a2 位置的数大，可以借助 树形图进行筛选．
满足 a1>a2 的树形图是：
其次满足 a3>a2 的树形图是：
再满足 a3>a4 的排列：2 143,3 142,3 241,4 132,4 231，共 5 个．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
第一章
计数 原理 (jìshù)
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1．2 排列(páiliè)与组合
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1．2.1 排列(páiliè)
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第1课时 排列(páiliè)与排列(páiliè)数公式
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7．为什么规定 0！＝1?
提示：为了使公式 Amn ＝n－n！m！在 m＝n 时也能成立，规定 0！ ＝1，这种规定说明：若一个元素都不取，则构成排列的情形只有 1 种．
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1．对排列定义的四点说明 (1)定义的两个要素： 一是“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素”，要求取出 的元素不能重复；二是“按照一定的顺序排列”． (2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，选取的元素相 同但顺序不同是不同的排列，在实际问题中，要由具体问题的性 质和条件决定． (3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列 顺序也完全相同时，才是相同排列．
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[答一答] 1．排列的定义中包括哪两个基本内容？
提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重 复”；二是“按照一定的顺序排列”．
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2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
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(4)在定义中规定 m≤n，如果 m<n，这样的排列只是取一部 分元素进行排列，称选排列；如果 m＝n，这样的排列是取出所 有元素进行排列，称全排列．
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2．准确理解排列数公式 (1)公式中的 n，m 应该满足 n，m∈N*，m≤n，当 m>n 时不 成立． (2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积， 其特点是：第一个因数是 n(下标)，后面的每一个因数都比它前 面的因数少 1，最后一个因数为 n－m＋1(下标－上标＋1)，共有 m(上标)个连续自然数相乘．
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【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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类型二 排列数的计算问题
【例 2】 (1)乘积 m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示为
( D)
A．Am2
B．A2m1
C．A2m0＋20
D．A2m1＋20
(2)计算：①A315；②AA61590＋－AA49150.
【分析】 按排列数公式计算．
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3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
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知识点二
排列数公式
[填一填]
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9×8×7×6×5＋9×8×7×6 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 ＝109××98××87××76××6×5＋51－ 1＝230. 方法 2：AA16059＋ －AA49510＝505AA4949－＋1A094A94＝460AA4949＝230. 【答案】 (2)①2 730 ②230
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将 A，B，C，D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左 向右，且 A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排 在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
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解：树形图为(如图)：
由树形图知，所有排法为 BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB， CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有 9 种排法．
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排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
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将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一 本，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
[答一答] 4．“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念？
提示：不是同一概念．“一个排列”是指“从 n 个不同元素中 取出 m 个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数；“排 列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个 数”．例如，从 a，b，c 中任取 2 个元素的排列有 ab，ba，ac，ca， bc，cb，共 6 个，6 就是从 a，b，c 中任取 2 个元素的排列数．
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5．对于排列数 Amn 中，m，n 有什么要求？ 提示：m、n∈N＋，且 m≤n.
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6．在 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)中右边共多少项的乘积．
提示：从 n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上 m 个数相乘，可得共 m 项．
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“树形图”在解决个数不多的排列问题时，是一种比较有效 的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排 哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在 前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次 进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形 图写出排列.
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【解】 (1)由题意作树形图，如图．
故所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad， bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac， dba，dbc，dca，dcb，共有 24 个．