概率论与数理统计：1-5事件的独立性
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相互独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立.
1 A 与 B；2 A 与 B；3 A 与 B.
注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
例1 甲, 乙两人同时向敌机开炮,已知甲 击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概 率为0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 }，B={ 乙击中敌机 }，
1 P A1A2 An 1 P(A1)P(A2 )…P(An )
例3 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假
设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合
100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.
解 记 Ai {第i个人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2, ,100. B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒}
解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此 P( A) P(B) P(C ) 1 ,
2 又由题意知 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 ,
4
故有
P(
AB)
P( A)P(B)
1 4
,
P
(
BC
)
P(
AC
)
P(B)P(C ) P( A)P(C )
1, 4 1, 4
解 设以 Hi (i 0,1,2,3) 表示事
件"随机地取出3 件乐器,
其中恰有 i 件音色不纯",
H0 , H1, H2, H3 是 的一个划分,
以 A表示事件"这批乐器被接收". 已知一件音色 纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有 P( A H0 ) (0.99)3, P( A H1 ) (0.99)2 0.05,
证明：A1, A2, A3两两独立，但不相互独立.
证
由题设可知
P( A1)
2 4
1 2
P(
A2
)
P(
A3
)，
1 P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) 4 ,
P( A1A2 A3) 0，
可见 P( A1A2 ) P A1 P A2 , P(A1A3) P A1 P A3 ,
事件 B 为“击落飞机”,
i 1,2,,10.
则 B A1 A2 A10,
P(B) P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A10 ) 1 (0.8)10 0.893.
P( AB) P( A)P(B),
P(BC ) P(B)P(C ), 此时的A,B,C
P(
AC
)
P(
A)P(C ),
两两独立
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
备注：满足前三个条件的A,B,C称为两两独立。
显然：A,B,C相互独立
A,B,C两两独立
r r r2 r 2 r ，(i 1,2,, n)
所以 P(B2 ) rn 2 r n ,
(2) 哪个系统的可靠性更大？
因为 0 r 1，
函数f x xn n 2在r, 2 r上是上凹的，
则 (2 r)n 2 rn，
所以 P(B2 ) P(B1).
即系统Ⅱ的可靠性比系统Ⅰ高.
P( A1 A2 An ) 1 P( A1)P( A2)…P( An)
作业
• 习题1（P30-31）：23, 26，29, 30. • 预习第二章的2.1及2.2。
备用题
伯恩斯坦反例
例1 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立?
P( A2 A3) P A2 P A3 , 但 P(A1A2 A3) P A1 P A2 P(A3).
故命题成立.
两个结论
1 . 若事件 A1, A2, , An (n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立的. 2. 若 n 个事件 A1, A2, , An (n 2)相互独立, 则将 A1, A2, , An 中任意多个事件换成它们的对 立事件,所得的 n 个事件仍相互独立 . (独立性关于 逆运算封闭)
C={敌机被击中 }。
则 C A B.
依题设, P(A) 0.6, P(B) 0.5，且A与B独立，
P(C) P A PB P AB P A PB P A PB
0.6 0.5 0.60.5 0.8.
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件相互独立的概念
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
1.5 事件的独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、独立试验序列 五、小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率的定义知
P( A B) P( AB) P(B)
一般地， P( A B) P( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
2. n 个事件的独立性 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件
相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
则称A1，A2， An两两相互独立.
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
(2) 试问哪个系统的可靠性更高？
系统Ⅰ：
1 2 …n n+1 n+2 … 2n
1
系统Ⅱ：
n+1
2
n
…
n+2
2n
解 设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
(i 1, 2, , n)
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}，B2={ 系统Ⅱ正常工作}
考察系统Ⅰ：
因为 B1 A1A2 An
则 P( A) 0.4, P(B) 0.5, P(C) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC,
故得 P( A1) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C)
0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36. 因为 A2 ABC ABC ABC, 得 P( A2 ) P( ABC ABC ABC) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
p 0.2 0.36 0.6 0.411 0.14
0.458.
例4 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:从该 批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相 互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为 音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不 纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95; 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率 为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不 纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2，An相互独立. (共含2n-n-1个等式)
例2 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在 这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101， 011，000，从袋中任取一张卡片，记
Ai {取到的卡片第i位上的数字为1},i 1, 2,3.
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
互独斥立是是事事 件件间间本的身概 的率关属系性
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B
AB
A
B A
P(A) 1 P(B) 2
P(AB) 1 4
P(AB) 0
3.性质 (1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A
An1An2 A2n
所以 P B1 P A1A2 An P An1An2 A2n P A1A2 A2n
rn rn r2n
rn 2 rn
考察系统Ⅱ：
B2 ( A1 An1)( A2 An2 ) ( An A2n )
而 P(Ai Ani ) P Ai P Ani P Ai Ani
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A、B、C 不相互独立.
射击问题
例2 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞 机的概率是多少?
解 设事件 Ai 为"第 i 名射手击落飞机",
三、内容小结
1. A, B 两事件独立 P( AB) P( A) P(B)
P( AB) P( A)P(B),
A,
B, C
三个事件相互独立
P(BC) P( AC)
P(B)P(C), P( A)P(C),
2.重要结论
P( ABC) P( A)P(B)P(C).
事件A与B、A 与 B、A 与 B、A 与 B ，这四对事件具有相同的独立性. 3 设事件A1, A2 ,, An相互独立,则
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解 设 Ai 表示有 i 个人击中敌机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 ,
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
3 P(B A) P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
0.8574 0.0055 0 0 0.8629.
P( A H2 ) 0.99 (0.05)2, P( A H3 ) (0.05)3,
而
P(H0 ) C936
C3 100
,
P(H1) C41C926
C3 100
,
P(H2 ) C42C916
C3 100
,
P(H3 ) C43
C3 100
.
3
故 P( A) P(Hi )P( A Hi ) i0
2. 定义 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
则 P( Ai ) 0.004, B A1 A2 A100
依题设，A1, A2, , A100相互独立，
所以 P B 1 P(A1 A2
A100 )
1 P( A1A2 A100) 1 P( A1)P( A2 )P( A100)
1 (1 0.004)100 0.33.
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 例4 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件的可靠 性均为 r，且各元件能否正常工作是相互独立的. (1) 求下列两个系统的可靠性；
结论的应用：
设事件 A1, A2,…, An相互独立, 则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P(A1A2…An ) 1 P(A1)P(A2 )…P(An )
11 P(A1)1 P(A2)…1 P(An)
类似可得：
P(A1 A2 … An ) P A1A2 An
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立.
1 A 与 B；2 A 与 B；3 A 与 B.
注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
例1 甲, 乙两人同时向敌机开炮,已知甲 击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概 率为0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 }，B={ 乙击中敌机 }，
1 P A1A2 An 1 P(A1)P(A2 )…P(An )
例3 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假
设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合
100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.
解 记 Ai {第i个人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2, ,100. B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒}
解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此 P( A) P(B) P(C ) 1 ,
2 又由题意知 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 ,
4
故有
P(
AB)
P( A)P(B)
1 4
,
P
(
BC
)
P(
AC
)
P(B)P(C ) P( A)P(C )
1, 4 1, 4
解 设以 Hi (i 0,1,2,3) 表示事
件"随机地取出3 件乐器,
其中恰有 i 件音色不纯",
H0 , H1, H2, H3 是 的一个划分,
以 A表示事件"这批乐器被接收". 已知一件音色 纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有 P( A H0 ) (0.99)3, P( A H1 ) (0.99)2 0.05,
证明：A1, A2, A3两两独立，但不相互独立.
证
由题设可知
P( A1)
2 4
1 2
P(
A2
)
P(
A3
)，
1 P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) 4 ,
P( A1A2 A3) 0，
可见 P( A1A2 ) P A1 P A2 , P(A1A3) P A1 P A3 ,
事件 B 为“击落飞机”,
i 1,2,,10.
则 B A1 A2 A10,
P(B) P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 A2 A10 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A10 ) 1 (0.8)10 0.893.
P( AB) P( A)P(B),
P(BC ) P(B)P(C ), 此时的A,B,C
P(
AC
)
P(
A)P(C ),
两两独立
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
备注：满足前三个条件的A,B,C称为两两独立。
显然：A,B,C相互独立
A,B,C两两独立
r r r2 r 2 r ，(i 1,2,, n)
所以 P(B2 ) rn 2 r n ,
(2) 哪个系统的可靠性更大？
因为 0 r 1，
函数f x xn n 2在r, 2 r上是上凹的，
则 (2 r)n 2 rn，
所以 P(B2 ) P(B1).
即系统Ⅱ的可靠性比系统Ⅰ高.
P( A1 A2 An ) 1 P( A1)P( A2)…P( An)
作业
• 习题1（P30-31）：23, 26，29, 30. • 预习第二章的2.1及2.2。
备用题
伯恩斯坦反例
例1 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立?
P( A2 A3) P A2 P A3 , 但 P(A1A2 A3) P A1 P A2 P(A3).
故命题成立.
两个结论
1 . 若事件 A1, A2, , An (n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立的. 2. 若 n 个事件 A1, A2, , An (n 2)相互独立, 则将 A1, A2, , An 中任意多个事件换成它们的对 立事件,所得的 n 个事件仍相互独立 . (独立性关于 逆运算封闭)
C={敌机被击中 }。
则 C A B.
依题设, P(A) 0.6, P(B) 0.5，且A与B独立，
P(C) P A PB P AB P A PB P A PB
0.6 0.5 0.60.5 0.8.
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件相互独立的概念
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
1.5 事件的独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、独立试验序列 五、小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率的定义知
P( A B) P( AB) P(B)
一般地， P( A B) P( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
2. n 个事件的独立性 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件
相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
则称A1，A2， An两两相互独立.
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
(2) 试问哪个系统的可靠性更高？
系统Ⅰ：
1 2 …n n+1 n+2 … 2n
1
系统Ⅱ：
n+1
2
n
…
n+2
2n
解 设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
(i 1, 2, , n)
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}，B2={ 系统Ⅱ正常工作}
考察系统Ⅰ：
因为 B1 A1A2 An
则 P( A) 0.4, P(B) 0.5, P(C) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC,
故得 P( A1) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C)
0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36. 因为 A2 ABC ABC ABC, 得 P( A2 ) P( ABC ABC ABC) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
p 0.2 0.36 0.6 0.411 0.14
0.458.
例4 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:从该 批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相 互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为 音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不 纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95; 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率 为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不 纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2，An相互独立. (共含2n-n-1个等式)
例2 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在 这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101， 011，000，从袋中任取一张卡片，记
Ai {取到的卡片第i位上的数字为1},i 1, 2,3.
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
互独斥立是是事事 件件间间本的身概 的率关属系性
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B
AB
A
B A
P(A) 1 P(B) 2
P(AB) 1 4
P(AB) 0
3.性质 (1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A
An1An2 A2n
所以 P B1 P A1A2 An P An1An2 A2n P A1A2 A2n
rn rn r2n
rn 2 rn
考察系统Ⅱ：
B2 ( A1 An1)( A2 An2 ) ( An A2n )
而 P(Ai Ani ) P Ai P Ani P Ai Ani
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A、B、C 不相互独立.
射击问题
例2 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞 机的概率是多少?
解 设事件 Ai 为"第 i 名射手击落飞机",
三、内容小结
1. A, B 两事件独立 P( AB) P( A) P(B)
P( AB) P( A)P(B),
A,
B, C
三个事件相互独立
P(BC) P( AC)
P(B)P(C), P( A)P(C),
2.重要结论
P( ABC) P( A)P(B)P(C).
事件A与B、A 与 B、A 与 B、A 与 B ，这四对事件具有相同的独立性. 3 设事件A1, A2 ,, An相互独立,则
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解 设 Ai 表示有 i 个人击中敌机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 ,
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
3 P(B A) P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
0.8574 0.0055 0 0 0.8629.
P( A H2 ) 0.99 (0.05)2, P( A H3 ) (0.05)3,
而
P(H0 ) C936
C3 100
,
P(H1) C41C926
C3 100
,
P(H2 ) C42C916
C3 100
,
P(H3 ) C43
C3 100
.
3
故 P( A) P(Hi )P( A Hi ) i0
2. 定义 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
则 P( Ai ) 0.004, B A1 A2 A100
依题设，A1, A2, , A100相互独立，
所以 P B 1 P(A1 A2
A100 )
1 P( A1A2 A100) 1 P( A1)P( A2 )P( A100)
1 (1 0.004)100 0.33.
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 例4 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件的可靠 性均为 r，且各元件能否正常工作是相互独立的. (1) 求下列两个系统的可靠性；
结论的应用：
设事件 A1, A2,…, An相互独立, 则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P(A1A2…An ) 1 P(A1)P(A2 )…P(An )
11 P(A1)1 P(A2)…1 P(An)
类似可得：
P(A1 A2 … An ) P A1A2 An