2020版高考数学一轮复习课后限时集训60参数方程文含解析北师大版

课后限时集训(六十)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
1．已知P 为半圆C ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π
3
.
(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
[解] (1)由已知，点M 的极角为π
3，
且点M 的极径等于π
3
，
故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，3π6，A (1,0)．
故直线AM 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t
(t 为参数)．
2．(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π
4＝22，现以极点O 为原点，
极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋2cos φ
y ＝－2＋2sin φ(φ为参
数)．
(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；
(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点
P 的坐标为(2,2)，求|AP |＋|BP |的最小值．
[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴22ρcos θ＋22ρsin θ＝22，
即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋2cos φ
y ＝－2＋2sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2
＝4.
(2)∵点P 在直线x ＋y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等， 又曲线C 1是以(－1，－2)为圆心，半径r ＝2的圆，
∴|AP |min ＝|PC 1|－r ＝2＋1
2
＋2＋2
2
－2＝3，
则|AP |＋|BP |的最小值为2×3＝6.
3．已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5.
4．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝m －12t ，y ＝32
t (其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．
(1)若|AB |＝
15
2
，求实数m 的值； (2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求1|PA |＋1
|PB |的值．
[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2
＝2ρsin θ， 转化为普通方程可得x 2
＋y 2
＝2y ，即x 2
＋(y －1)2
＝1. 把⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝m －12t ，y ＝32t
代入x 2＋(y －1)2
＝1并整理可得
t 2－(m ＋3)t ＋m 2＝0，(*)
由条件可得Δ＝(m ＋3)2
－4m 2
＞0，解得－
3
3
＜m ＜ 3. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋3，t 1t 2＝m 2
≥0，|AB |＝|t 1－t 2|＝
t 1＋t 2
2
－4t 1t 2＝m ＋3
2
－4m 2
＝
15
2
， 解得m ＝
32或36
. (2)当m ＝1时，(*)式变为t 2
－(1＋3)t ＋1＝0，
t 1＋t 2＝1＋3，t 1t 2＝1，
由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得
1
|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1＋ 3. B 组 能力提升
1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝
π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
[解] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2
9
＝1.
C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是
8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t ＝π
2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．
故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝5
5
|4cos θ－3sin θ－13| ＝
5
5
|3sin θ－4cos θ＋13| ＝
55|5sin(θ－φ)＋13|⎝
⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43. 所以d 的最小值为85
5
.
2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t ＋1，
y ＝3t ＋1
(t 为参
数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ
1－cos 2
θ
. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.
[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝t ＋1，
y ＝3t ＋1
得其普通方程为3x －y －3＋1＝0.将x ＝ρcos
θ，y ＝ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0.由ρ＝
2cos θ1－cos 2
θ
可得ρ2
(1－cos 2
θ)＝2ρcos θ，即ρ2
sin 2
θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2x .
(2)∵直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π
3.又直线l ′过点M (2,0)，∴直线l ′
的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋1
2t ′，y ＝32
t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2
－
4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－16
3，t ′1
＋t ′2＝4
3
，
∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′2
2
－4t ′1t ′2＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫432＋16×43＝4133.。