2008年高考上海文理科数学试卷及答案

2 0 0 8 年 上海高考数学试卷(理)、（文）评析一. 填空题（本大题满分44分）1．不等式11<-x 的解集是 )2,0( .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =____2_________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____+1i .________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f 2 .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=___7_______.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 2. .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是43(结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 ),1()0,1(∞+- .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 5.10,5.10==b a .10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是a h h 2c o t c o t 2211≤⋅+⋅θθ解：11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是),6()6,(∞+-∞- .解：方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标，由此可知：方程044=-+ax x 可变为：34x a x +=，先算：方程42x x x=⇒=，2则33226x a a a +=+<⇒<-或33(2)26x a a a +=-+>-⇒> （文）11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是解：作图：由图可知点落在BC 边时，有BC:y=-2x+10， 则22525(210)2102()22w x x x x x =⋅-+=-+=--+ 当52x =时，即点P 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛5,25时，w 值最大。

二. 选择题（本大题满分16分）12. 组合数rnC )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] (D ) (A)1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( C ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( B )(A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优 于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( D )(A) . (B) .(C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD -中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.3[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan .17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD . 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO .由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO .在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米），14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ，4∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米.18.（本题满分15分）已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值. （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . 点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-=14)3(22-+-=x x 54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x .2||≥x ，∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552.（文）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于N M 、两点.（1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值.5233π2cos1=-=. （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t .⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ，∴ ||MN 的最大值为3. 19.（本题满分16分）已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，xx x f 212)(-=. 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-xx ， 解得 212±=x .02>x ，()21log 2+=∴x . （2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ，即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点.6（1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上； （3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由[解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8.[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1.P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ， ∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. （3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q .将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=.当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上；7当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上.（文） 已知双曲线12:22=-y x C . （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为)1,0(. 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点M E D 、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P 为双曲线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x λ12020+--=y x 22320+-=x .20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点， 则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,0k . 由计算可得，当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k k k s21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．8已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n nn n n a da a c a a （1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ； （3）当ma 101<< （m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列m a 12-,m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. （1）21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，…()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . （3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，mam a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m 31的等比数列.9当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m .由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+m a m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=.（文）已知数列{}n a ：11=a ，22=a ，r a =3，23+=+n n a a （n 是正整数），与数列{}n b ：11=b ，02=b ，13-=b ，04=b ，n n b b =+4（n 是正整数）. 记n n n a b a b a b a b T ++++= 332211.（1）若6412321=++++a a a a ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，n T n 412-=；（3）已知0>r ，且存在正整数m ，使得在 ,,212112++m m T T ，1212+m T 中有4项为100. 求r 的值，并指出哪4项为100.[解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r r r 448+=. 64448=+r ，∴4=r . [证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立. 根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=.10[解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4； 当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数， ∴ 这些项均不可能取到100. ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100.。