2013年上海高考数学(理科)试卷及答案

2013年上海市秋季高考理科数学

一、填空题 1．计算：20

lim

______313

n n n →∞+=+

【解答】根据极限运算法则，201

lim

3133

n n n →∞+=+．

2．设m R ∈，2

2

2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =

【解答】22

20

210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若22

11

x x x y y y =

--，则______x y += 【解答】2

2

20x y xy x y +=-⇒+=．

4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若2

2

2

32330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【

解

答

】

2222222

323303

a a

b b

c c a b ab

++-=⇒=++，故

11

cos ,arccos 33

C C π=-=-．

5．设常数a R ∈，若5

2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的二项展开式中7

x 项的系数为10-，则______a =

【解答】2515()(),2(5)71r

r

r r a T C x r r r x

-+=--=⇒=，故1

5

102C a a =-⇒=-． 6．方程

1

313313

x x

-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233

238034log 4x

x x x -⋅-=⇒=⇒=．

7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________

【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=

，又0ρ≥

，故所求为12

+． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两

个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913

118

C C -=．

9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4

CBA π

∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的

两个焦点之间的距离为________

【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为

22

214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2446,233

b c ==．

10．设非零常数d 是等差数列12319,,,

,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值

12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=

【解答】10E x ξ=，222

2222(981019)30||19

d D d ξ=++

+++++=．

11．若12

cos cos sin sin ,sin 2sin 223

x y x y x y +=

+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，

故2

sin()3

x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2

()97a f x x x

=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________

【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2

()971a f x x a x

=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87

a ≤-

． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧2

2

(1)1(1)x y x -+=≥和

22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封

闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2

418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________

【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为2

2

1228216πππππ⋅⋅+⋅=+．

14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1

()y f

x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程

()0f x x -=有解0x ，则0_____x =

【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而

()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．

二、选择题

15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则

a 的取值范围为（ ）

(A) (,2)-∞

(B) (,2]-∞

(C) (2,)+∞

(D) [2,)+∞

【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或1

1a a a ≤⎧⎨-≤⎩

，解答选项为B ．

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．

17．在数列{}n a 中，21n

n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素

,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,

,7;1,2,

,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个

数为（ ）

(A)18

(B)28

(C)48

(D)63

【解答】,2

1i j

i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，

选A ．

18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为

12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分

别

为

()()

i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中

{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.

(A) 0,0m M =>

(B) 0,0m M <>

(C) 0,0m M <=

(D)

0,0m M <<