2024学年上海市五爱中学高三质量检测试题(三)数学试题

2024学年上海市五爱中学高三质量检测试题（三）数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）
A ．[1,1]-
B ．(3,1]-
C ．(,3)(1,)-∞--+∞
D ．(3,1)--
2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010
x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2
-∞-
B ．1(,]2
-∞-
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞-
3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明
B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
4．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，
且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端
点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB
=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭
圆的离心率为（ ） A
．
3
B
．
3
C
．
2
D
．
2
5．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则点(),P x y 所在区域的面积是( )
A ．1
B ．2
C ．
54 D ．45 6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317
,,927
n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）
A ．24()27
B ．34()27
C ．44()27
D ．5
4()27
7．若[]1,6a ∈，则函数2x a y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）
A ．
45 B ．35 C ．25 D ．15
8．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，
PA =
PB =，
AB ＝4，CA ＝
CB =，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．
103
π
B ．
256
π
C ．
409
π
D ．
503
π
9．已知抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，
，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝
上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．
91
9
B ．
100
9
C ．
118
9
D ．
127
9
10
．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-
C ．()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称
D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 11．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4
B ．8
C ．6
D ．12
12．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm
D ．175cm
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
14．（5分）已知函数22()lg(91)1=++-f x x x ，则不等式331(log )(log )2+≤f x f x
的解集为____________．
15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则25
8
a a a +的值为_____． 16．根据如图所示的伪代码，输出I 的值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列
和等比数列
满足：
(I )求数列和的通项公式； (II )求数列
的前项和.
18．（12分）在以ABCDEF 为顶点的五面体中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝AE ＝ED ＝2EF ，EF //AB ，点G 为CD 中点，平面EAD ⊥平面ABCD .
（1）证明：BD ⊥EG ；
（2）若三棱锥1
2
E FBC V -=，求菱形ABCD 的边长.
19．（12分）如图，四边形ABCD 中，2
ADC π
∠=，2AD AB BC CD ===，AE EC =，沿对角线AC 将ACD
∆翻折成ACD ∆'，使得BD BC '=.
（1）证明：BE CD ⊥'；
（2）求直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3
1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求
11PA PB
+的值． 21．（12分）已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥． （1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立； （2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．
22．（10分）已知点00(,)M x y 为椭圆2
2:12
x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+= 交于A ，
B 两点，点F 为椭圆
C 的左焦点.
（1）求证：直线l 与椭圆C 相切； （2）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
先求出集合N 的补集U
N ，再求出集合M 与
U
N 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】
由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1U
N x x =<-或1}x >，
又{|31}M x x =-<< 所以{31}U
M N x x ⋂=-<<-.
故选：D. 【点睛】
本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2．B 【解析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，
当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意； 当0m <时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
>， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，
使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率1
2AD k m -≤=，解得12
m ≤-. 综上可得实数m 的取值范围为1
(,]2
-∞-， 故选：B. 【点睛】
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 3．B 【解析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示： 1 2 3 4 5 6 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作
者是小红， 故选：B. 【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题. 4．D 【解析】
求得定点M 的轨迹方程2
22
51639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】
设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足
MA MB
=2，
==2，化简得222
516(x )y 39
a a -+=
. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，
∴
141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b 2
==，
2
=． 故选D ． 【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 5．C 【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为
1
2
，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5BD =，5BC =11555224
BCD S BD BC ∆=⋅==.
故选：C. 【点睛】
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 6．D 【解析】
由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1
227
n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，
1n a >，从而可知12n a a a 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
由题意得，332427a S S =-=，得21114
27
190
a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩
，解得11272a q ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，
得1
227
n n a -=.
当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >， 则12n a a a 的最小值为551234534()(
)27
a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7．B
【解析】函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222
'10a x a
y x x
-∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413
615
-=-，故选B. 8．D 【解析】
由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】
如图；设AB 的中点为D ；
∵PA =
PB =AB ＝4，
∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 1
2
=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；
∵CA ＝CB =PAB ⊥面ABC ，
∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC =∴O 在CD 上；
故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2R ）2+r 2⇒R
=
∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2
50
3π
⨯=.
故选：D .
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题. 9．B 【解析】
由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2
()14
m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可. 【详解】
抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，
， 则12
p
＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2
()14
m m ，，B 点的坐标为()113n n ≤，
，， 如图：
∴22
111142111422
22m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩
，
解得62m n =⎧⎨=⎩，或343359m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去)， ∴9(6)A ，
∴直线AF 的方程为413
y x +＝， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ， 由24134y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或2319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴21,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
∴100||9AD ==， 故直线AF 被C 截得的弦长为
1009． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.
10．D
【解析】
先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭
，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
()cos 221f x x x =++
可得1()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对于A ，()f x 的最小正周期为22||2
T πππω===,故A 正确；
对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z π
π
π+=+∈
解得：()0,6
12x k k Z ππ=
+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确； 对于D ，正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z π
π+=∈
解得：()01,212
x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫-
⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=- 解得：23
k =-
，故D 错误； 故选：D.
【点睛】 本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
11．B
【解析】
可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩，从而可解出22AC AO BO BC BO AO ⎧=+⎨=+⎩
，然后根据OA OB ⊥，2AB =进行数量积的运算即可求出()()
282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=．
【详解】
如图：
点O 为ABC ∆的三条中线的交点
11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-，11()(2)33
BO BA BC BC AC =+=- ∴由2323AC BC AO
BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩可得：22AC AO BO
BC BO AO ⎧=+⎨=+⎩，
又因OA OB ⊥，2AB =，
222
(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==.
故选：B
【点睛】
本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.
12．C
【解析】
由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，
则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．A 或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是A ；
假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是D ．
故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．
故答案为：A 或D
【点睛】
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
14．1[,3]3
【解析】
易知函数()f x 的定义域为R ，且22()lg[9()1]()1()-=-++--=f x x x f x ，则()f x 是R 上的偶函数．由于291=+u x 在
[0,+)∞上单调递增，而lg y u =在[1,+)∈∞u 上也单调递增，由复合函数的单调性知2lg(91)=+y x 在[0,+)∞上单调递增，
又21y x =-在[0,+)∞上单调递增，故知22()lg(91)1=++-f x x x 在[0,+)∞上单调递增．令3log =t x ，知31log =-t x
，则不等式331(log )(log )2+≤f x f x
可化为()()2+-≤f t f t ，即2()2≤f t ，可得()1≤f t ，又2(1)lg10111=+-=f ，()f x 是偶函数，可得(||)(1)≤f t f ，由()f x 在[0,+)∞上单调递增，可得3|log |1≤x ，则31log 1-≤≤x ，解得133
x ≤≤，故不等式331(log )(log )2+≤f x f x 的解集为1[,3]3
． 15．2
【解析】
设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258
a a a +即可. 【详解】
解：等比数列{}n a 的公比设为,q
396,,S S S 成等差数列,
可得9362,S S S +＝
若1,q ＝
则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠
则()
()()9361111112111a q a q a q q
q q ---⋅=+---, 化为6321,q q +＝
解得31 2
q＝﹣,
则
43
2511
76
81
1
1
12
2
1
4
a a a a q q
a a q q
-
+++
====
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.
16．7
【解析】
表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.
【详解】
S=1,i=1
第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3；
第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；
第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7；
S=10>9,循环结束，输出：i=7.
故答案为：7
【点睛】
本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故
.
【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18．（1）详见解析；（2）2.
【解析】
（1）取AD 中点O ，连,OE OG ，可得OE AD ⊥，结合平面EAD ⊥平面ABCD ，可证
OE ⊥平面ABCD ，进而有OE BD ⊥，再由底面是菱形可得AC BD ⊥，可得OG BD ⊥，
可证得BD ⊥平面EOG ，即可证明结论；
（2）设底面边长为a ，由EF //AB ，AB ＝2EF ，1122
E FBC A FBC E ABC V V V ---==，求出体积，建立a 的方程，即可求出结论.
【详解】
（1）取AD 中点O ，连OE ，
底面ABCD 为菱形，AB AD AE ED ===，
OE AD ∴⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，
平面EAD 平面,ABCD AD OE =⊂平面ADE ，
OE ∴⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD OE BD ∴⊥，
底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，
G 为CD 中点，//,OG AC OG BD ∴⊥，
,,OG OE O OG OE =⊂平面EOG ，
BD ⊥平面,EOG EG ⊂平面EOG ，BD EG ∴⊥；
（2）设菱形ABCD 的边长为a ，则32
OE a =， //,2EF AB AB EF =，
11112222
E FBC A FBC
F ABC E ABC V V V V ----∴====， 321133133248
E ABC ABC a a V OE S a -=⨯⨯=⨯⨯==， 2a ∴=，所以菱形ABCD 的边长为2.
【点睛】
本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.
19．（1）见证明；（2）36
【解析】
（1）取CD '的中点K ，连,EK BK .可证得EK CD ⊥'，BK CD ⊥'，于是可得CD '⊥平面BKE ，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．
【详解】
（1）证明：取CD '的中点K ，连,EK BK .
∵AE EC =，
∴//EK AD '．
又AD CD '⊥'，
∴EK CD ⊥'.
在BCD ∆'中，BC BD ='，
∴BK CD ⊥'．
又EK BK K ⋂=，
∴CD '⊥平面BKE ，
又BE ⊂平面BKE ，
∴BE CD ⊥'.
（2）解法1：取AD '的中点F ，连结,EF BF ，
∵AE EC =，
∴//EF CD ',
又CD AD '⊥'，
∴AD EF '⊥．
又由题意得ABD '为等边三角形，
∴AD BF '⊥，
∵BF EF F ⋂=，
∴AD '⊥平面BEF ．
作EH BF ⊥，则有EH ⊥平面ABD '，
∴EBF ∠就是直线BE 与平面ABD '所成的角．
设1CD '=，则12
EF =， 在等边ABD '中，323BF =
= 又在ABC 中，2,AC 5AB BC ===22511222BE ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
． 在EBF 中，由余弦定理得2
221113233cos 611232EBF ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯， ∴3sin 6
EBF ∠=， ∴直线BE 与平面ABD '3 解法2：由题意可得EB ACD ⊥'平面，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .
不妨设1CD =，则在直角三角形ACD '中，可得2,AC 5AD ='=
作D G AC '⊥于G ，则有平面几何知识可得2535D G EG EC CG ==-='， ∴35250,105D ⎛' ⎝⎭
． 又可得50,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，112B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. ∴4525AD ⎛= '⎝⎭,1152AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
． 设平面ABD '的一个法向量为(),y,m x z =， 由4525055115022m AD y z m AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩'，得552x y z y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 令11y =，则得(5,11,211m =--． 又112EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
设直线BE 与平面ABD '所成的角为θ， 则3sin cos ,6
||m EB
m EB m EB θ=== 所以直线BE 与平面ABD '3 【点睛】
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．
20．
（Ⅰ）:10l x +-=，()22:24C x y -+=；
（Ⅱ）
3
. 【解析】
（Ⅰ）由1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，x cos ρθ=可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解．
【详解】
解：（Ⅰ
）由1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数t
，可得10x -=．
∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=．
∴曲线的直角坐标方程为()2
224x y -+=； （Ⅱ
）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2240x y x +-=
，得230t +-=． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
则12t t +=123t t =-．
不妨设10t <，20t >，
∴
1212121111t t PA PB t t t t ++=+===． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t 的几何意义是解题的关键，是中档题．
21．（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】
（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥
,两边同时加a 可得cd a b a a
+≥+,即可得证. 【详解】 解析:（1）2,1
,1,1a b c d ====-（答案不唯一） （2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.
所以2()0a c d a cd -++≥,即2
()a cd c d a ++≥. 因为0a b >≥,所以cd a c d a
++≥, 因为ab cd ≥,所以cd b a
≥, 所以cd a b a c d a +++≥≥. 【点睛】
考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
22．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，
【详解】
解：（1）当0
0y =时直线l
方程为x =或x =l 与椭圆C 相切.
当00y ≠时，由2
20
01222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得()2222000024440y x x x x y +-+-=，
由题知，220012
x y +=，即220022x y +=， 所以()()()()()2222
22220000000044244162116220x y x y x y x y ⎡⎤∆=--+-=--=+-=⎣⎦
. 故直线l 与椭圆C 相切.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，
当00y =时，12x x =，12y y =-
，1x =
()()()22222111111161240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=
所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒.
当00y ≠时，由()220016,22
x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得()()222200*********y x y x x y +-++-=， 则()
2001220221y x x x y ++=
+，2012202101y x x y -=+， ()22000012121222220000
54414222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+. 因为()()11221,1,FA FB x y x y ⋅=+⋅+
1212121x x x x y y =++++
22220000002200
42084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ ()22002
05210
022x y y -++==+.
所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒.故AFB ∠为定值90︒.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。