灵寿县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

灵寿县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）
A．B．C．D．
2．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）
A．28 B．76 C．123 D．199
3．两个随机变量x，y的取值表为
若x，y具有线性相关关系，且y^＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（）
A．x与y是正相关
B．当y的估计值为8.3时，x＝6
C．随机误差e的均值为0
D．样本点（3，4.8）的残差为0.65
4．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（）A．M∪N B．（∁U M）∩N C．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）
5．等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）
A．B2=AC B．A+C=2B C．B（B﹣A）=A（C﹣A）D．B（B﹣A）=C（C﹣A）6．下列4个命题：
①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；
②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；
③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；
④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知实数x，y满足有不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（）
A．2 B．C．D．
8．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
9． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
10．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
11．已知函数f （x ）=，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．3
12．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）
A ．06=--y x
B ．06=++y x
C ．06=+-y x
D ．06=-+y x
二、填空题
13．已知（ax+1）5的展开式中x 2的系数与
的展开式中x 3
的系数相等，则a= ．
14．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．
15．若关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k= ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC的最小值为3
③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数
④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB﹣1=时，则sin2C≥sinA•sinB．
17．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．
18．命题p：∀x∈R，函数的否定为．
三、解答题
19．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．
20．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．
21．
设函数()x
f x e =，()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：()2e g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
22．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足x 2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
23．设f （x ）=x 2﹣ax+2．当x ∈，使得关于x 的方程f （x ）﹣tf （2a ）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
24．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|．
灵寿县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
3．【答案】
【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y^＝bx＋2.6得b＝0.95，即y^＝0.95x＋^＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样2.6，当y
本点（3，4.8）的残差e^＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.
4．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}，
∴N∩（∁U M）={0，1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；
故排除A，D；
若公比q≠1，
则A=S n =，B=S 2n =，C=S 3n =
，
B （B ﹣A ）=（﹣）=
（1﹣q n
）（1﹣q n
）（1+q n
）
A （C ﹣A ）=（
﹣）=
（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n
）；
故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；
故选：C ．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
6． 【答案】C
【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2
﹣x ≠0”，①正确； ②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确； ③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，
由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C ．
7． 【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k＜2016，s=2．k=3
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4
满足条件k＜2016，s=，k=5
…
观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
9．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
11．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
12．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2=，解得a=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
14．【答案】1
ln 2
【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 15．【答案】 ﹣1或0 ．
【解析】解：满足约束条件
的可行域如下图阴影部分所示：
kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．
16．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
17．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为．
18．【答案】∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
故答案为：∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，
f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；
f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5
所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．
（2）y=g（x）==2x+1+﹣8
设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；
由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．
因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．
根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，
从而有，所以a=．
20．【答案】
【解析】解：由题意可设抛物线的方程y 2
=2px （p ≠0），直线与抛物线交与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
联立方程可得，4x 2
+（4﹣2p ）x+1=0
则
，，y 1﹣y 2=2（x 1﹣x 2）
=
=
=
=
解得p=6或p=﹣2
∴抛物线的方程为y 2=12x 或y 2
=﹣4x
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+
=-+，22
1e e ()x F x x x x
-'∴=-=
由()0e F x x '>⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，
∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即e
()2g x x
≥-成立． …… 5分
（Ⅱ） 记()()()x x
h x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，
()e x x
h x e a -'=+-， ∵ ()()e 00x x h x e x -''=-≥≥，
∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，
即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分
22．【答案】
【解析】解：（1）p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2
＜0，其中a ＞0 ⇔（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0，∵a ＞0为，所以a ＜x ＜3a ；
当a=1时，p ：1＜x ＜3；
命题q ：实数x 满足x 2
﹣5x+6≤0⇔2≤x ≤3；若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴2≤x ＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2
∴实数a的取值范围是（1，2）．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
23．【答案】
【解析】设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，
∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；
∴时，t取得最小值，此时x=9
∴税率t的最小值为．
【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！
24．【答案】
【解析】（1）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，…
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x …
（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为（t为参数）．…
代入y2
=4x 得t2﹣6t﹣14=0…
设点A，B对应的参数分别t1，t2
∴t1t2=﹣14…
∴|PA|•|PB|=14．…。