湘教版九年级数学上册 第2章 单元检测题

第2章单元检测题
(时间：100分钟满分：120分)
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．方程x2－1＝0的根是( B )
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝－1 C．x1＝1，x2＝0 D．无实数根
2．用公式法解方程2x2－3x＝1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次是( D )
A．2，3，1 B．0，2，－3 C．2，3，－1 D．2，－3，－1
3．(2019·泰州)方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2等于( C )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
4．若一元二次方程x2－(b－4)x＋9＝0的一次项系数为2，则b的值为( A )
A．2 B．4 C．－2 D．6
5．(2019·郴州)一元二次方程2x2＋3x－5＝0的根的情况为( B )
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．方程x2－2x＝3可以化简为( A )
A．(x－3)(x＋1)＝0 B．(x＋3)(x－1)＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＋4＝0 7．(2019·赤峰)某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为( D ) A．400(1＋x2)＝900 B．400(1＋2x)＝900 C．900(1－x)2＝400 D．400(1＋x)2＝900
8．点P的坐标恰好是方程x2－2x－24＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过( B )象限．
A．一、三B．二、四C．一D．四
9．(2019·鸡西)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．观察下列表格，一元二次方程x2－x＝1.1的一个解x所在的范围是( B )
11．(2019·通辽)一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( B )
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
12．《代数学》中记载，形如x2＋10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，
先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为5
2x的矩形，
得到大正方形的面积为39＋25＝64，则该方程的正数解为8－5＝3.”小聪按此方法解关于x 的方程x2＋6x＋m＝0时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为( B )
A．6 B．35－3 C．35－2 D．35－3 2
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．已知关于x的方程x m＋1＋x－1＝0是一元二次方程，则m的值是__1__．
14．用配方法解方程x2－6x＝2时，方程的两边同时加上__9__，使得方程左边配成一个完全平方式．
15．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝__25__．
16．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为__0__．
17．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a＝－6，则输出的x的值为__无解__．
18．若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则1
1＋a2＋
1
1＋b2
的值为__1__．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．解方程：
(1)(x－1)2＝3；
解：两边同时开方，得x－1＝±3 ，∴x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3
(2)(2019·常德)x2－3x－2＝0.
解：∵a＝1，b＝－3，c＝－2；∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17；∴x＝
－b±b2－4ac
2a＝3±17
2，∴x1＝
3＋17
2，x2＝
3－17
2
20．若代数式x2－1的值与代数式2x＋1的值相等，求x的值．
解：根据题意得：x2－1＝2x＋1，整理得：x2－2x－2＝0，解得：x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3
21．某商店经营皮鞋，已知所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系式为y＝－x2＋24x＋2956.
(1)当销售单价x定为多少时，可以使所获利润达到3100元？
(2)所获利润能否达到3100.1元？
解：(1)根据题意，得－x 2＋24x ＋2956＝3100，即x 2－24x ＋144＝0，解得x 1＝x 2＝12，即当销售单价x 定为12元时，可以使所获利润达到3100元
(2)所获利润不可能达到3100.1元，因为当y ＝3100.1时，有－x 2＋24x ＋2956＝3100.1，即x 2－24x ＋144.1＝0，∵b 2－4ac ＝(－24)2－4×1×144.1＝－0.4<0，方程无解，所以所获利润不可能达到3100.1元
22．学校打算用长20米的篱笆围成一个矩形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为12米的墙上，面积为42平方米，求生物园的长和宽．
解：设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(20－2x)米，依题意，得：x(20－2x)＝42.整理，得：x 2－10x ＋21＝0，解得：x 1＝3，x 2＝7.当x ＝3时，20－2x ＝14＞12，不合题意，舍去；当x ＝7时，20－2x ＝6，答：生物园的长为7米，宽为6米
23．(2019·绥化)已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，求k 的值．
解：(1)当k ＝0时，原方程为－3x ＋1＝0，解得：x ＝1
3 ，∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，
原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝(－3)2－4×k ×1≥0，解得：k ≤94 .综上所述，k 的取值范围为k ≤94
(2)∵x 1和x 2是方程kx 2－3x ＋1＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝1
k .∵x 1＋x 2＋x 1x 2
＝4，∴3k ＋1
k ＝4，解得：k ＝1，经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k 的值为
1
24．已知a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根中较小的根． (1)求a 2－4a ＋2020的值；
(2)化简并求值：1－2a ＋a 2a －1 －a 2－2a ＋1a 2－a
－1
a .
解：(1)∵a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的根，∴a 2－4a ＋1＝0，∴a 2－4a ＝－1；∴a 2
－4a ＋2020＝－1＋2020＝2019
(2)原方程的解是：x ＝4±23
2
＝2±3 ，∵a 是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数
根中较小的根，∴a ＝2－ 3 ，且a －1＜0，∴原式＝（a －1）2a －1 －|a －1|a （a －1） －1
a ＝a －1
－－（a －1）a （a －1） －1a ＝a －1＋1a －1
a ＝a －1，当a ＝2－ 3 时，原式＝2－ 3 －1＝1－ 3
25．(2019·重庆)某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
(1)菜市场每月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
(2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少3
10 a%；6月份参加活动二的4平方米摊
位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少1
4 a%.这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳
的管理费将减少5
18
a%，求a 的值．
解：(1)设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，依题意，得：20×4x ＋20×2.5×2x ＝4500，解得：x ＝25.答：该菜市场共有25个4平方米的摊位
(2)由(1)可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25×2×40%＝20(个)，5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为25×20%＝5(个).依题意，得：20(1＋2a%)×20×2.5×310 a%＋5(1＋6a%)×20×4×1
4
a%＝[20(1＋2a%)×20×2.5＋5(1＋6a%)×20×4]×5
18
a%，整理，得：a 2－50a ＝0，解得：a 1＝0(舍去)，a 2＝50.答：a 的值为50
26．有一根直尺的短边为2 cm ，长边为10 cm ，还有一张锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边为12 cm ，如图①，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移(如图②)，设平移的长度为x cm (0≤x ≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分的面积为S cm 2.
(1)当x＝0时(如图①)，S＝__2cm2__；
(2)当x＝4时，S＝__10cm2__，当x＝10时，S＝__2cm2__；
(3)是否存在一个位置，使重叠部分的面积为11 cm2若存在．请求出x的值．解：(3)当x＝5时，阴影部分的面积为11 cm2。