2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国卷III) 解析版

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学
一、选择题
1.已知集合*
{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数
为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 答案： C 解答：
{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A
B =，有4个元素，故选C.
2.复数1
13i
-的虚部是（ ） A.310- B.110
- C.110 D.
310
答案： D 解答：
1131313(13)(13)10
i i i i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为
1p ，2p ，3p ，4p ，且4
1
1i i p ==∑，
则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.1
40.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p =
=，230.1p p ==
C.140.2p p ==，230.3p p ==
D.1
40.3p p ==，230.2p p ==
答案： B 解答：
根据每个选项中都有14p p =
，23p p =，且4
1
1i i p ==∑，∴各选项中样本平均值相等，都为
2.5，数值离其平均值之间的差异越大，标准差越大.显然，B 选项中，大部分数值与平均
值之间的差异较大，∴选B.
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)
()1t K I t e --=+，
其中K 为最大确诊病例数.当*
()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）
（ln193≈） A.60 B.63 C.66 D.69 答案： C 解答： 令
*
0.23(53)
0.951t
K K e --=+，∴*
0.23(53)
119t
e --=
，*
10.23(53)ln
319
t --=≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：2
2(0)y px p =>交于D ，E 两点，若
OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）
A.1
(,0)4
B.1(,0)2
C.(1,0)
D.(2,0) 答案： B 解答：
不妨设D ，(2,4)E p -，
∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =，
故抛物线C 的方程为2
2y
x =，其焦点坐标为1(
,0)2
. 6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ） A.3135- B.1935
- C.1735 D.
1935
答案： D 解答：
由2
()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以
()1919
cos ,5735||||
a a
b a a b a a b ⋅+<+>=
==⨯⋅+，故选D. 7.在ABC ∆中，2
cos ,4,33
C AC BC ===，则cos B =（ ） A.19 B.13 C.12 D.
23
答案： A 解答：
由余弦定理可知：222222
2||||||34||cos 32||||234
BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，
可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341
cos 2||||2339
AB BC AC B AB BC +-+-=
==⋅⨯⨯. 故选A.
8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A.642+
B.442+
C.623+
D.423+
答案： C 解答：
由题可知该几何体是如图所示三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱PC ⊥底面ABC ，其表面积为：11
3222222sin6062322
S =⨯
⨯⨯+⨯⨯⨯=+︒，故选C.
9.已知2tan tan()74
π
θθ-+=，则tan θ=（ ）
A.2-
B.1-
C.1
D.2 答案： D 解答：
由题可知1tan 2tan 71tan θ
θθ
+-
=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得
tan 2θ=.故选D.
10.若直线l
与曲线y =221
5
x y +=
都相切，则l 的方程为（ ） A.21y x =+ B.122
y x =+ C.1
12y x =+ D.1122
y x =
+ 答案： D 解答：
由y =
y '=
，
假设直线l
与曲线y =
0(x ，
则直线l
的方程为0)y x x =
-
，即00x x -+=. 由直线l 与圆2
2
1
5
x y +=
=，解得0
1x =，
故直线l 的方程为210x y -+=，即11
22
y x =
+. 11.设双曲线22
2
2:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，
离心率为.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4，则a =（ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
A 解答： 法一：设1PF m =，2PF n =，
则12
1
42
PF F S mn ∆==，2m n a -=，2224m n c +=，可得224c a =+，
又c
e a
=
=1a =. 法二：由题意知双曲线的焦点三角形面积为
12
2tan 2
PF F b S θ∆=
. 所以2
4tan45b ︒
=，解得2b =，
又因为c e a ===1a =.
12.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ）
A.a b c <<
B.b a c <<
C.b c a <<
D.c a b << 答案： A 解答：
易知,,(0,1)a b c ∈，
由222
5555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144
a b +=
=⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题
13.若x ，y 满足约束条件0
201x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为________.
7
解答：
作出可行域如图所示，
由32z x y =+知31
22
y x z =-
+， 由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max 7z =.
14.26
2()x x
+的展开式中常数项是________（用数字作答）. 答案：
240
解答： 因为2(6)1231
6622r r r r r r r r T C x x C x ---+==，由1230r -=得4r =，所以常数项为240.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________. 答案：
2 解答：
分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如下图，由题可知该圆 锥的母线长为3BS =，底面半径为1BC =，高为2222SC BS BC =
-=，
不妨设该内切圆与母线BS 切于D 点，令OD OC r ==，则由SOD SBC ∆∆∽，可得
OD BC OS BS =1322r =-得22
r =，此时34233V r π==.
16.关于函数1()sin sin f x x x
=+. ①()f x 的图像关于
y 轴对称；
②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于直线2
x π
=对称； ④()f x 的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________. 答案： ②③ 解答：
对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由
11
()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x
-=-+
=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对
称，①错②对；对于③，11
()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x
πππ-=-+
=+=-，所以
()f x 关于2
x π
=
对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1
()f t t t
=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.
三、解答题 17.设数列{}n a 满足1
3a =，134n n a a n +=-.
（1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列{2}n
n a 的前n 项和n S .
答案： 见解析 解答：
（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，…
猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+.
利用数学归纳法证明：
（i ）当1,2,3n =时，显然成立；
（ii ）假设()n k k N *
=∈时猜想成立，即21k
a k =+，
则1n k =+时，1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++，
所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+.
（2）令2(21)2n n n n b a n ==+⨯，
则12123252(21)2n n
n S b b b n =++
+=⨯+⨯+
++⨯……①，
23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+
+-++⨯……②，
由①-②得，
312
1
12(12)322222(21)2
6(21)212
n n n n n S n n -++--=⨯+⨯+
+⨯-+⨯=+-+⨯-，
化简得1(21)22n n
S n +=-⨯+.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或
4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断
是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
.
答案： 见解析 解答：
（1）根据上面的统计数据，可得： 该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543
100100++=
该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227
100100
++=，
该市一天的空气质量等级为3的概率为67821
100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为
7209
100100
++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：
由表中数据可得：2
2
100(3383722) 5.820 3.84170305545
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -
中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上且
112,2DE ED BF FB ==.
（1）证明：点1C 在平面AEF 内： （2）若1
2,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.
答案： 见解析 解答：
（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M
AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ，
1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==，
又12DE
ED =，12A M AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==，
所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF
MB 且1AF MB =，//AD ME 且AD ME =，
又在长方体1111ABCD A B C D -
中，有11//AD B C ，且11AD B C =， 所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形，
所以11//EC MB ， 所以1//AF
EC ，
所以点1C ，在平面AEF 内.
（2）在长方形1111
ABCD A B C D
-中，以
1
C为原点，
11
C D所在直线为x轴，
11
C B的直线为y轴，1C C所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz
-，因为2
AB=，1
AD=，13
AA=，
1
2DE ED
=，
1
2
BF FB
=，
所以(2,1,3)
A，(2,0,2)
E，(0,1,1)
F，
1
(2,1,0)
A，则(2,1,1)
EF=--，(0,1,1)
AE=--，1
(0,1,2)
AE=-，设平面AEF的一个法向量为
1111
(,,)
n x y z
=，
则1111
11
1
020
n EF x y z
y z
n AE
⎧⋅=-+-=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
--=
⋅=⎩
⎪⎩
，取法向量
1
(1,1,1)
n=-，
设平面1A EF的一个法向量为2222
(,,)
n x y z
=，
则2222
22
21
020
20
n EF x y z
y z
n A E
⎧⋅=-+-=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
-+=
⋅=⎩
⎪⎩
，取法向量
2
(1,4,2)
n=，
所以12
12
12
7
cos,
||||321
n n
n n
n n
⋅
<>===
⋅⋅
，
设二面角1
A EF A
--为θ，则142
sin1
7
θ=-=，
即二面角1
A EF A
--的正弦值为42
7
.
20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点. （1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积. 答案： 见解析 解答：
（1）c e a ===
，∴22516m =，∴C 的方程：22
1612525
x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-， 与椭圆C 联立可得：2
222(116)160400250k
x k x k +-+-=.
设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202
805
116k x k
-=+，
∴02
10
||5|116PB x k =-=+.
∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1
(5)y x k
=-
-.
令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k
-，||BQ ==∵||||BP BQ =，∴214k =
或2
164
k =
. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和1
8
k =的情况， 当1
2
k =
时，03x =，01y =-，∴(3,1)P -，(6,2)Q -.
||PQ =，直线31
6321
x y PQ -+=
=--+.即：30x y +=.
点
A 到直线PQ 的距离
1d =
=
1115
2222
APQ S PQ d ∆=.||⋅==.
当1
8
k =
时，03x =-，01y =-，∴(3,1)P --，(6,8)Q -，
||PQ =，直线31
:
6381
x y PQ ++=+-+，即79300x y ++=， ∴点A 到直线PQ 的距离
2d ==
，
∴
2115|222
APQ
S PQ d ∆=.|⋅==. 综上5
2
APQ S ∆=. 21.设函数
3()f x x bx c =++，曲线()y f x =
在点11
(,())22
f 处的切线与
y 轴垂直.
（1）求b ；
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 答案： 见解析 解答： （1）
2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =
在点11
(,())22
f 处的切线与
y 轴垂直，
∴1
3()02
4f b '=
+= ，解得3
4
b =-. （2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤， 由题意可知3
003
4
c x x =-+， 令3
3
()(11)4x x x x ϕ=-+
-≤≤， 则11
()3()()22x x x ϕ'=-+，
此时1
(1,)2
x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；
11
(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；
1
(,1)2
x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，
则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1
(1)4f =-，
此时1144
c -≤≤，
再设1x 为()f x 的零点，则3
1113()04
f x x x c =-+=，
311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)0
1(1)()0
2
x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得111x -≤≤， 则()f x 的所有零点的绝对值都不大于1. 四、选做题（2选1）
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2
223x t t
y t t
⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点. （1）求||AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 答案： 见解析 解答：
（1）当0x =时,求得2t =-或1t =（舍）代入223 y
t t =-+中,求得12y =;当0y =时,
求得2t =或1t =（舍）代入22x t t =--中,求得4x =-,所以曲线与坐标轴交于(0,12)和
(4,0)-
,||AB ==（2）由（1）得直线AB 过点(0,12)和(4,0)-,所以直线AB 的解析式为3120x y -+=,故直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 23.设a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++<；
（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c
的最大值，证明：max{,,}a b c ≥答案： 见解析 解答：
（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，
222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---22
3()024
b a b =-+
-<. （2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，
∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥
，即b ≥
∴max{,,}a b c ≥。