鲁教版(五四学制)六年级数学上册知识讲义-1.图形的折叠

初中数学图形的折叠
一、考点突破
通过几何体展开与折叠的关系发展空间观念，能根据展开图判断和制作简单的立体模型。

二、重难点提示
重点：发现并认识柱体的一些特征。

难点：对柱体性质的认识和空间想象能力的建立。

考点精讲
同一个立体图形按不同的方式展开，可以得到不同的平面展开图，有些平面图通过折叠可以得到相应的立体图形，此时的折叠与展开是一个互逆的过程。

典例精析
例题1 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）
A B C D
思路分析：根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可。

答案：A. 剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、D剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C. 剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确。

点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力。

例题2 如图，用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件：①必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形（其余部分不能裁截）；②折合后薄钢片既无空隙，又不重叠地围成各盒面。

（1）请你画出符合上述方案的一种草图，并标出尺寸；
（2）当盒子的高为10cm时，求该盒子的容积。

思路分析：（1）可根据图中给出的信息，结合长方体盒子的结构画出符合题意的图形；（2）根据底面积×高＝容积，可得出容积是多少。

答案：（1）如图：
10cm
30cm
40cm 10cm
10cm
10cm
40cm ；
（2）当盒子的高为10cm 时，该盒子的容积为：20×
40×10＝8000（cm 3）。

点评：本题主要考查了正方形和长方形的性质以及动手作图的能力，只要搞清楚盒子底
面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答。

例题3 小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图。

拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题。

（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂色；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为6cm ，长方形的长为8cm ，宽为6cm ，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的表面积：__________cm 2。

思路分析：（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据长方形和正方形的面积公式分别列式计算即可得解。

答案：（1）多余一个正方形如图所示；
（2）表面积＝6×
8×4＋62×2＝192＋72＝264cm 2。

点评：本题考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键。

提分宝典
【高频疑点】
并不是所有的平面图形都能折叠成几何体，下图中的①②④能折叠成圆柱，③⑤则不能。

【技巧突破】
（1）若平面图形中有圆或扇形，那么此平面图形可围成圆柱或圆锥；
（2）若平面图形只有长方形（包括正方形），那么此平面图形可折叠成四棱柱；
（3）若平面图形中有两个三角形，其余为长方形，那么此平面图形可折叠成三棱柱；
（4）若平面图形中不只两个三角形，那么此平面图形可折叠成棱锥。

同步练习
（答题时间：15分钟）
1. 下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（）
A. B.
C. D.
2. 如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图。

折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（）
A. 40×40×70
B. 70×70×80
C. 80×80×80
D. 40×70×80
3. 如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）
A. B. C. D.
**4. 明明用纸折成了一个正方体的盒子（如图），里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）
A. B. C. D.
5. 下列图形各能叠成什么图形？答：图A__________，图B__________。

6. 下图是一个立体图形的表面展开图，则该立体图形的名称为__________。

*7. 如图，将其画在一张纸上。

（1）将它折叠能得到什么几何体？
（2）要把这个几何体重新展开，最少需要剪开几条棱？
**8. （1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）在图丙中的适当位置添加虚线，使得它能沿虚线折叠成一个几何体。

（3）若记第（1）题中两个几何体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算这两个几何体的f＋v－e的值？
答案
1. A 解析：A. 可以折叠成一个正方体；B. 是“凹”字格，故不能折叠成一个正方体；
C. 折叠后有两个面重合，缺少一个底面，所以也不能折叠成一个正方体；
D. 是“田”字格，故不能折叠成一个正方体。

2. D 解析：长方体的容积是40×70×80，故选D。

3. D 解析：根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得出答案，D不符合要求。

**4. B 解析：观察左右两侧的阴影三角形，折叠后必有一边重合在一起，依此可排除A、D，再根据圆圈与阴影三角形的位置关系排除C。

5. 正方体，圆锥
6. 四棱锥解析：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成部分，所以该立体图形的名称为四棱锥。

*7. 解：（1）将它折叠能得到三棱柱；（2）要把三棱柱重新展开，最少需要剪开5条棱。

**8. 解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥。

（2）所添加虚线如下图所示：
按所添虚线可以折叠成一个长方体。

（3）五棱锥的面数为6，顶点个数为6，棱数为10，f＋v－e＝6＋6－10＝2；长方体的面数为6，顶点个数为8，棱数为12，f＋v－e＝6＋8－12＝2。