轴向运动简支-固支梁的横向振动和稳定性

轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性!
TRANSVERSE VIBRATION AND STABI ITY OF AN A IA Y MOVING BEAM WITH PINNED AND FI ED ENDS
李晓军!!陈立群
（上海应用数学和力学研究所，上海大学力学系，上海200072）
Ll Xiaojun CHEN Lioun
（Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Department of Mechanics，
Shanghai Uniuersity，Shanghai200072，China）
摘要研究一端简支一端固支轴向运动梁的横向振动和稳定性。

提出在给定边界条件下确定一匀速运动梁固有频率和模态函数的方法。

当轴向运动速度在其常平均值附近作简谐波动时，应用多尺度法给出轴向变速运动梁参数共振时的不稳定条件。

用数值仿真说明相关参数对固有频率和不稳定边界的影响。

关键词轴向运动梁横向振动固有频率模态函数多尺度法稳定性
中图分类号O326O343.9
Abstract Vibration and stabiIity are investigated for an axiaIIy moving beam constrained by a pinned end and a fixed end.A scheme is proposed to derive naturaI freguencies and modaI functions of a beam under the given boundary conditions and moving axiaIIy at a constant speed.When the axiaI speed varies harmonicaIIy about a constant mean one，the method of muItipIe scaIes is appIied to the axiaIIy moving beam to determine the instabiIity boundary due to parametric resonance.NumericaI simuIations show the effects of reIated parameters on the naturaI freguencies and the instabiIity boundaries.
Key words Axially moving beam；Transverse vibration；Natural freguency；Modal function；The method of multiple scales；Stability
Corresponding author：CHEN Lioun，E-mail：lgchen@，Tel：+86-21-66134972，Fax：+86-21-56553692 The project supported by the NationaI NaturaI Science Foundation of China（No.10472060），and the NaturaI Science Foundation of Shanghai City（No.04ZR14058）and Shanghai Leading DiscipIine Project（No.Y0103），China.
Manuscript received20050113，in revised form20050308.
1引言
多种工程系统如传送带和带锯可以模型化为轴向运动梁，对于轴向运动梁横向振动的研究将有助于改进该类设备的设计与应用。

其重要问题之一是确定匀速轴向运动梁的振动特性。

Mote首先用~amiIton原理建立了轴向运动梁的数学模型，并计算两端铰支边界条件下前三阶固有频率和模态［1］。

Simpson细致研究了不计轴向初始张力轴向运动梁在两端固定边界条件下的固有频率和模态函数［2］。

Wickert和Mote发展了适用于陀螺连续体的复模态分析方法，在简支的边界条件下计算固有频率和模态函数，并基于正交的模态函数导出轴向运动梁对任意初始条件和激励的响应［3］。

Wickert和Mote还指出可以通过计算陀螺系统的RayIeigh商来计算运动梁的特征值［4］。

Oz和PakdemirIi［5］以及Oz［6］分别通过较复杂的计算分别得到两端铰支及两端固支情况的显式模态函数。

Ozkaya 和Oz利用人工神经网络的思想计算两端铰支情况下的固有频率［7］。

Kong和Parker将摄动法和波相特性相结合，推导得到小刚度运动梁的封闭形式的固有频率［8］。

李晓军和陈立群研究了固支轴向运动梁固有频率的计算［9］。

杨晓东计算了受混合边界约束轴向运动梁的横向振动频率和模态［10］。

轴向运动梁研究的另一类重要问题是传输速度有周期扰动时梁的稳定性。

尽管Pasin早于1972年就开始了相关研究［11］，但是直到最近这方面的研究才有重要进展。

Oz、PakdemirIi和Ozkaya利用多尺度法研究了小抗弯刚度变速运动梁的稳定性［12］。

Ozkaya和Pak-demirIi将多尺度法和匹配渐进展开法相结合，构造了小抗弯刚度梁的非共振边界层解［13］。

Oz和PakdemirIi 以及Oz应用多尺度法分别计算了两端铰支和两端固支情况下的稳定边界［5，6］。

Parker和Lin用一阶GaIer-
Journal of Mechanical Strength2006，28（5）："""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
654~657
!
!
!李晓军，男，1981年4月生，江苏太昌人，汉族。

博士研究生，研究方向为振动分析和控制。

20050113收到初稿，20050308收到修改稿。

国家自然科学基金（10472060）、上海市自然科学基金（04ZR14058）资助项目。

kin 截断方法得到离散的控制方程，
然后用摄动法分析梁轴向应力扰动的影响
［14］。

Ozkaya 和 Oz 利用人工神经网络算法计算变速运动梁的稳定边界［7］。

Suweken 和Horssen
［15］
用多尺度法研究Galerkin 方法离散后的控制方程，分析其在两端铰支情况下的稳定性。

杨晓东分析了受混合边界约束轴向变速运动梁的稳定
性［10］。

本文研究在一端铰支一端固支情况下，计算得到匀速轴向运动梁的固有频率和模态函数，并利用多尺度法分析变速运动梁在和式组合共振情况时的稳定区域。

!数学模型
讨论轴向运动Euler-bernouli 梁的横向振动，设梁
以速度1作轴向运动，其长度为l ，可以建立如下无量纲化运动方程［5］
"w
+2'w *1+w *'1+k 2w ~~+（12-1）w ~=0（1）其中w 是横向位移，1是轴向速度，'w 表示w 对时间变量t 的偏导数，w *表示对w 空间变量x 的偏导数，k 是抗弯刚度。

对于图1所示一端简支一端固支梁，其边界条件为
w （0，t ）=w （1，t ）=0
w ~
（0，t ）=w *（1，t ）=0（2）
图1
约束条件示意图
Fig.1
Axially moving beams with pinned and fixed ends
"匀速轴向运动梁的频率和模态
考虑梁以速度10作匀速轴向运动时，方程（1）可
简化为
"w +2'w *10+k 2w ~~+（120
-1）w ~=0（3）
解可写成如下形式
w （x ，t ）=A n （t ）e i !n t y n （x ）+!A n （t ）e -i !n t
!y n
（x ）（4）式（4）代入式（1）可以得到关于固有频率!n 的方程k 2
y !n +（12
-1）y n ~+2i 10!n y n *-!2n
y n =0（5）其中模态函数y n 满足下列边界条件y n （0）=y n （1）=0y n ~
（0）=y n *（1）=0（6）方程（5）的解可以写成
y n （x ）=c 1n （e
i "1n x +C 2n e i "2n x +C 3n e i "3n x +C 4n e i "4n x ）（7）
其中"in 满足下列关系
k 2"2in +（1-120）"2in -2!n 10"in -!2
n =0
i =1，2，3，4；n =1，2，
…（8）将解（7）带入边界条件（6），可以得到以下矩阵方程
1111
"21n "22n "23n "2
4n
e i "1n e i "2n e i "3n e i "4n
i "1n e i "1n i "2n e i "2n i "
3n e i "3n i "4n e
i "4
n
X 1C 2n C 3n C 4
n c 1n
= 0000（9）
为求得非平凡解，边界条件（6）的系数矩阵的行列式
必须为0，从而得到下列方程
e i （"1n +"4n ）（"22n -"23n ）（"1n -"4n ）-e i （"2n +"4n ）（"2
1n -"23n ）（"2n -"4n ）+e i （"3n +"4n ）（"21n -"2
2n ）（"3n -"4n ）+e i （"2n +"3n ）（"21n -"2
4n ）（"2n -"3n ）-e i （"1n +"3n ）（"22n -"24n ）（"1n -"3n ）+e
i （"1n +"2n ）
X （"23n -"2
4n ）（"1n -"2n ）=0
（10）通过求解方程（8）和（10）可以得到!n 和"in 。

利用边界条件（6）中的关系式，可以将系数C 2n 、C 3n 和C 4n 用c 1n 表示。

因此，模态函数y n （x ）可以写成y n （x ）=c 1n e i "1n x {
+e i "2n x
e i "1n （"1n -"4n ）（"3n +"4n ）+e i "3n （-"21n +"2
4n ）
-e i "2n （"2n -"4n ）（"3n +"4n ）+e i "3n （-"22n +"2
4n ）-e
i "3n x
-e i "1n （"1n -"4n ）（"2n +"4n ）+e i "2n （"21n -"24n ）
e i "3n （"3n -"4n ）（"2n +"4n ）+e i "2n （-"23n +"2
4n ）
+e i "4n x
-1-e i "1n （"1n -"4n ）（"3n +"4n ）+e i "3n （-"21n +"2
4n ）-e i "2n （"2n -"4n ）（"3n +"4n ）+e i "3n （-"22n +"
24n ）[
--e i "1n （"1n -"4n ）（"2n +"4n ）+e i "2n （"21n -"2
4n ）
e i "3n （"3n -"4n ）（"2n +"4n ）+e i "2n （-"23n +"2
4n ]}
）
（11）
#参数共振的稳定性
设运动梁的轴向速度1围绕平均速度10作微小的
周期性脉动，当这个脉动频率接近固有频率的2倍或某两固有频率组合值时，轴向运动梁会出现参激共振现象而导致在零平衡位置失去稳定性。

当脉动频率接近某阶固有频率的2倍时而发生的共振响应称之为次谐波共振；当脉动频率接近某两阶固有频率的之和时而发生的共振响应称之为和式组合共振。

在这里研究变速轴向运动梁的和式组合共振问题。

假设轴向速度1是随着时间t 简谐变化，其主要部分是不变量10，
因此1可以写成1=10+#11sin
（$t ）（12）
第28卷第5期李晓军等：轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性655
图2
前四阶频率随抗弯刚度增大的变化
Fig.2
Comparisions of naturaI freguency vaIues of different fIexuraI stiffnesses
其中!是小参数，!l l 和"代表相应的扰动振幅和扰动频率。

将式（l2）代入式（l ）并保持各项一阶近似，可以得到
w +2l 0f w *+
（l 20-l ）w ~+k 2w ~~+!［l l "w *cos （"t ）+2l l f w
*sin （"t ）+2l 0l l w ~sin （"t ）］=0（l3）对式（l3）应用多尺度法，假设其解的一阶表达式有如下形式
w （x ，t ；!）=w 0（x ，T 0，T l ）+!w l （x ，T 0，T l ）+…（l4）其中T 0=t 和T l =!t 分别是快变尺度和慢变尺度时间。

将等式（l4）代入方程（l3），并归并!同次幂项，得到0（l ）：D 20w 0+2l 0D 0w 0*+（l 20-l ）
w 0~+k 2w 0~~=0（l5）
0（!）
：D 20
w l +2l 0D 0w l *+（l 20
-l ）w l ~+k 2
w l ~~=-2D 0D l w 0-2l 0D l w 0*-2l l sin （"T 0）D 0w 0*-2l 0l l sin
（"T 0）w 0~-"l l cos （"T 0）w 0*（l6）
在这里注意到式（l5）与式（l ）相同。

考虑第m 和第n 阶模态的和式参数共振。

此时，速度扰动频率可写作
"=#m +#n +!$
（l7）
其中$为解谐参数。

则一阶近似方程（l5）的解可写为
w 0（x ，T 0，T l ；!）=a n （T l ）e i #n T 0y n （x ）
+a m （T l ）e i #m T 0y m
（x ）+cc （l8）
其中y n 由式（ll ）给出。

将等式（l8）代入方程（l6）并利用
关系式（l7）可以得到
D 20w l +2l 0D 0w l *+（l 20-l ）
w l ~+k 2w l ~~=-2D l
a n
（i #n
y
n
+l 0y n *）+
#
m
-
l 2()
"!
y m
*[{+i l 0!y m ]~!a m l l e i $T }l e i #n T 0+［-2D l a m （i #m y m +l 0y m *）
］+#
n
-
l 2
()
"!
y n *+i l 0!y n []
~!a n l l e i $T {}
l X e i #m T 0+cc +NST （20）
因此，可解性条件为
D l a n +g 3l l !a m e i $T i =0D l a m +g 4l l !
a n e i $T i =0（2l ）
其中
g 3=-i l 0"
l 0
!y m ~!y n d x
2i #n
"
l 0y n !y n d x +l 0
"l 0
y n
*!
y n
d ()x g 4=-i l 0"
l 0
!y n ~!y m d x
2i #m
"l 0
y m
!
y m
d x +l 0
"l 0
y m
*!y m
d ()
x （22）
引入变换
a n =B n e i $T l /2
a m =B m e i $T l /2
（23）
式（24）代入方程（23）得到
D l D n +i $2B n +g 3l l !B m =0
D l D m +i $2
B m +g 4l l !
B n =0（24）
假设方程（24）有如下形式的解
656机械强度2006
年
B
n
=b n e!T1B m=b m e!T1（25）
其中b
n 和b
m
都是实数，将等式（27）代入方程（26）可解出
!=!-（"2/4）+g3"g41
#21（26）
若根号内的表达式为正，则存在大于零的!解，此时系统不稳定。

因此稳定性边界为
"=!211g3"g
#4（27）
5数值结果
方程（8）和（10）可以数值求解。

图2示不同给定抗弯刚度下前4阶固有频率随轴向速度的变化。

梁的抗弯刚度的增加，使梁的固有频率变大。

随着梁的轴向运动速度的不断增加，梁的固有频率减小。

由式（11）和（22），式（27）可应用数值确定参数共振时的稳定边界。

图3示I=0.2时稳定区域的边界不同平均
轴向速度1
0对应的稳定边界。

图4示在1
=0.5时不同抗
弯刚度I对稳定区域的影响。

平均轴向速度的增加和抗弯刚度的减小，均导致不稳定区域的扩大。

6结论
本文研究一端铰支一端固支的Euier-bernouii梁轴向
图3稳定区域随1
的变化
Fig.3Stabie regions for different veiocity
图4稳定区域随I的变化
Fig.4Stabie regions for different stiffnesses 运动的横向振动问题。

首先研究匀速运动情况下梁的横向振动，通过改进的代数寻根方法，求得不同抗弯刚度I 情况下的前四阶固有频率#
n
与轴向运动速度1之间的关
系。

可以看到，固有频率#
n
随着抗弯刚度I的增加而增
加，随着速度1
的增加而减小。

同时研究轴向运动速度1的小扰动对系统稳定性的影响，计算并得到稳定区域的边界，在分析中考虑任意两个模态的和式组合共振，从数
值作图上可以看出速度变化幅度1
1
的减小将扩大稳定区域。

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第28卷第5期李晓军等：轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性657
轴向运动简支-固支梁的横向振动和稳定性
作者：李晓军， 陈立群， LI XiaoJun， CHEN LiQun
作者单位：上海应用数学和力学研究所,上海大学,力学系,上海,200072
刊名：
机械强度
英文刊名：JOURNAL OF MECHANICAL STRENGTH
年，卷(期)：2006,28(5)
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