2020年内蒙古包头高三一模数学试卷(理科)

2020年内蒙古包头高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则（ ）．
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
5.当时，函数的图象大致是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6.已知定点，都在平面内，定点，，是内异于，的动点，且，那
么动点在平面内的轨迹是（ ）．
A.圆，但要去掉两个点
B.椭圆，但要去掉两个点
C.双曲线，但要去掉两个点
D.抛物线，但要去掉两个点
7.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上~之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时
间在早上~之间．用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为
，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
8.在中，为边上的中线，为的中点，且，，，
则
A.
B.
9.公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值
，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（
）．
开始
输出
结束
是
否
A.
B.
C.
D.
10.已知，是双曲线:的左、右焦点，，是的左、右顶点，点在过，且斜率为
的直线上，为等腰三角形，，则
的渐近线方程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.棱长为的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，
的中点，作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）．
C.
D.
12.设
是定义域为的偶函数，且在
单调递增，，
，则（
）．A.B.C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知多项式的各项系数之和为，则展开式中含项的系数为 ．
14.已知抛物线：的焦点为
，斜率为的直线与的交点为，，若，
则直线
的方程为 ．
15.若函数在和上均单调递增，则实数
的取值范围为 ．
（1）（2）
16.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解
决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第行黑圈的个数为
，则：
． ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（1）（2）17.在中，角，，的对边分别为，，，且
．
求角的大小．已知
的外接圆半径
，且
，求
的周长．
（
1）（2）18.如图，三棱柱
中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且
，
．
求证：平面
．
设
，若直线
与平面
所成的角为
，求二面角
的
正弦值．
（1）（2）（3）19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定”合格””不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：”合格”记分，”不合格”记分．现
随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
得分
频率组距
等级得分频数
不合格合格
，
，
，
，
由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数.
其他条件不变，在评定等级为”合格”的学生中依次抽取人进行座谈，每次抽取人，求在第次抽取的测试得分低于
分的前提下，第次抽取的测试得分仍低于
分的概率.
用分层抽样的方法，从评定等级为”合格”和”不合格”的学生中抽取人进行座谈．现再从
这
人中任选人，记所选人的量化总分为，求的数学期望
．
20.
【答案】
解析:
，
∴，
（1）
（2）
已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直．
求椭圆的方程．
若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点，满足：，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的取值范围．
：
：
（1）
（2）
21.已知函数，．
若函数在上单调递增，求实数的值．
定义：若直线与曲线、都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线，与，总存在公切线．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）
（2）
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，直线的参数方程为(为参数)．直线与曲线交于
，两点．
写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）．
设，若，，成等比数列，求的值．
（1）
（2）
23.已知函数，.
当时，解关于的不等式．
若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．A
1.
，
∴．
故选．解析:设，则由
．
可得，即
．
即．
即，所以．
所以，所以．
故选．解析:设等差数列的公差为，因为
，
，
所以，
即，解得，
所以，
所以．故选．解析:因为在点
处的切线方程为
，
又，
所以，解得，
所以，
故选．
C 2.
D 3.B 4.
解析:①当时，若，则
，即
，
，
∴有个零点；
②当时，恒成立，∵恒成立，∴恒成立，
∵，
令，
则
，
∴函数有两零点，
，且，
不妨设，
则，
，
∴在
，，即
单调递增；在
，
，即
单调递减，
综上所述，选选项．解析:如下图，
∵，∴，又：，∴面
，
∴
，
∴动点在平面内的轨迹是以
为直径的一个圆，但要去掉、两个点．
B 5.A 6.
故选．解析:
设送报人到达的时间为，小明爸爸离家去工作的时间为，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示
离家时间
报纸送达时间
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件发生，所以;
故选：．解析:因为
为
边上的中线，所以又点为的中点，
，
，
．
则
．
所以
．
．
D 7.A 8.
所以．
故选：．
解析:
模拟执行程序，可得：
，，
不满足条件
，
，
，
不满足条件
，
，
，
满足条件，退出循环，输出的值为
．
故选．解析:由已知得，
，
如图所示，作
于
，
因为直线过点，且斜率为，所以直线的方程为
，
又因为点为直线上的点，则，因为为等腰三角形，
，
所以，
则
，则，
B 9.D 10.
所以，
所以在中，
，
又，
所以所以所以，
所以，
所以，
由
，可得，所以双曲线的渐近线方程为，
所以渐近线方程为．
故选：．解析:如图，
为该直线被球面截在球内的线段，
连结并延长，交对棱于，则为对棱的中点，取的中点
，则，
∴，且
，
∴，∴ ．故选．C 11.C
12.
解析:
∵是偶函数，且在单调递增，
∴在单调递减，
，
，
∴，∵，，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵
，且，，，
∴即，
∴，
∴，
故选：．
13.
解析:
令，可得，解得 ，
则，
∴展开式中含项的系数为，故答案为：．
14.
解析:
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，
设直线方程为，联立得，
，
∴．
∵，，
∴，
设，，则，
∴，
即，
∴，
∴直线的方程为．
15.
解析:
，
当时，
在和上单调递增，
∵和上均单调递增，
∴，
∴，
∴的取值范围为：．
（1）（2）（1）（2）故答案为：．
解析:
根据图甲所示的分形规律，个白圈分形为个白圈个黑圈，个黑圈分形为个白圈个黑圈，
记某行白圈个，黑圈个为，
则第一行记为，
第二行记为，第三行记为，第四行记为，故
．
各行白圈数乘以，分别是，，
，
，
，即
，
，
，
，
，
∴第行的国数为，
∴第行的黑圈数为 ，．
故答案为：
；
．解析:∵
，
∴，
即，
∴，又∵，
∴
．
由正弦定理，得
，则
，
∵
,
∴由余弦定理，得，即，
∴．
∵
，
（1）（2）16.（1）．（2）．17.
（1）（2）∴，∴
的周长为
．
（注：求出后，可用正弦定理求出
，进而得到
为直角三角形，用勾股定理可求
出的值，最后求出周长．）
解析:
∵四边形
是菱形，
∴．∵，，
∴平面．∵平面
，
∴．又∵，是
的中点，
∴．
又∵，∴
平面
．
∵
，∴直线与平面
所成的角等于直线
与平面
所成的角．
∵平面，
∴直线与平面
所成的角为
，即
．
因为
，
则在等腰直角三角形中
，
所以，．
在中，
由
得
，
以为原点，分别以
，
，
为，，轴建立空间直角坐标系
，
（1）证明见解析．（2）．
18.
（1）（2）（3）则，
，，所以，
．
设平面
的一个法向量为
．，可得
，，
，
取平面的一个法向量为
，
则
，
所以二面角的正弦值的大小为．
解析:
由题意知，样本容量为
，，
，．
平均数为
，
设中位数为，因为
，
,所以，则
，
解得．
由题意可知，分数在
内的学生有
人，分数在
内的学生有
人．
设”第次抽取的测试得分低于分”为事件，”第次抽取的测试得分低于
分”为事件，则
，
，所以
.
在评定等级为”合格”和”不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取
人，则”不合格”的学生人
数为
”合格”的学生人数为
，
，
（1）,.
（2）.
（3）.
19.
（1）（2）由题意可得 的所有可能取值为，，
，，.，，
，
，
.
所以的分布列为
.
解析:
由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，
，
∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
，
∴ ．又
，解得
，．
∴椭圆的方程为
．
由()可知圆的方程为
，
①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，
此时，
，
．
②当直线的斜率为零时，，
，
．
③当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为
，
联立，得，
设，
的横坐标分别为
，
，
则 ，
，所以，
(注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算．)由
可得直线
的方程为
，
联立椭圆的方程，消去，得
，
（1）．（2）．
20.四边形
四边形
（1）（2）设，的横坐标为
，，
则，
，
∴
．，
∵，
∴，∴
．
综上，由①②③得
的取值范围是．
解析:∵
，
，∴，
函数在
上单调递增等价于
在
上恒成立．
令，得
，
所以在单调递减，在
单调递增，则．
因为，则
在
上恒成立等价于
在
上恒成立；
又∵，
∴，所以
，即．设
，
的切点横坐标为
，则
，
切线方程为．①
设，
的切点横坐标为
，则
，
切线方程为．②
若存在，
，使①②成为同一条直线，则曲线
与存在公切线，
由①②得，消去
得
，
即
．
四边形
四边形
四边形
（1）
．
（2）证明见解析．21.
（1）（2）
（1）令，则，
所以，函数在区间
上单调递增．
∵，∴，使得，
∴时总有．
又∵时，
，
∴
在
上总有解．
综上，函数
，
与
，
总存在公切线．
解析:曲线
，
转换为直角坐标方程为：，直线的参数方程为
（为参数）．
转换为直角坐标方程为：
．
将直线的参数方程为
（为参数）代入曲线
．
得到：，（和为、对应的参数）
所以：，
，
由于：，
，成等比数列，
故：，
整理得：，解得：
．
解析:当
时，
，
（1），．（2）．
22.（1）解集为．
（2）的取值范围为．
23.
（2）则，
当时，由得，，解得，
当时，恒成立，
当时，由得，，解得，
所以的解集为．
对任意，都存在，使得成立，等价于，因为，所以，
且①，当时，①式等号成立，即，
又因为②，
当时，②式等号成立，即，
所以，即的取值范围为．。