《立体图形的直观图》教案、导学案、课后作业

《8.2 立体图形的直观图》教案
【教材分析】
画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件.本节课主要介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础.教学的重点是斜二测画法.教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法.教学可以适当延伸，讨论正三角形、六棱柱、组合体等的直观图画法.
【教学目标与核心素养】
课程目标
1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．
2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．
数学学科素养
1.数学抽象：斜二测画法的理解；
2.数学运算：与直观图还原的有关计算；
3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.
【教学重点和难点】
重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；
难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.
【教学过程】
一、情景导入
前面已经学习了常见地7种空间几何体，那么如何画出他们地直观图呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本107-111页，思考并完成以下问题
1．画平面图形的直观图的步骤是什么？
2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴， 两轴相交于点O ′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来地一半.
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
四、典例分析、举一反三
题型一 水平放置的平面图形直观图的画法
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
【答案】见解析.
【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x 轴， 的垂直平分线为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的
轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图（2）中，以为中点，在x 轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中ABCDEF AD AD MN x 'y ''O '45x O y ''︒∠
=O 'A D AD ''='y 12
M N MN ''='N B C ''x 'BC 'M
点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.
解题技巧（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项）
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．
跟踪训练一
1.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.
【答案】见解析
【解析】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12
AO ＝34
cm ，连接A ′B ′、A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图． (3)擦去坐标轴得直观图△A ′B ′C ′.
题型二 几何体的直观图画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是3 cm 、2 cm 、1.5 cm 的长方体ABCD －A′B′C′D′的直观图． 【解析】 (1)画轴．如图①所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠
xOz ＝90°.
F E ''x 'FE ',,,A B C D D E F
A ''''''''x 'y ABCDEF 'A
B
C
D
E
F '''''
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被
遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB= 1 cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.
解题技巧： (画空间几何体的直观图的注意事项)
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且
长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
跟踪训练二
1．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．
【答案】见解析
【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．
(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm.
(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．
2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱
的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.
题型三与直观图还原有关的计算问题
例4 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______ cm.
【答案】 8．
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1 cm，OB＝2O′B′＝2 cm，所以AB＝＝3 cm.
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．
解题技巧（直观图还原注意事项）
由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．
(1)直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．
(2)S直观图＝S原图．
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．
跟踪训练三
1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
3
4
a2 B.
3
8
a2
C.
6
8
a2 D.
6
16
a2
【答案】D.
【解析】选D 由于S△ABC＝
3
4
a2，且
S
△A′B′C′
S
△ABC
＝
2
4
，所以S△A′B′C′＝
2
4
S
△ABC
＝
2
4
×
3
4
a2＝
6
16
a2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本109、111页练习，111页习题8.2.
【教学反思】
通过本节课感知，在引导学生进行技巧归纳时，教师不要着急告知学生.学
生初始的回答可能不完善，甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给与肯定和鼓励.通过教师的鼓励，能大幅度地调动其他学生的积极性.这样其他学生就能自主地给与修正补充.整节课地效果事半功倍.
《8.2 立体图形的直观图》导学案
【学习目标】
知识目标
1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．
2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．
核心素养
1.数学抽象：斜二测画法的理解；
2.数学运算：与直观图还原的有关计算；
3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.
【学习重点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图；
【学习难点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图.
【学习过程】
一、预习导入
阅读课本107-111页，填写。

1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使____________________________，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中_______________，平行于y 轴的线段，______________________.
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出__________(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，__________用虚线表示．
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°()
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的
( )
3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
【自主探究】
题型一水平放置的平面图形直观图的画法
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
跟踪训练一
1.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.
题型二几何体的直观图画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是3 cm、2 cm、1.5 cm的长方体ABCD －A′B′C′D′的直观图．
例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.
跟踪训练二
1．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．
2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几
何体的直观图.
题型三与直观图还原有关的计算问题
例4 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______ cm.
跟踪训练三
1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
3
4
a2 B.
3
8
a2
C.
6
8
a2 D.
6
16
a2
【达标检测】
1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是______.
4．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④
.
5． 画棱长为2 cm 的正方体的直观图．
答案
小试牛刀 1. (1)× (2)×
ABC 111A B C △1111A B B C =11A D 11B C AB BC AC ==AD BC ⊥AC AD AB BC >>>AC AD AB BC >>
=
2．A. 3．9. 自主探究
例1 【答案】见解析.
【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x 轴，
的垂直平分线为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的
轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图（2）中，以为中点，在x 轴上取，在轴上取
以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.
跟踪训练一 1.【答案】见解析
【解析】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′
ABCDEF AD AD MN x 'y '
'O '45x O y ''︒∠
=O 'A D AD ''='y 1
2
M N MN ''=
'N B C ''x 'BC 'M F E ''x 'FE ',,,A B C D D E F A ''''''''x 'y ABCDEF 'A B C D E F '''''
＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝1 2 AO
＝
3
4
cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
例2 【答案】见解析
【解析】(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
例3 【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB= 1 cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.
跟踪训练二
1．【答案】见解析
【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．
(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm.
(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．
2.【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.
例4 【答案】 8．
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1 cm，OB＝2O′B′＝2 cm，所以AB＝＝3 cm.
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．
跟踪训练三
1、【答案】D.
【解析】选D 由于S△ABC＝
3
4
a2，且
S
△A′B′C′
S
△ABC
＝
2
4
，所以S△A′B′C′＝
2
4
S
△ABC
＝
2
4
×
3
4
a2＝
6
16
a2.
当堂检测
1-2. BA
3. .
4. ③.
5．【答案】见解析
【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，
AD＝1 cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的
正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
《8.2 立体图形的直观图》课后作业
基础巩固
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°，90°B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
能力提升
9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
11.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
素养达成
12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
《8.2 立体图形的直观图》课后作业答案解析
基础巩固
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°，90°B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
【答案】D
【解析】选 D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
【答案】A
【解析】选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
【答案】C
【解析】选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
【答案】C
【解析】选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.
5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
【答案】C
【解析】选C 将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形． 6．水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．
【答案】 2
【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×
2
2＝ 2.
7．如图，矩形O ′A ′B ′C ′
是水平放置的一个平面图
形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝3，B ′C ′∥x ′轴，则原平面图形的面积为________．
【答案】36 2
【解析】在直观图中，设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′，则易得O ′D ′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为S ＝6×62＝36 2.
8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图. 【答案】见解析
【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使,
.
(2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.
45xOy ∠=︒90xOz ∠=︒
(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使.
(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.
能力提升
9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m ，四棱锥的高为8 m ．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
【答案】C
【解析】选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．
OP AB
【答案】5 2
【解析】将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC
＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为5 2 .
11.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
【答案】182(cm2)
【解析】解法一：画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，
作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝1
2
BD＝6 cm，
故△A′B′C′的高为
2
2
B′D′＝3 2 cm，所以
S
△A′B′C′＝
1
2
×12×32＝182(cm2)，
即水平放置的直观图的面积为18 2 cm2.
解法二：△ABC的面积为1
2
AC·BD＝
1
2
×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积
与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是
2
4
×72＝
182(cm2)．
素养达成
12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图①,画x 轴､y 轴､z 轴相交于点O ,
使,∠xOz =90°.
(2)画下底面以O 为线段中点,在x 轴上取线段,使,在y 轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图. (3)画上底面在z 轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图.
(4)连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图(如图②所示).
45xOy ︒∠=AB 2AB =
OC 2
OC =,BC CA ABC OO '2OO '=O '//O x Ox ''//O y Oy ''x O y '''x O y '''A B C '''AA 'BB 'CC 'ABC A B C '''
-。