垂径定理第一课

O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
小结：①作“弦心距”是很重要 的一条辅助线，它可以和垂径定 理相联系。 ②圆的半径，弦的一半及弦 心距可构成直角三角形。因此只要 知道圆中半径（直径），弦，弦心 距中任意两个量，就可以求出第三 个量。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半 径吗？ C 解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的 A 圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。 由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高。 AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R OD=OC-CD=R-7.2. 在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2 即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9 因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。 O D B
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垂Hale Waihona Puke 于弦的直径1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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A B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面 宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧 于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方 形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货 C 船能否顺利通过这座拱桥？
M H N
C
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E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
连接OA，在Rt△ACO中 OA= AC2 + OC2 = 42 + 32 =5 A
O
C
B
所以⊙O的半径为5.
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6， 求弦长AB。
2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
A
C
B
已知：已知AB是⊙O的弦，
OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求 ⊙O的半径。
O
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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E A D B
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象： 你能得到什么结 论？
O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。 符号语言： ∵ CD为直径 ，CD⊥AB， E A D C
O
B （A）
∴AE=BE，AD=BD，AC=BC
应用垂径定理的几个基本图
求证：∠A=∠B
（4）如图，将小圆去掉，若
已知：AC=BD
O
求证：△OCD是等腰三角形
A C D B
圆O的半径是5cm,AB、CD是圆O 的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm， 求AB、CD之间的距离。 E E
C
·
A
O M N B F （1）
C
D
·
O N
M
D
A
B
F （ 2）
发散题：有一截面为圆形的输油管， 内径为650mm,若油面宽为600mm， 求油的深度。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
600mm
·
600mm
·
课堂小结
C 1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在 O
的直线都是它的对称轴。
2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 A
E D
B （A）
所对的两条弧。
作业布置：学案相应练习
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
E
AB
D
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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E
AB
D
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
O
E A D B （A）
O
E
A D
B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
A
E
D
F
B
O
A
C
O
D
B
（1）以O为圆心 的两个同心圆中， 大圆的直径AB交 小圆C,D两点，问： AC与BD相等吗？
O A C D B
（2）如图：若将直径 向下移动，变为非直 径的弦AB，交小圆于 C,D两点，是否仍有 AC=BD呢？
O A C E D B
（3）如图，将大圆去掉，
已知：AC=BD
O
E A D B
24.1.2
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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A
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垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 思考： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E。 （1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？ C
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垂直于弦的直径
兖州八中初三数学组
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
C O E A D C
O
O B A C B A
O
B A D
C
D
B
（1）判断下列图形那些符合垂径定理？
C C A
O
B A E D A E D
O
C
E O
D
B B
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且 AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
1 解：∵OC⊥AB于C ∴AC=BC= AB=4 2