函数的极值-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

新知讲解
导数值为0的点不一定是函数的极值点.
例如，对于函数() = 3 ，我们有 ’ () = 3 2 .
虽然(0)’ = 0，但由于无论 > 0，还是 < 0，恒有()’ > 0，即函数
() = 3 是增函数，所以0不是函数() = 的极值点.
一般地，函数 = ()在一点的导数值为0是函数 = ()在这点取极值的
小结
求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数’ ()；
(3)解方程’ () = 得方程的根；
(4)列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果’ ()的符号在 处由正(负)变负(正)，则()在
处取得极大(小)值.
且’ ()连续变化，于是有’ () = .
新知讲解
问题2 如图，函数 = ()在 = ，，，，等点的函数值与这些点附
近的函数值有什么关系？ = () 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，
= ()的导数的正负性有什么规律？
提示：观察图象的单调性
新知讲解
函数值都大，’ () = ；而且在点 = 附近的左侧’ () > ，右侧’ () < .
概念生成
我们把叫做函数 = ()的极小值点，()叫做函数 = ()的极小值；
叫做函数 = ()的极大值点，()叫做函数 = ()的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
以 = ，两点为例，可以发现，函数 = ()在点 = 的函数值()比它
在点 = 附近其他点的函数值都小，’ () = ；而且在点 = 附近的左侧
’ () < ，右侧’ () > .
类似地，函数 = ()在点 = 的函数值()比它在点 = 附近其他点的
单调性改变，才会是产生极值点
小结
极小值、极大值的概念：
极小值：函数 = ()在点 = 的函数值()比它在点 = 附近其他点的
函数值都小，’ () = ；而且在点 = 附近的左侧’ () < ，右侧’ () > .
就把叫做函数 = ()的极小值点，()叫做函数 = ()的极小值.
充分条件
新知讲解
观察左图，我们发现，当 = 时，
l
高台跳水运动员距水面的高度最大.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么，函数()在此点的导数是多
少呢？
此点附近的图象有什么特点？
相应地，导数的正负性有什么变化
规律？
新知讲解
放大 = 附近函数的图象
追问1：对于一般的函数 = ()，是否也
可以看出，’ () = ；
+
’ ()
() 单调递增
−
(−，)

(， + ∞)



−


−

+
单调递减
因此，当 = −时，()有极大值，并且极大值为(−) =
当 = 时，()有极小值，并且极小值为() = −


单调递增


新知讲解
问题3 极大值一定大于极小值吗？
问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
请大家以小组形式进行探究，利用图象进行分析，
将问题的答案进行描述与理解。
新知讲解
极大值不一定大于极小值
比如图中，1 ，3 ，5 都是函数 = ()的极大值点，2 ，4 都
是函数 = ()的极小值点.从图中可以看出，函数的极大值可能
比极小值小，如(1 ) < (4 ).
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
例题讲解
例5.求函数() =



− + 的极值.



解：因为() =
− +
所以’ () = − = ( − )( + )
令’ () = ，解得 = 或 = −

(−∞， − )
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值
极大值：函数 = ()在点 = 的函数值()比它在点 = 附近其他点的
函数值都大，’ () = ；而且在点 = 附近的左侧’ () > ，右侧’ () <
.就把叫做函数 = ()的极大值点，()叫做函数 = ()的极大值.
有同样的性质呢？(是否具有一般性？)
在 = 附近，当 < 时，函数()单调递增，’ () >
；当 > 时，函数()单调递减，’ () < .
这就是说，在 = 附近，函数值先增(当 < 时，
’ () > )后减(当 > 时，’ () < ).
这样，当在的附近从小到大经过时，’ ()先正后负，
必要条件，而非充分条件.
概念生成
一般地，可按如下方法求函数 = ()的极值：
解方程()’ = ，当( )’ = 时：
(1)如果在 附近的左侧()’ > ，右侧()’ < ，那么( )是极大值；
(2)如果在 附近的左侧()’ < ，右侧()’ > ，那么( )是极小值.
五、一元函数的导数及其应用
5.3导数在研究函数中的应用
5.3.2函数的极值
课程标准
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；
能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超
过三次的多项式函数的单调区间；
2.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分
条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定的
闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会
导数与单调性、极值、最大（小）值的关系
复习回顾
回顾1 如何判断函数的单调性？
（1）图象
（2）定义法
（3）求导
复习回顾
回顾2 如何用导数的方法判断函数的单调性？
函数的单调性与其导函数正负的关系
1.定义域
2.求导
在某个区间(, )上
3.零点
（1）如果’ () > ，那么函数 = ()在区间(,
可以判断函数的增减.
如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什
么性质呢？
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
借助函数的图象，了解函数在某点取得极
值的必要条件和充分条件
二
易错点
能利用导数求某些函数的极大值、极小值
三
过理解函数的极值及其应用导数的求解过
程，发展学生的直观想象与数学运算素养
新知探究
探究一：借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和
4.列表 )上单调递增；
5.（单调性）图象
（2）如果’ () < ，那么函数 = ()在区间(,
)上单调递减；
（3）如果在区间(, )上恒有’ () = ，那么函数 = ()在区间
(, )上是常数函数.
新课导入
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负