全国2023年单独招生考试数学卷(答案) (2)

2023年全国单独招生考试
数学卷
（满分120分，考试时间90分钟）
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1.正项等比数列｛a n ｝满足：a 2·a 4=1，S 3=13，b n =log 3a n ，则数列｛b n ｝的前10项的和是（）
A.65
B.－65
C.25
D.－252.椭圆2222b
y a x =1(a ＞b ＞0)的长轴被圆x 2+y 2=b 2与x 轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是（）A.21 B.22 C.33 D.3
2
23.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为51、31、41，现三人各投篮一次至少有1人命中的概
率为（）A.601 B.6047 C.53 D.60
13
4.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为（）A.3π B.23
π C.25
π D.3π
5.如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，底面边长为1，侧棱长为2，E 为BB 1中点，则异面直线AD 1与A 1E 所成的角为（）A.arccos
510 B.arcsin 510C.90° D.arccos 10106.已知，命题p :x +x 1
的最小值是2，q :(1－x )5的展开式中第4项的系数最小，下列说法正确
的是（）
A.命题“p 或q ”为假
B.命题“p 且q ”为真
C.命题“非p ”为真
D.命题q 为假
7.E，F 是随圆12
422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF 的最大值是（）
A．15°B．30°C．60°D．45°
8.已知角β终边上一点(4,3)P -，则cos β=()A.35- B.45 C.34- D.5
4
9.已知两点(2,5),(4,1)M N --，则直线MN 的斜率k =()
A.1
B.1-
C.12
D.1
2
-10.函数2sin cos 2y x x =+的最小值和最小正周期分别为()
A.1和2π
B.0和2π
C.1和π
D.0和π
二、填空题：（本题共2小题，每小题10分，共20分．）
1、在∆ABC 中，AC=1,BC=4，cosA=则cos B=_____.
2、已知函数有最小值8，则a=_____.
三、解答题：（本题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
1.已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a 的取值范围．
2.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．
（1）求cosA 的值；
（2）若b=3，点M 在线段BC 上，=2，||=3，求△ABC 的面积．
3.在如图所示的圆台中，AB，CD 分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE 为圆台的一条母线，且与底面ABE 成角．
（Ⅰ）若面BCD 与面ABE 的交线为l，证明：l∥面CDE；
（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
参考答案：
一、选择题
1-5题答案:DDCBA
6-10题答案：CBBBD
二、填空题
1、
2、2
三、解答题
1.已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；
当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；
当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；
综上所求不等式的解集为．
（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，
又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，
所以a的取值范围为[﹣7，7]．
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．
（1）求cosA的值；
（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，
即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，
在△ABC中，sinC≠0，
所以．…（5分）
（2）∵=2，两边平方得：=4，
由b=3，||=3，，可得：，
解得：c=7或c=﹣9（舍），
所以△ABC的面积．…（12分）
3.在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又
DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．
（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；
（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，
∴CD∥平面ABE，
∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，
∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，
∴l∥面CDE；
（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，
由AB⊥CD，得AB⊥OE，
又O′B在底面的射影为OB，
由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，
∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．
设AB=4，由母线与底面成角，
可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，
∴cos∠O′BO=．。