信号与系统离散时间系统习题详解

信号与系统离散时间系统习题详解
8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。

图 题8-2
解：
1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶
8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3
解：1
[][1][]3
y n y n x n --=
（1） 1[][]3n
y n u n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）311[](())[]223n y n u n =-
8-7 求解下列差分方程的完全解。

（1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -=
解：（1）方程齐次解为：h [](2)n
y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程
121212142(1)2 2 , 39
D n D D n D n D D ++-+=-→==-
完全响应为：()14[]239n
y n C n =-+-，代入1]0[=y 得：9
13=C
()1314[]2939
n
y n n ∴=-+-
（2）方程齐次解为：h [](5)n
y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程
0234
12121215
5(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→==
完全响应为：()1
5
[]5636
n
y n C n =-++
，代入0]1[=-y 得：36
5-=C
()1
1[][565]36
n y n n +=
-++
8-12 用单边z 变换解下列差分方程。

（1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换：
1
1
211
()0.9[()[1]]0.05
1
(){10.9}0.050.9[1]
1
0.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9)
(1)(10.9)(10.9)()0.50.45
10.910.9
0.50.45[][]0.10.9
z
Y z z Y z y z z z Y z z y z z z z
Y z z z z z z z Y z A B z z z z z z z
y n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[]
n u n u n +（3）由差分方程得：
2(0)3(0)2(1)2(1)22
y y y y --+-=-∴-==-
差分方程两边同时进行z 变换：
1
2
211
1222
2
()2[()(1)]21(1)
22(1)
()(1)(12)(1)(12)(12)
()33(1)2(1)(2)(1)
3949139(1)2(1)z z
Y z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++
-+-
3413[]((2))[]
999
n y n n u n =-+-
8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。

求系统的零输入响应和零状态响应。

解：差分方程两边同时进行Z 变换：
12221
2
2
1
21
12
12
()()[1]2[()[2][1]]()2()()[12](12)()[1]2[2]2[1]1214()()1212Y z z Y z y z Y z z y zy X z z X z Y z z z z X z y y z Y z z Y z X z z z z z -----------------+-+-=+--=++-+-+-++=+----
112
14(4)()(2)(1)12zi z z z Y z z z z z
---++==-+--
122212
2312()21
2121[]2(2)[](1)[]
122()()1
122()21223
211211
13[][2(2)(1)][]
22
zi n n zi zs zs n n
zs Y z A A z z z z z y n u n u n z z z
Y z X z z z z z z Y z B B B z z z z z z z y n u n ----=+=+-+-+=--++==⨯------=++=++-+--+-=+--
8-16 对于由差分方程y [n ] + y [n - 1] = x [n ]所表示的因果离散系统： （1）求系统函数H (z )及单位样值响应h [n ]，并说明系统的稳定性； （2）若系统起始状态为零，而且输入x [n ] = 10 u [n ]，求系统的响应y [n ]。

解：（1） 差分方程两边同时进行z 变换：
11
()()()
()1()()11[](1)[]
n Y z z Y z X z Y z z
H z X z z z h n u n --+=∴===++=-
系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。

2
10(2)()1
1
1055()()()(1)(1)11[]5[1(1)][]
n z
X z z z z z z
Y z X z H z z z z z y n u n =
>-===+
-+-+=+-
8-19 因果系统的系统函数H (z )如下，试说明这些系统是否稳定。

（1）22822z z z +-- （2）12
1252z z z z ----++ （3）23421z z z ++- （4）11211z z z ---+-+
解：
（1）收敛域为
18
z +>
，包括单位圆，所以稳定。

（2）收敛域为2z >不包括单位圆，所以不稳定。

（3）收敛域为2z >不包括单位圆，所以不稳定。

（4）收敛域为
1z >不包括单位圆，所以不稳定。

8-20 已知系统函数为H (z ) =
9.5(0.5)(10)
z
z z --，分别在
z
> 10及0.5 <
z
< 10两种收敛
域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。

解：
()9.511(0.5)(10)0.510[][(0.5)10][]
10
n n H z z z z z z h n u n z ==-----=-> 系统是因果，不稳定的。

[](0.5)[]10[1]
0.510n n h n u n u n z =+--<<
系统是非因果，稳定的。

8-21 建立图题8-21所示各系统的差分方程，并求单位样值响应h [n ]。

图 题8-21
解：（a ）1[][1][]3y n y n x n --= 1[][]3n
h n u n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（b ）[]4[2][]y n y n x n --= 1[]2(2)[]2
n n
h n u n ⎡⎤=+-⎣⎦
8-23 如下各序列中，x [n ]是系统的激励序列，h [n ]是线性时不变系统的单位样值响应。

分别求出各响应y [n ]，画出y [n ]的图形（用卷积方法）。

（1）x [n ], h [n ]如图题8-23(a)所示。

（2）x [n ], h [n ]如图题8-23(b)所示。

（3）[][]n x n u n α=，01α<<；[][]n
h n u n β=，01β<<且βα≠。

图 题8-23
解：（1）[][]3[1]4[2]3[3][4]y n n n n n n δδδδδ=+-+-+-+- （2）[][][1][2]2[3][4]y n n n n n n δδδδδ=-++++++++
（3）11
[][]n n y n u n βαβα
++-=-
1
23
4
(1)
(3)
8-24 已知线性时不变系统的单位样值响应h [n ]和输入x [n ]分别如下所示，求输出序列y [n ]，并绘出y [n ]的图形。

（1）44[][], [][]h n R n x n R n ==
（3）4[](1/2)[], [][]n h n u n x n R n ==
解：（1）[][]2[1]3[2]4[3]3[4]2[5][6]y n n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-
（3）13
10.510.5[][][4]10.510.5
n n y n u n u n +---=
----
8-25 图题8-25所示的系统包括两个级联的线性时不变系统，它们的单位样值响应分别为h 1[n ]和h 2[n ]，已知
12[][][2], [](0.8)[]n h n n n h n u n δδ=--=，令[][]x n u n =。

（1）按下式求y [n ]：y [n ]={ x [n ]* h 1[n ]}* h 2[n ] （2）按下式求y [n ]：y [n ]= x [n ]*{ h 1[n ]* h 2[n ]} 注：以上两种方法的结果应该相同（卷积结合律）。

解：（1） 12[]{[]*[]}*[]{[][2]}*(0.8)[] n y n x n h n h n u n u n u n ==--
11
[]*(0.8)[][2]*(0.8)[]10.810.8[][2]10.810.8
n n n n u n u n u n u n u n u n +-=----=----
（2） 2
12[][]*{[]*[]}[]*{(0.8)[](0.8)
[2]}n
n y n x n h n h n u n u n u n -==--
211
[]*(0.8)[][]*(0.8)[2]10.810.8[][2]10.810.8
n n n n u n u n u n u n u n u n -+-=----=----
8-27 用计算机对测量的随机数据x [n ]进行平均处理，当收到一个测量数据后，计算机就把这一次输入数据与前三次输入数据进行平均。

试求这一运算过程的频率响应。

解：设本次输入为[]x n ，则本次与前三次数据的平均值为：
1[]{[][1][2][3]}4
y n x n x n x n x n =
+-+-+-
(1)
1
(3)
图 题8-25
对上式进行z 变换得：
123123
121
()(1)()
4
()11()(1)(1)(1)
()44
Y z z z z X z Y z H z z z z z z X z --------=+++==+++=++ 2122
2
32
1
()()(1)(1)41()()
4
cos
cos 2
j j j z j j j j
j j j j H e H z e e e e e
e e e e ωωωωωω
ωωωωωω
ω
--=-----==
++=++=
8-28 利用z 平面零极点分布的几何作图法粗略画出下列各系统函数所对应系统的幅频特性曲线。

（1）H (z ) = 0.5z z - （2）H (z ) = 10.5z - （3）H (z ) = 0.5
z z
+
解：(1)
(2)
jIm(z)
ω
H(e j ω)
Re(z )
H(e j ω)
(3)
8-29 已知横向数字滤波器的结构如图题8-29所示。

试以M = 8为例。

（1）写出差分方程；
（2）求系统函数H (z )； （3）求单位样值响应h [n ]；
（4）画出H (z )的零极点图； （5）粗略画出系统的幅频特性曲线。

图 题8-29
解:
121
7
(1)[][][1][2][1]
[][]M M k k
k k y n x n ax n a x n a x n M a x n k a x n k --===+-+-+
+-+=
-=-∑∑118
11
1
0887
()1()1()(2)()()110
()
M M k k k Y z az az H z a z X z az az z a z z z a ------=--====---=>-∑77
(3)[][()][()][]{[][8]}
k k
k n k k h n H z a z a n k a u n u n δ-=====-=--∑∑-1
-1
Z Z 2812(4)
(1,28),
,0j
i i z ae
i
p a p π==== （7阶）
为保证系统稳定，设|
a |<1,则零极点图如下：
jIm(z)
j ωω
8-36 由下列差分方程画出因果离散系统的结构图，求系统函数H (z )及单位样值响应h [n ]。

（1）3y [n ] - 6y [n - 1] = x [n ]
（2）y [n ] = x [n ] - 5x [n - 1] + 8x [n - 2]
（3）y [n ] - 3y [n - 1] +3y [n - 2] - y [n - 3] = x [n ]
（4）y [n ] - 5y [n - 1] + 6y [n - 2] = x [n ] - 3x [n - 2] 解:
1
()1(1)()()3(2)
36Y z z H z X z z z -===--
1[](2)[]
3
n
h n u n = 12
()(2)()158()
[][]5[1]8[2]
Y z H z z z X z h n n n n δδδ--=
=-+=--+-
y [n ]
x [n ]
3312332
31(3)
()133331(1)(1)(2)[][]
2
z z H z z z z z z z z n n h n u n ---===-+--+--++=
2
12
21()13(4)()()15632121(2)(3)322
1
[](232)[][]
2
n n Y z z
H Z X z z z z z z z z h n u n n δ-----=
=
-+-==------=⨯--
x [y [n ]
x [
y [n ]
y [n ]
8-37 已知某离散系统的系统函数为H (z ) = z
z m
-，m 为常数。

（1）写出对应的差分方程；
（2）画出该系统的结构图；
（3）求系统的频率响应特性，并画出m = 0, 0.5, 1三种情况下系统的幅频特性与相频
特性曲线。

解:
11
(1)()1[][1][]
z H z z m mz y n my n x n -=
=
----=
(2)
11
(3)
()(1cos )sin 1sin ()()arctan
1cos (a)0()1,()0
sin (b)0.5()()arctan
2cos 1
(c)
1
()2sin(2)
()arct j j j j j j j j e H e m jm e m me m H e m m H e m H e m H e ωω
ωωωωωωωω
ω
ϕωωϕωωϕωωωϕω-===
-+--==--======--==
=
=-an (tan
)2
2
c ω
ωπ
-=
ω
ω
φ(ω)
(a)
x [n y [n ]
8-38 画出系统函数H (z ) = 323510375
z z z
z z z -+-+-所表示的系统的级联和并联形式的结构图。

解：(1) 级联形式
32212
322112
3510(3510)13510()375(1)(25)1125z z z z z z z z H z z z z z z z z z z
------+-+-+===⨯-+---+--+
（2）并联形式
2222112
(3510)221
()1(1)(25)251125z z z z z H z z z z z z z z z z
----+==+=+---+-+--+
y [n ]
ω (c)
ω
ω
(b)
y[n]。