2019年高考名校考前提分仿真试卷 理科数学(九)

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2019届高考名校考前提分仿真卷
理 科 数 学（九）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·江南十校]设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}21,A x x x U >=∈，则U A =ð（ ）
A ．{}2,2-
B ．{}1,1-
C ．{}2,0,2-
D ．{}1,0,1-
2．[2019·泸州质检]i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．0或1
3．[2019·荆门质检]在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体的一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．[2019·合肥一中]
若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A
B
． C
D
． 5．[2019·黑龙江模拟]如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ） A ．21π- B ．2π C ．22π D ．221π- 6．[2019·东北育才]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π3 7．[2019·临沂检测]已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x
的图象与函数
2log y x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）
A ．7-
B ．9-
C ．11-
D ．13-
8．[2019·淮南一模]函数()()2e e x x f x x -=-的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．[2019·哈六中]过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2
π3AOB ∠=，则实数m =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
10．[2019·淄博模拟]已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．2 D
11．[2019·深圳调研]已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ，若1
2
V
V 的最大值为3，
则球O 的表面积为（ ）
A ．16π9
B ．64π
9 C ．3π
2 D ．6π
12．[2019·宜昌调研]已知锐角ABC △外接圆的半径为2
，AB =则ABC △周长的最大值为（ ）
A
． B
． C
．D
．第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·上饶联考]某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．
14．[2019·如皋期末]设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则2z x y =-的最大值是________． 15．[2019·石室中学]在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为____． 16．[2019·遵义联考]若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“M 函数”．已知函数()()11f x k x =--，()3g x =-，()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“M 函数”，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·吉林质检]各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列(){}1n n a -⋅的前2n 项和2n T ． 18．（12分）[2019·濮阳摸底]四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：
其中参加跑步类的人数所占频率为
7
13
，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层
抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．
（）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；
（）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．
19．（12分）[2019·荆门调研]如图1，梯形ABCD中，AB CD
∥，过A，B分别作AE CD
⊥，BF CD
⊥，垂足分别为E、F．2
AB AE
==，5
CD=，已知1
DE=，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE BCF
-，如图2．
（1）若AF BD
⊥，证明：DE⊥平面ABFE；
（2）若DE CF
∥
，CD=线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD
，
求AP的长．20．（12分）[2019·上饶联考]已知椭圆()
22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>
的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若OE OA OB
=+，求四边形AOBE面积S的最大值．
21．（12分）[2019·濮阳摸底]已知函数()()ln 0b f x a x x a =+≠．
（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取
值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·枣庄期末]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，直线l
的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 交于M ，N 两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·成都外国语]已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ．
（1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：
()14918a b c a b b c c a
++≥+++++．
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【最后十套】2019届高考名校考前提分仿真卷
理科数学答案（九）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】211x x >⇒<-或1x >，又x U ∈，则{}2,2A =-，∴{}1,0,1U A =-ð，故选D ．
2．【答案】C
【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴10
10m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．
3．【答案】A
【解析】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图所示，故选A ．
4．【答案】D
【解析】
由题意可得ππ
πππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ．
5．【答案】A
【解析】π1πS =⨯=矩形，又()π
π00
sin dx cos cos πcos02x x =-=--=⎰，∴π2S =-阴影， ∴豆子落在图中阴影部分的概率为π2
2
1ππ-=-．故选A ．
6．【答案】C
【解析】由函数图像可得2A =，
∵()01f =，∴1
sin 2ϕ=，结合图像可得()π
2π6k k ϕ=+∈Z ， ∵π
2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭， 又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11ππ2sin 0126ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11ππ2π126k ω⨯+=，故2241111k ω=-+， ∴2ω=，∴π3ωϕ⋅=．故选C ． 7．【答案】C 【解析】∵0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称； ∴0x >时，()2x f x =；∴0x >时，()22x g x x =+， 又()g x 是奇函数；∴()()()()()1212214411g g g g =-⎡⎤⎣-+-=-++++=-⎦．故选C ． 8．【答案】A 【解析】∵()()2e e x x f x x -=-，∴()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=--=--=-， ∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ， ∵2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >，e e x x y -=-在()0,+∞上是增函数且0y >， ∴()()2e e x x f x x -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ． 9．【答案】A 【解析】如图所示， 取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且O A A P ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．
10．【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒， 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FBF S S S ''==△△， 又2224tan45FBF b S b a '===︒△，可得225c a =
，∴25e e =⇒=D ． 11．【答案】
B
【解析】由题意，设ABC △的外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且OO d '=， 依题意可知12max 3V R d V d ⎛⎫
+== ⎪⎝⎭，即2R d =，显然222R d r =+
，故R =，
又由2sin AC r ABC ==∠
，故r =O 的表面积为2216
64
4πππ39R r ==，故选B ．
12．【答案】B
【解析】∵锐角ABC △外接圆的半径为2
，AB = ∴2sin c R C =
4=
，∴sin C =，
又C 为锐角，∴π
3C =， 由正弦定理得4sin sin sin a
b
c
A B C ===，∴4sin a A =，4sin b B =
，c =
∴2π
π4sin 4sin 6sin 36a b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫
++=+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当π
π
62B +=，即π
3B =时，a b c ++
取得最大值=B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】6
【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组， 抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号． 故答案为6．
14．【答案】1
【解析】根据实数x ，y 满足约束条件10
1010
y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图：
11y y x =-⎧⎨=--⎩解得()0,1A
-，可知当目标函数经过点A 取最大值，
即()2011z =⨯--=．故答案为1． 15．【答案】2 【解析】以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则()2,0B ，()0,1D ，()1,1E ， 设(),P x y ，01x ≤≤，∴()2,1DB =-，()0,1AD =，(),AP x y =， ∵AP DB AD λμ=+，∴()(),2,x y λμλ=-，∴2x x λμλ=⎧⎨=-⎩， ∴232x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22x λμ+=≤，故答案为2． 16．【答案】[]0,2 【解析】由题意可得，()()3111ln k x x x -≤--≤+在区间[]1,2上恒成立， 即()()()120111ln k x k x x x ⎧-+≥⎪⎨--≤+⎪⎩，当[]1,2x ∈时，函数()()12f x k x =-+的图像为一条线段， 于是()()110220f k f k ⎧=+≥⎪⎨=≥⎪⎩，解得0k ≥，另一方面，()1ln 11x x k x ++-≤在[]1,2x ∈上恒成立．
令()()1ln 1ln 1ln x x x m x x x x x ++==++，则()2ln x x m x x -'=， ∵[]1,2x ∈，∴()1ln 10x x x '-=-≥，于是函数ln x x -为增函数， 从而ln 1ln10x x -≥->，∴()0m x '≥， 则函数()m x 为[]1,2上的增函数，∴()()min 111k m x m -≤==⎡⎤⎣⎦，即2k ≤； 综上所述，实数k 的取值范围是[]0,2． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）23n a n =-；（2）22n T n =．
【解析】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列， 则()22341a a S =⋅+，即()()()2
12136d d d -+=-+-+，解得2d =，∴数列的通项公式23n a n =-．
（2）由（1），可知12n n a a --=，∴()()()212342122n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=．
18．【答案】（1）240m =，60n =，3人；（2）见解析．
【解析】（1）由题意得参加跑步类的有7
78042013⨯=，
∴420180240m =-=，78042018012060n =---=，
根据分层抽样法知：抽取的13人中参加200米的学生人数有180
133780⨯=人．
（2）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240
134780⨯=，
参加跳绳的学生人数有3人，∴X 的所有可能取值为1、2、3、4， ()1
343
47C C 4135C P X ===，()2243
47C C 18
235C P X ===
，
()3143
47C C 12335C P X ===，()4
4
47C 1
435C P X ===，
∴离散型随机变量X 的分布列为：
∴()4
1812116
1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）2
3．
【解析】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， 由已知得AF BD ⊥，BE BD B =，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，
又AE DE ⊥，AE AF A =，∴DE ⊥平面ABFE ．
（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2
D M =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则
π6CDM ∠=，2CE =，
过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE
，EA ，EF 两两垂直，
以E 为坐标原点，以EA ，EF ，
EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则()2,0,0A ，()2,2,0B ，(C ，10,2D ⎛- ⎝⎭
，(AC
=-，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭． 设平面ACD 的一个法向量为()
,,x y z =n ， 由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
得201202x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =
得(1,
=-n ， 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ====n ． ∴23AP =． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【解析】（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）∵过()1,0F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上）， ∴设:1l x ty =+，()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪
⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1221226
34934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∵OE OA
OB =+，∴AOBE 为平行四边形，∴12234AOB S S y y t ==-=+△ 1m ≥，得2124313m S m m m
==++，
由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =．
21．【答案】（1）见解析；（2）(]0,1．
【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，∴()22x a
f x x +'=．
①当0a >时，()0f x '>，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． ②当0a <时，令()0f x '=
，解得x =
当0x <<()0f x '<，∴函数()f x
在⎛ ⎝上单调递减；
当x >()0f x '>，∴函数()f x
在⎫
+∞⎪⎪⎭
上单调递增．
综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 当2b =，0a <时，函数()f x
在⎛ ⎝
上单调递减，在
⎫
+∞⎪⎪⎭
上单调递增．
（2）∵对任意1x ，21
,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，
∴()()()()12max min f x f x f x f x -≤-，∴()()max min e 2f x f x -≤-成立， ∵0a b +=，0b >时，()ln b f x b x x =-+，()()
1b b x f x x -'=．
当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,e 单调递增，
()()min 11f x f ==，1e e b f b -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，()e e b
f b =-+，
设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()0b >，(
)e e 220b b g b -'=+->=．
∴()g b 在()0,+∞递增，∴()()00g b g >=，∴()1e e f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，可得()()max e e b f x f b ==-+，
∴e 1e 2b b -+-≤-，即e e 10b b --+≤， 设()e e 1b b b ϕ=--+，()0b >，()e 10b b ϕ'=->在()0,b ∈+∞恒成立． ∴()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b --+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()240x ay a =>，10x y -+=；（2）14． 【解析】（1）曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ 可得()22cos 4sin 0a a ρθρθ=>，化简得()240x ay a =>； 直线l
的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），可得1x y -=-，得10x y -+=． （2
）将21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入()240x ay a =>
并整理得)()21810t a t a -+++=，
韦达定理：)121t t a +=+，()12810t t a ⋅=+>， 由题意得2MN PM PN =，即21212t t t t -=⋅，可得()21212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即()()2321401a a +=+，0a >，解得14a =． 23．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析． 【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++< 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-；当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<； 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为()2,2-． （2）()()()f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+--+=++， ∵0a >，0b >，0c >，∴()min 1f x a b c =++=， ∴()149149a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ ()11492a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭
22222212⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
()2118182a b c ≥==++．。