理科)重庆市2018年普通高等学校5月调研(理数)-含答案 师生通用

理科)重庆市2018年普通高等学校5月调研(理数)-含答案师生通用
2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷
理科数学
文科数学测试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项上，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合$A=\{x|x\leq a\},B=(-\infty,2)$，若$A\subseteq
B$，则实数$a$的取值范围是（）
A、$a\geq 2$
B、$a>2$
C、$a\leq 2$
D、$a<2$
2、已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$iz=2z+1$，则
$z=$（）
A、$-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$
B、$-
\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$ C、$2+i$ D、$2-i$
3、设命题$P:\exists x\in Q,2^{-1x}\leq 2$，则$x\leq 4$为（）
A、$\exists x\in Q,2^{-1x}\geq 2$
B、$\forall x\in Q,2^{-
1x}<2$ C、$\forall x\in Q,2^{-1x}\geq 2$ D、$\forall x\in Q,2^{-1x}=2$
4、已知随机变量$X\sim N(2,\sigma)$，若$P(X\leq 1-
a)+P(X\leq 1+2a)=1$，则实数$a=$（）
A、$\frac{1}{2}$
B、$1$
C、$2$
D、$4$
5、XXX将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）
A、$12$
B、$24$
C、$36$
D、$48$
6、已知抛物线$y=4x$的焦点为$F$，以$F$为圆心的圆与抛物线交于$M$、$N$两点，与抛物线的准线交于$P$、$Q$两点，若四边形$MNPQ$为矩形，则矩形$MNPQ$的面积是（）
A、$16\sqrt{3}$
B、$12\sqrt{3}$
C、$4\sqrt{3}$
D、
$3\sqrt{3}$
7、已知实数$x,y$满足不等式组$\begin{cases}x\geq
a\\x+y-2\leq 3\\x-y\leq 4\end{cases}$，则$(x,y)$的解集为（）
A、$\{(x,y)|x\geq a,x\leq 4,y\geq -x+1,y\leq -x+7\}$
B、$\{(x,y)|x\geq a,x\leq 4,y\geq -x-1,y\leq -x+5\}$
C、$\{(x,y)|x\geq a,x\leq 4,y\geq -x+1,y\leq -x+5\}$
D、$\{(x,y)|x\geq a,x\leq 4,y\geq -x-1,y\leq -x+7\}$
8、《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢。

根据该问题设计程序框图如下，当输入$a=103,b=97$，则输出$n$的值是（）
此处应为程序框图，无法转换为文本）
9、一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为$32\pi$，则侧视图中的$x$的值为（）
此处应为图，无法转换为文本）
10、已知圆O的方程为$x^2+y^2=1$，过第一象限内的点P(a,b)作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A,B，若$PO\cdot PA=8$，则$a+b$的最大值为（）
解：由于P点在第一象限内，且在圆上，所以$a,b>0$且$a^2+b^2=1$。

设圆O的中心为$(0,0)$，则P点坐标为$(a,b)$，过P点作圆O的切线PA，PB，斜率分别为$k_1$和$k_2$，则切线的方程分别为：
y-b=k_1(x-a),\quad y-b=k_2(x-a)$$
将$x^2+y^2=1$代入得到切点坐标为：
A\left(\frac{a-b\sqrt{a^2+b^2-
1}}{a^2+b^2},\frac{b+a\sqrt{a^2+b^2-1}}{a^2+b^2}\right),\quad B\left(\frac{a+b\sqrt{a^2+b^2-1}}{a^2+b^2},\frac{b-
a\sqrt{a^2+b^2-1}}{a^2+b^2}\right)$$
由于$PA$和$PB$是切线，所以$\angle OPA=\angle
OPB=90^\circ$，即$OP\cdot PA=OP\cdot PB=1$，故$PA\cdot PB=1$。

又因为$PO\cdot PA=8$，所以$PO\cdot PB=\frac{1}{8}$。

根据两点间距离公式，可得
$AB=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{a^2+b^2-
1}}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)^2}=\frac {2\sqrt{a^2+b^2+1}}{a^2+b^2}$。

由于$PA\cdot PB=1$，所以$PA=\frac{1}{PB}$，代入$PA\cdot PB=1$可得$PB=\sqrt{8+\sqrt{64-63(a^2+b^2)}}$。

将$PA$和$PB$代入
$AB=\frac{2\sqrt{a^2+b^2+1}}{a^2+b^2}$，化简得：
sqrt{8+\sqrt{64-
63(a^2+b^2)}}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2+1}}{a^2+b^2}$$
移项并平方，化简得：
a^2+b^2=\frac{1}{2}$$
故$a+b\leq \sqrt{2}$，当$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$时取得
最大值，即$a+b=\sqrt{2}$。

因此，选项C正确。

11、已知双曲线C:$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，以$OF_2$为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O
为坐标原点，若$AF_1$与圆M相切，则双曲线C的离心率为（）
解：由于$AF_1$与圆M相切，所以$AF_1$是圆M的切线，且$AF_1\perp OF_2$。

设圆M的半径为$r$，则圆M的方程为$(x-a)^2+y^2=r^2$，代入双曲线C的方程得：
frac{(x-a)^2}{a^2-b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
将$x=a+r$代入上式得：
frac{r^2+2ar}{a^2-b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
移项并整理得：
y^2=\frac{(a^2-b^2)r^2}{r+2a}$$
设双曲线C的焦距为$c=\sqrt{a^2+b^2}$，则双曲线C的
离心率为$e=\frac{c}{a}$。

由于$F_1,F_2$分别为左右焦点，所以$F_1(-c,0),F_2(c,0)$。

又因为以$OF_2$为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，所以$A(c\cos\theta,-b\sin\theta),B(-c\cos\theta,b\sin\theta)$，其
中$\theta$为圆M的直径$OF_2$与$x$轴的夹角。

由于$AF_1$与圆M相切，所以$AF_1\perp OF_2$，即
$\angle F_2AF_1=90^\circ$。

又因为$F_1(-c,0),A(c\cos\theta,-
b\sin\theta)$，所以$\tan\angle
F_2AF_1=\frac{b\sin\theta}{c\cos\theta+a}=e$。

化XXX：
frac{b^2\sin^2\theta}{a^2\cos^2\theta+2ac\cos\theta+c^2}=e
^2$$
代入$c=\sqrt{a^2+b^2}$并化简得：
a^2-b^2)\sin^2\theta=(a^2+b^2)^2e^2\cos^2\theta$$
移项并整理得：
frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{(a^2+b^2)^2e^2-
b^2}{a^2-b^2}$$
化XXX：
tan^2\theta=\frac{(a^2+b^2)^2e^2-b^2}{a^2-b^2}$$
又因为$A(c\cos\theta,-b\sin\theta)$，所以：
r^2=(a-r\cos\theta)^2+b^2\sin^2\theta$$
移项并整理得：
r=\frac{a^2-b^2}{2a\cos\theta}$$
代入$y^2=\frac{(a^2-b^2)r^2}{r+2a}$并化简得：
y^2=\frac{4a^2b^2e^2\cos^2\theta}{(a+b)^2}$$
代入$e=\frac{c}{a}$并化简得：
y^2=\frac{4b^2c^2\cos^2\theta}{(a+b)^2}$$
代入$c=\sqrt{a^2+b^2}$并化简得：
y^2=\frac{4ab^2\cos^2\theta}{a+b}$$
又因为$AF_1$与$x$轴平行，所以$y=c\tan(5\pi-A)$，代入上式得：
frac{4ab^2\cos^2(5\pi-A)}{a+b}=c^2\tan^2(5\pi-A)$$
移项并化简得：
frac{b^2}{a^2-b^2}=\tan^2(5\pi-A)$$
代入$\tan^2\theta=\frac{(a^2+b^2)^2e^2-b^2}{a^2-b^2}$并
化简得：
e^2=\frac{(2a^2-b^2)\sin^2A}{a^2+b^2}$$
因此，选项B正确。

12、已知函数$f(x)=x^3+x^2+\frac{413}{x+10}$，等差数
列$\{a_n\}$满足：$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$，则下
列可以作为$\{a_n\}$的通项公式的是（）
解：由于$f(x)$是有理函数，所以
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\to-
\infty}f(x)=-\infty$，且$f(x)$在$x=-10$处有一个可去的间断点。

设$\{a_n\}$的公差为$d$，则$a_{99}=a_1+98d$，代入
$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$得：
99f\left(\frac{2a_1+98d}{2}\right)+\frac{413\times
99}{a_1+10+98d}=11$$
化XXX：
a_1^3+3a_1^2d+3a_1d^2+d^3+50a_1^2+980a_1+4800d+41
30=0$$
由于$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_{50}=a_1+49d$，代入$f(a_{50})$得：
f(a_{50})=\frac{(a_1+49d)^3+(a_1+49d)^2+\frac{413}{a_1+ 59d}}{a_1+59d}$$
将$f(a_{50})$代入$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$中，化简得：
a_1^3+3a_1^2d+3a_1d^2+d^3+50a_1^2+4800d+4130=0$$
与上式相比较可得$3a_1d^2=0$，即$a_1=0$或$d=0$。

若$a_1=0$，则$f(a_1)=0$，代入
$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$中，可得
$f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$，此时$\{a_n\}$的通项公式为
$a_n=0$。

若$d=0$，则$\{a_n\}$为常数数列，设$a_1=k$，代入
$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{99})=11$中，可得$99f(k)=11$，此
时$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=k$。

因此，选项A和D均正确。

13、函数$f(x)=\frac{1}{x+1}-
\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}-
\frac{1}{x+4}+\cdots+\frac{1}{x+2002}-\frac{1}{x+2003}$，则$f(x)$的零点个数为（）
解：对于任意的$n\in\mathbb{N}$，有：
frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}-
\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2002}-
\frac{1}{n+2003}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2001}-
\frac{1}{n+2002}+\frac{1}{n+2003}-\frac{1}{n+2004}$$ 化XXX：
frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2004}=\frac{1}{n+2}-
\frac{1}{n+2003}=\cdots=\frac{1}{n+1002}-\frac{1}{n+1003}$$ 因此，$f(x)$的零点为$x=-\frac{2004}{2}= -1002$，故选项B正确。

14、已知$a\in\mathbb{R}$，且
$(a+\frac{1}{2})\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，以PE 折痕将$\triangle PEB$翻折为$\triangle PEC$，点B恰好落在边AD上，若$\sin
II。

若某大学A专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A专业的了解程度。

现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A专业的调查。

记抽到的学生XXX在1.1-1.3的人数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列及数学期望。

对于视力在0.9以上的学生，共有 $100p$ 人，其中
$p$ 为该比例。

由于要抽取8人，按视力分层抽样，故每层抽取的人数为 $8p$ 人。

因此，视力在1.1-1.3之间的人数为$\xi$ 的分布列为：
P(\xi=k)=\frac{\binom{8p-k}{3}\binom{kp}{k}\binom{7p-kp}{8p-3-k}}{\binom{8p}{3}}$$
其中，$\binom{8p-k}{3}$ 表示从视力在0.9以上的学生中选出的 $\xi$ 个人中，有 $k$ 个人视力在1.1-1.3之间的选法数；$\binom{kp}{k}$ 表示从视力在1.1-1.3之间的 $kp$ 个学生中选出 $k$ 个人的选法数；$\binom{7p-kp}{8p-3-k}$ 表示从视力在0.9以上但不在1.1-1.3之间的 $7p-kp$ 个学生中选出$8p-3-k$ 个人的选法数。

xi$ 的数学期望为：
E(\xi)=\sum_{k=0}^{3}\xi\cdot
P(\xi=k)=\sum_{k=0}^{3}k\cdot\frac{\binom{8p-
k}{3}\binom{kp}{k}\binom{7p-kp}{8p-3-
k}}{\binom{8p}{3}}$$
其中，$\xi$ 的取值范围为 $0,1,2,3$。

天才出于勤奋，做题破万卷，下笔如有神。

注：原文中的公式无法正常显示，已经进行了修正。