GORENSTEIN投射模和广义GORENSTEIN维数

摘 要
凝聚(Coherent)环，诺特(Noether)环及Gorenstein 环是环论中的三类重要的环,三类环之间有着密不可分的联系,其中诺特环是凝聚环的一种特殊环, Gorenstein 环又是诺特环的一种特殊环. 代环论的发展始终与模及模范畴紧密结合在一起,而且这三类环上建立的模及模范畴一直是近些年来代数学领域研究的重要课题, 而同调理论对环论的发展起了催化作用,同调代数的兴起为环论研究提供了有力工具. 文中各种同调维数的定义,计算以及它们的性质的讨论都用到了同调的方法，例如各种同调维数，函子等，本论文研究的主要对象是Gorenstein 投射模和忠实平衡的自正交模,有关各种维数的讨论是本文的重点,同调公式,长正合列及推出图是本文研究中用到的主要工具.
全文共分为三个部分:
第一部分为绪论，主要介绍了相关的背景知识和发展状况，以及简述了本文主要探讨的内容；
第二部分主要探讨Gorenstein 环上的Gorenstein 投射模,利用Gorenstein 投射模刻画了Gorenstein 环，利用推出图，得到了R 是-Gorenstein n 环时，对任意左R −模M ，存在正合列：00K E M →→→→，其中()1pd K n ≤−，E 是Gorenstein 投射模.由此可以清楚地看出-Gorenstein n 环与Gorenstein 投射模的对应关系. 在此基础上，又得到了正合列：00M K E ′′→→→→,其中()pd K n ′≤，E ′是Gorenstein 投射模.并通过推出图证明了前后两个结论的等价性. 在一定意义上拓展了Gorenstein 投射模的有关结论；
第三部分考虑凝聚环上的自正交模,主要探讨了FP −内射维数和广义
Gorenstein 维数及左正交维数三种维数之间的关系，我们给了一个充分条件,从.()R l FP id ω−有限推导出了dim ()G M ω−有限,推广了黄的有关FP −内射维数的与广义的Gorenstein 维数之间的关系的结论,并且还得到了一个很好的推论，即:当dim ()G M ω−有限时,左正交维数与广义的Gorenstein 维数是相等的.
关键词: Gorenstein 投射模; FP −内射维数; k ω−−挠自由模; 广义
Gorenstein 维数
Abstract
Coherent rings, Noether rings and Gorenstein rings are three kinds of important rings in ring theory. There is a close link among these three types of ring: Noether ring is a special coherent ring while Gorenstein ring is a special Noether ring. The
development of modern ring theory is always associated with the modules and
category of modules. In recent years, the module and the module category are always important objects in some field of algebra. Meanwhile, homological algebra has played an important role in the development of ring theory, which provided a
powerful tool for the study of the ring theory. In this article, we used homological method to define and calculate the various homological dimensions, and discussed their properties. Gorenstein projective module and generalized Gorenstein dimension are mainly investigated in the thesis, the discussion about varies dimensions is the focus of analysis. The elementary tolls are homological formulas and push-out diagrams and long exact sequences in the thesis.
This paper is divided into three parts:
The first part is introduction, which not only surveied the background and development of objects but also descripted the main contents of this paper.
In the second part, we investigated Gorenstein projective module on the
Gorenstein ring. Using Gorenstein projective module, we characterized Gorenstein ring in this paper. By the push-out diagrams, we got a theorem that when R was n-Gorenstein ring, for any moudule R M , there was an exact sequence :
00K E M →→→→, where ()1pd K n ≤−and E was a Gorenstein projective
module, which showed a clear relationship between n-Gorenstein ring and Gorenstein projective module. In addition, we obtained another theorem: there was an exact sequence:00M K E ′′→→→→, where ()pd K n ′≤ and E ′was a Gorenstein projective. Then we proved the equivalence between these two conclusions by the
push-out diagrams. In a certain sense, we generalized the corresponding conclusion of Gorenstein projective module.
In the third part, we considered the self-orthogonal module on the coherent ring, and mainly discussed FP-injective dimension as well as generalized Gorenstein dimension. We obtained a sufficient condition to show that .()R l FP id ω−<∞ implied
dim ()G M ω−<∞, where mod M R ∈, which generalized the result of Huang and Tang about the relationship between FP-injective dimension and generalized Gorenstein dimension. In addition, we got that the left-orthogonal dimension was equal to the generalized dimension when dim ()G M ω−was finite.
Key word : Gorenstein projective module; FP-injective dimension;
k ω−−torsionfree module; generalized Gorenstein dimension
符号说明
R 诺特（凝聚）环
Λ
Artinian 代数 范畴
modR(modR ) op
有限生成（表现）模范畴 Hom, Ext
函子 ()R R ωω
忠实平衡自正交模 , M f ωω
Hom (,), Hom (,) R R M f ωω (),(())R R id M pd M
内射维数，投射维数 .()R l FP id M −
左FP −内射维数 dim ()G M ω−
广义的Gorenstein 维数 ()Tr M ω
转置 M σ
典范等价同态M M ωω→ ()(())n n
M M ωΩΩ
第n 个合冲模（范畴） dim ()R M ωω⊥
−
M 的左正交维数 add ω
模范畴中同构与ω的有限直和的
直和项所构成的全子范畴
第一章 绪 论
同调代数是代数表示论中非常重要的一门学科，是上世纪40年代由著名数学家S.Eilenberg 与S.Maclane 等人创造的一门学科，它主要研究环模，以及环模上的复形，运用范畴中的理论方法，以,Hom ⊗以及它们的导出函子,Ext Tor 作为基本函子，运用投射模，内射模和平坦模的分解理论，有效地给出了环类上的同调维数，而同调维数的研究是同调理论的核心部分，伴随同调理论的形成，它一直是同调代数研究的焦点，人们可以对环和模的分解式定义不同的维数，另外，对给定的环也可以通过对其上的一些模及某一种同调维数进行刻画，从而更好的揭示环的特征.本文主要探讨有关Gorenstein 代数的同调性质，很多问题的解决都用到了同调的方法.因此我们首先介绍一下有关Gorenstein 同调代数的发展,以及代数表示论中一些重要的猜想和进展工作.随后我们给出本文涉及到的主要问题.
一、 研究背景和发展状况
首先是著名的Nakayama 猜想，该猜想引出了后面的一系列猜想，以最初的猜想为背景，学者们为解决问题，定义了相关的概念，得出了很多有价值的定理.
[Nakayama,1958] Nakayama 猜想(.)N C :设任意模mod M R ∈，其中R 表示Artin 代数，mod R 表示有限生成的左R −模范畴，已知M 的极小内射分解为：010()()()i M E M E M E M →→→→→→L L 则：R 是自内射的如果()i E M 是投射的.（R 是自内射即R 作为R −模时是内射的）
[Bass,AMS,1960] Finitistic Dimension 猜想(F.D.C):.dim fin R <∞.其中：.dim sup{mod ,}R R fin R pd M M R pd M =∈<∞.
1975年，Auslander 和Reiten 在文献[1]中提出了广义Nakayama 猜想.
广义Nakayama 猜想(..)G N C ：任意不可分解的内射左R −模M ,都可看作是某些()i E M 的直和项；它的一个等价刻画是：对于任意Artin 代数R ，及任意单模
mod T R ∈，存在一个非负整数k ，使得(,)0k R Ext T R ≠.
黄兆泳教授在文献[2]中对忠实平衡自正交模做了很好的刻画，为更好的理解广义Nakayama 猜想提供了帮助.相对于广义Nakayama 猜想，自然会考虑
(,)0k R Ext T R =时的情形，于是就有了强Nakayama 猜想：
强Nakayama 猜想(..)S N C :对任意的0i ≥，如果(,)0i R Ext M R =，则有：0M = .
Colby 和[3]Fuller 证得强Nakayama 猜想在M 是有限生成左R −模时成立.
[Zaks , J Algebra, 1969 ] 如果R id R 和op R id R 都是有限的，则op R R id R id R =.
Beligiannis 和Reiten 在文献[4]中提出了Gorenstein 对称猜想.
Gorenstein 对称猜想(..)G S C :对Artin 代数R ，R 的左右自内射维数相等，即： op R R id R id R = )(op R R id R iff id R <∞<∞⇔
Gorenstein 环最初是由Bass 在交换环上定义的:
[Bass, Math Z, 1963 ] 定理：如果R 是交换的Noether 环，则以下结论等价：
（1）R 是Gorenstein 环；
（2）()i R R fd E R i ≤，其中0i ≥；
（3）()1i R R fd E R i ≤+，其中0i ≥.
随后又有了新的定义：环R 是Gorenstein 环，如果R 是双侧Noether 环,且左右自内射维数均有限.该定义主要是由Auslander 提出的，他将交换的Noether 环改为非交换的，然后讨论其左右自内射维数，得出了很好的结论，也引申出有关维数的一些猜想，以下是他的一些工作：
[Auslander LNM456 ,1975] 定理：如果R 是左右Noether 环，以下结论等价：
（1）()i R R fd E R i ≤，其中0i ≥；
（2）()op op i R R fd E R i ≤，其中0i ≥；
上述两条件通常称为Auslander 条件.
定义：环R 叫Iwanaga-Gorenstein 环，如果R R 和R R 的内射维数都是有限的.
定义：环R 叫Auslander-Gorenstein 环，如果它是Iwanaga-Gorenstein 环并且满足
Auslander 条件.
Auslander 和Reiten 在文献[5]中提出了以下猜想：
Auslander-Gorenstein 猜想(..)AG C ：R 是Gorenstein 环,如果它满足Auslander 条件（也就是说：一个Artin 代数R ，如果R R 是Gorenstein 模时，则它满足：
. (). ()R R l id R r id R =<∞）.
前面提到的广义Nakayama 猜想可以推出Auslander-Gorenstein 猜想，黄兆泳教授随后又对Auslander-Gorenstein 猜想进行了改进[2]，用改进的猜想推出了Auslander-Gorenstein 猜想，可以说，改进后的猜想很好的连接了广义Nakayama 猜想和Auslander-Gorenstein 猜想.
下面给出改进后的Auslander-Gorenstein 猜想：
( ..)Modified A G C ： 如果()1i R pd E R i ≤+，则R 是Gorenstein 代数，其中0i ≥. 倾斜理论是近些年来代数表示论中重要的研究课题，当然它有很多分支，其中与本文有关的是Wakamatsu 倾斜猜想：
定义：模mod U R ∈叫做Wakamatsu 倾斜模，如果：(,)0i R Ext U U =（1i ≥）
，并且在mod R 中存在正合序列：010i R U U U →→→→→→L L mod i U R ∈，该
正合序列通过(,)R Hom U −作用以后仍正合.
下面给出一个Wakamatsu 倾斜模的重要定理：
定理：以下叙述等价：
(1) R U 是一个Wakamatsu 倾斜模，其中()R T End U =；
(2) (,)0i R R R Ext U U =（1i ≥），而且有()()R End U R End U =；
(3) (,)0i T T T Ext U U = （1i ≥）
，而且有()R T End U =. 对偶的，也有Wakamatsu 余倾斜模和Wakamatsu 余倾斜模的相关定理.
我们知道一个Wakamatsu 倾斜模不一定是倾斜模，一个Wakamatsu 余倾斜模也不一定是余倾斜模，因此Wakamatsu 提出了著名的Wakamatsu 倾斜猜想. Wakamatsu 倾斜猜想(..)W T C ：一个Wakamatsu 倾斜模是倾斜模，当且仅当
R pd M <∞，一个Wakamatsu 余倾斜模是余倾斜模，当且仅当R id M <∞. Wakamatsu 倾斜猜想的提出为解决Gorenstein 对称猜想提供了依据.因为该猜想有很好的利用价值，因此黄兆泳教授通过大量研究证明了：Wakamatsu 倾斜猜想对M 是quasi-Gorenstein 模时是成立的.
定义：设模mod M R ∈，如果满足(,)0(,)op i i R R Ext M R Ext TrM R ==(1)i ≥，则
模M 就有Gorenstein 零维数.
Auslander 和Bridger 在Gorenstein 零维数的基础上引进了通常的Gorenstein 维数的概念，而后用Gorenstein 维数很好的刻画了Gorenstein 环：
[Auslander 1969] 以下叙述等价：
（1）R 是一个Gorenstein 环；
（2）mod R 中的每一个模都有有限的Gorenstein 维数；
（3）mod op R 中的每一个模都有有限的Gorenstein 维数.
随后Enochs 和Jenda 在文献[6]中引入了Gorenstein 投射模，Gorenstein 内射模和Gorenstein 平坦模，以及后来又在此基础上建立了相应的Gorenstein 投射（内射，平坦）维数.我们知道投射模一定是Gorenstein 投射模，但Gorenstein 投射模不一定是投射模，什么情况下Gorenstein 投射模是投射模呢？
Gorenstein 投射猜想(..)G P C ：mod A R ∈是投射的，当且仅当A 是Gorenstein 投射的，并且是自正交的.
黄和罗在文[7]中通过研究得到定理：在交换的Artin 环上，一个有限生成的Gorenstein 投射模是投射模当且仅当Gorenstein 投射模是自正交的.也就是说Gorenstein 投射猜想在交换的Artin 环上是成立的.
以下把各种猜想之间的关系建立成图表，方便看出各种猜想之间的关系
[8]
[4][9]
.. ..
.. ... .... . .. .. trivial trivial trivial F D C S N C W T C G N C M A G C A G C N C G S C G P C
⇒⇓⇓⇒⇒⇒⇒⇓⇓
由于本篇论文主要讨论Gorenstein投射模及广义Gorenstein维数等相关知识，所以笔者想通过总结以上内容可以让大家更多的了解相关的知识背景，以便更好的理解文章的内容.本绪论是根据黄兆泳教授讲座及论文的部分内容总结而成，在此我们可以看到数学工作者们的严谨的科学态度和热心钻研的精神，我想这是我们当代研究生所应该学习的.
二、本文的主要工作
本文也是延续以上背景，探讨了一些分支内容，主要利用了同调代数的方法.研究问题之一是Gorenstein环上的Gorenstein投射模，O.Jenda,E.Enochs[6]在Gorenstein环上定义并研究了Gorenstein内射模，Gorenstein投射模，Gorenstein平坦模，随后很多数学工作者研究了有关Gorenstein环和模的同调性质，杜先能及陈正新曾在[10]中用Gorenstein内射模刻画了Gorenstein环，在此基础上，我们给出了Gorenstein环上的Gorenstein投射模的一些刻画，方法上主要是应用内射维数和投射维数的关系，相对于文献[10]的证明，本文在部分定理的证明方法上做了改进，利用同调方法中的推出与拉回图，简化了证明，使得证明更加清晰，并且我们给出R是Gorenstein环时两个等价结论，应该说它是原有结论的一种拓展.
研究问题之二是：凝聚环上的自正交双模，以及对相应的FP−内射维数，进行刻画，探讨FP−内射维数与广义Gorenstein维数，左正交维数的关系. 一直以来,诺特环上的倾斜模和余倾斜模是代数表示论研究的焦点，我们知道内射维数有限的自正交双模是余倾斜模，投射维数有限的自正交双模是倾斜模.黄兆泳教授将诺特环改成条件更弱一些的，更基础的凝聚环，并在凝聚环的基础上研究了（余）倾斜理论，得出了很多有价值的结论，本章节也是继续以上研究，深入剖析了文[11]的部分定理，减弱其部分条件，得到了一些有相对意义的结论.
本篇论文主要有三个章节：
第一章为绪论，主要介绍了相关知识背景和发展状况以及简述以下本文研究的主要内容；
第二章是Gorenstein环上的Gorenstein投射模，在文[11]的基础上，我们给出了Gorenstein环上的Gorenstein投射模的一些刻画，在相关引理及定理的证
第一章 绪 论
明中，我们主要采用了推出图，这样不同于以往的证明方法，使得证明清晰，简洁，易懂，而且得到了具有相对意义的拓展性定理：
定理 设R 是-Gorenstein n 环，对任意左R −模M ，以下结论等价：
(1) 存在一个短正合列：00K E M →→→→，其中()1pd K n ≤−，E 是
Gorenstein 投射的.
(2) 存在一个短正合列：00M K E ′′→→→→,其中()pd K n ′≤，E ′是
Gorenstein 投射的.
第三章是有关广义Gorenstein 维数的结论，我们主要考虑FP −内射维数和广义Gorenstein 维数的关系，在文[11]中，黄兆泳教授给出定理：对于任意的模mod ,mod op M R N S ∈∈，R S ω是一个忠实平衡的自正交模，则.()R l FP id n ω−≤和.()R r FP id n ω−≤当且仅当dim ()G M n ω−≤和dim ()G N n ω−≤.
在本章中，我们将上述定理中的条件.()R r FP id n ω−≤改为R ω⊥具有ω−无挠
性，通过讨论知道R ω⊥具有ω−无挠性要比条件.()R r FP id n ω−≤弱，所以就试想
用较弱的条件代替较强的条件去查看上述定理是否成立，我们通过证明得知条件减弱后定理是成立的，可以说新的定理在一定意义上推广了原有定理的结论，即： 定理 设R 是左凝聚环，S 是右凝聚环，R S ω是一个忠实平衡的自正交模，
mod ,mod op M R N S ∈∈，则.()R l FP id n ω−≤和R
ω⊥有ω−无挠性当且仅当dim ()G M n ω−≤.
在[12]中黄兆泳教授介绍了左正交维数，在这里，我们根据以上定理得出了有关左正交维数的一个很好的推论：
推论 设n 是非负整数，.()R l FP id n ω−≤和R
ω⊥有ω−无挠性当且仅当dim ()dim ()R R G M n ωωω⊥−=−≤.
第二章 Gorenstein 环上的Gorenstein 投射模
Auslander 和Bridge 在给出Gorenstein 零维数的定义的基础上介绍了
Gorenstein 投射模[13]，随后Enochs 和Jenda 在任意模上定义了它们，也即没必要是有限生成模[6]. Gorenstein 投射模有时也被叫做全自反模[14]，而在交换的Notherian Gorenstein 局部环上，它们应是极大的Cohen-Macaulay 模. 而且Gorenstein 投射模在Gorenstein 代数中占有重要的地位，Gorenstein 投射模也是Gorenstein 同调代数的基础[15]，它们在独立性理论和稳定范畴中都有极其广泛的应用[16,17].
一个环R 叫做Gorenstein 环，如果它是双边Noether 环，且它作为模时有有限的自内射维数. 如果它的自内射维数为n ，则环R 叫做Gorenstein n −环. 在文[10]中，杜和陈用Gorenstein 内射模刻画了Gorenstein 环，在本文中，我们根据Gorenstein 投射模来刻画Gorenstein 环.
§2.1 预备知识
定义2.1.1 设X 是一模类，该模类在同构，有限直和，及直和项下封闭，设线性映射:X M φ→，X ∈X ，如果对任意的X ′∈X ，有：
(,)(,)0R R Hom X X Hom X M ′′→→是正合的，则线性映射:X M φ→，叫做模M 的−X 预盖，进一步，如果对任何满足f φφ=的自同态:f X X →是自同构，称:X M φ→为M 的−X 盖.
我们知道模的−X 盖存在，它的有限和仍是−X 盖，而且−X 盖在同构的意义下是唯一的，特别地，如果X 是投射（内射，平坦）模的集合，则满足条件的线性映射分别称为投射（内射，平坦）（预）盖.
定义2.1.2 设在同构，有限直和，直和项下封闭的模类X ，模M ∈X ，
如果线性映射:M X φ→，X ∈X ,对任意X ′∈X ，有：
(,)(,)0R R Hom X X Hom M X ′′→→是正合的,则线性映射:M X φ→，叫做模M 的−X 预包，进一步，如果对任何满足f φφ=的自同态:f X X →是自同 构，称:M X φ→为M 的−X 包.
特别地，如果X 是投射（内射，平坦）模类，称满足以上条件的:M X φ→为M 的投射（内射，平坦）（预）包.
评注：每个左R −模都有投射（预）盖当且仅当环R 是左完全环，每个左R −模都有投射（预）包当且仅当环R 是左完全环，右凝聚环，每个左R −模都有内射（预）盖当且仅当环R 是左Noether 环，而每个左R −模都有内射（预）包. 定义2.1.3 设M 是左R −模，2100P P P M →→→→→L 叫做M 的一个投射分解，如果每一个i P 是投射的左R −模，而且对于任意投射左R −模Q ，函子(,)R Hom Q −作用在上式以后使其正合. 010M P P →→→→L 叫做M 的一个投射预解式，如果每一个i P 是投射的左R −模，而且对于任意投射左R −模Q ，函子(,)R Hom Q −作用在上式以后使其正合.如果将两式接起来，就有完全投射预
解式：01210P P P P P →→→→→→L L
如果R 是左完全环，那么，对于任意左R -模M ，我们总有复形：
010M P P →→→→L ，其中0M P →，00Im()M P P →→，
011Im()P P P →→……1Im()n n n P P P −→→都是投射预盖，这时上述复形叫投射预解式.
设左R -模M 的投射预解式为 010M P P →→→→L ，则令：0K M =，01Im()K M P =→LL 21Im()n n n K P P −−=→，其中2n ≥，这时n K 叫做M 的第n 个E −上合冲.
左R -模M 的投射预解式存在时不一定正合，如果它正合则就有如下完全投射预解式的定义：
定义2.1.4 如果一个完全投射预解式是一个正合列：
01210
P P P P P →→→→→→L L ，而且对于任意投射左R −模Q ，通过(,)R Hom Q −作用以后，即：
1001(,)(,)(,)(,)R R R R Hom P Q Hom P Q Hom P Q Hom P Q →→→→→L L 仍是正合的. 另10Im()M P P ≅→，则模M 叫做Gorenstein 投射模.
相应的Gorenstein 内射模，Gorenstein 平坦模的定义也是如此定义的，详细内容请参考文献[6].
定义2.1.5 设M 是左R -模，若设M 存在正合列：
11000n n R G G G G M −→→→→→→→L ，其中：i G (0)i n ≤≤ 是
Gorenstein 投射模，定义
110Gpd inf{00}R n n R M n G G G G M −=→→→→→→→L 为模M 的
Gorenstein 投射维数，记为：Gpd R M n =，如果上述的n 不存在，则记
Gpd R M =∞，否则有Gpd R M <∞，
有关Gorenstein 投射维数的性质和结论请参见第三章.
评注：在一个完全投射分解中，由于对称性，Gorenstein 投射模的所有的像，所有的核，余核都应是Gorenstein 投射模，也就是说：任意一个投射模都是Gorenstein 投射模，但是Gorenstein 投射模不一定就是投射模[18].
对任意的左(右)R −模M ，()Lgd R 表示环R 的左整体维数，()pd M ，()id M 分别表示模M 的投射维数和内射维数(,)i Ext M N 和(,)Hom M N 相应的表示
(,)i R Ext M N 和(,)R Hom M N .
§2.2 Gorenstein 投射模的一些结果
定理2.2.1[]19
R 是Gorenstein n −环，对任意左（右）R −模，以下结果等价： .d (1im )inj M <∞，(2).dim proj M <∞，(3).dim inj M n ≤，(4).dim proj M n ≤
引理2.2.2 设环R 是Gorenstein n −环，01210
P P P P P →→→→→→L L 是投射左R −模的完全投射预解式，如果对于任意投射左R −模Q ，有:
1001(,)(,)(,)(,)Hom P Q Hom P Q Hom P Q Hom P Q →→→→→L L 是正合的，
则上述的完全投射预解式是正合的.
该引理的证明类似与[10]中的引理1，故我们在这里省去.
引理2.2.3 设R 是Gorenstein n −环，左（右）R −模C 是Gorenstein 投射的当且仅当对于所有的投射左（右）R −模P 有(,)0i Ext C P =，其中1i ≥.
证明：()⇒如果C 是Gorenstein 投射的，则存在一个正合序列
01210P P P P P →→→→→→L L ，其中10Im()C P
P ≅→，设01100n C P P P D −→→→→→→→L ，其中21Im()n n D P P −−=→，这样(,)(,)i n i Ext C P Ext D P +=，因为R 是Gorenstein n −环，由定理2.2.1得:()id P n ≤, 那么(,)(,)0i n i Ext C P Ext D P +==，1i ≥.
()⇐设210()()()0Q C Q C Q C C →→→→L 是C 的一个投射分解，因为对于投射左R −模P ，有(,)0i Ext C P =，1i ≥，则
0120(,)((),)((),)((),)Hom C P Hom Q C P Hom Q C P Hom Q C P →→→→→L 也是正
合的；另一方面，C 存在一个投射预解式：010C P P →→→→L ， i P 是投射的，由投射预解式的定义知：10(,)(,)(,)0Hom P P Hom P P Hom C P →→→→L
是正合的；而且我们得到了一个复形：0110
()()P Q C Q C P P =→→→→→%L L 通过(,)Hom P −作用以后，有：1(,)(,)Hom P
P Hom P P =→%L
001(,)((),)((),)Hom P P Hom Q C P Hom Q C P →→→L 是正合的，则由引理2.2.2
可知：P %是正合的，其中10
Im(()())C Q C Q C =→，所以C 是Gorenstein 投射的. 引理2.2.4 R 是Gorenstein n −环，12000n n C P P P M −−→→→→→→→L 是
左R −模上的正合序列，其中i P (01)i n ≤≤−是投射的，则C 是Gorenstein 投射的。

证明：因为12000n n C P P P M −−→→→→→→→L 是正合的，那么对于任意投
射模P ，有(,)(,)i n i Ext C P Ext M P +=， 由定理2.2.1，有：
(,)(,)0i n i Ext C P Ext M P +==，其中1i ≥，则由引理2.2.3可得：C 是Gorenstein 投射的.
推论2.2.5 Gorenstein 环上的Gorenstein 投射模，其直和项，直和都是Gorenstein 投射的.
证明类似[1]中结论3.5，故省去.
我们现在给出在Gorenstein n −上的Gorenstein 投射模性质的刻画：
定理2.2.6 以下叙述等价：
(1) M 是Gorenstein 投射模；
(2) 存在一个正合列0110n M P P P −→→→→→L ，其中i P 是投射的；
(3) 任意映射N M →都可以分解为映射N P M →→，其中P 是Gorenstein 投射模；
(4) M 的任意一个自同态都可以通过一个Gorenstein 投射模进行分解；
(5) 对于所有投射模P ，有(,)0i Ext M P =，1i ≥；
(6) 对于所有投射模P ，有(,)0i Ext M P =，0i n ≤≤.
证明：(1)⇒(2), (3)⇒(4), (5)⇒(6)都是平凡的，(1)⇔(5)的证明可以由引理2.2.3得到，因此我们仅仅对(2)⇒(3), (4)⇒(1), (6)⇒(5)证明，
(2)⇒(3)：设正合列 01100n M P P P L −→→→→→→→L ，其中i P 是投射的；另假设存在映射:f N M →，其中N 是有限生成的，则存在一个投射预解式:
01100n N P P P D −→→→→→→→L ,此时P 是投射的，显然，D 也就有一个投射分解：02100n n C Q Q Q D −−→→→→→→→L ，其中i Q 是投射的. 因为01100n N P P P D −→→→→→→→L 是一个部分投射预解式，映射:f N M →导出了以下交换图：
01101100
00
n n N P P P D f g M P P P L −−→→→→→→→↓↓↓↓↓→→→→→→→L L 这时我们还可得一个交换图：
01101101100
0 0
00n n N P P P D h C Q Q Q D k g M P P P L π
−−−→→→→→→→↓↓↓↓↓→→→→→→→↓↓↓↓↓→→→→→→→L L L
则由通常的同伦知识我们有f hk −可以作为映射N P π
→的因子对映射进行分解，假如存在映射:l P M →，使得f hk l =+π. 现在我们定义映射0 : N P C ϕ→⊕，和0: P C M φ⊕→，而且有()((),())n n h n ϕπ= 其中n N ∈，和1212(,)()()x x l x k x φ=+其中012(,)x x P C ∈⊕. 那么我们可以得到：f φϕ=.
事实上，0110 0n C Q Q Q D −→→→→→→→L 是正合的，则
000110 0n P C P Q Q Q D −→⊕→⊕→→→→→L 也是正合的，这样：由引理 2.2.4，0P C ⊕是Gorenstein 投射的，令P P C =⊕,所以任意映射N M →都可以分解为映射N P M →→.
(4)⇒(1):因为M 的任意一个自同态都可以通过一个Gorenstein 投射模进行分解，则M 可以看作是一个Gorenstein 投射模的直和项，则由推论2.2.5可得M 是一个Gorenstein 投射模.
(6)⇒(5)：因为R 是Gorenstein n −环，对于任意投射模P 有()id P n ≤，这样：
对于1i n ≥+有(,)0i Ext M P =，因此也就有对于1i ≥有(,)0i Ext M P =.
定理2.2.7 R 是Gorenstein n −环，则任意左（右）R −模M 是Gorenstein 投射的当且仅当存在一个正合列0110n M P P P −→→→→→L ，其中i P 是投射的. 证明：()⇒任意左（右）R −模M 是Gorenstein 投射的，由定义，存在一个完全
正合列01210P P P P P →→→→→→L L ，
只需令10Im()M P P ≅→就可以得到. ()⇐若存在正合列0110n M P P P −→→→→→L ， M 的投射分解应是存在的，即：1100n P P P M −→→→→→L ，则可以将两正合列组合成完全正合列，其中10Im()M P P ≅→，故M 是Gorenstein 投射的.
推论2.2.8 R 是Gorenstein n −环，1n ≥，若M 是Gorenstein 投射的左（右）R −
模，则存在正合列01
120110n i i i i n M P P P −−→→→→→L ，而且Im j i (01)j n ≤≤−也是Gorenstein 投射的.
证明：由Gorenstein 投射的定义即可得到.
定理2.2.9 以下叙述等价：
(1) R 是Gorenstein n −环；
(2) 任意左R 模M 的投射分解中的第n 个合冲模是Gorenstein 投射模；
(3) 任意左R 模M 的投射预解式中的第n 个E −上合冲模是Gorenstein 投射模. 证明：(1)⇒(2)：设2100Q Q Q M →→→→L 是任意左R 模M 的投射分解，n L 是其第n 个合冲.则对于任意投射左R 模P ，由定理2.2.1得：()id P n ≤，所以，对1i ≥，有(,)(,)0i n i n Ext L P Ext M P +==. 因此可得：n L 是Gorenstein 投射模.
(2)⇒(1)：设任意投射左R 模P 及投射左R 模M ，n L 是M 的第n 个合冲模，由(2)我们有(,)(,)0i n i n Ext L P Ext M P +==，这样()id P n ≤，因此也就有：()R id R n ≤，这样，R 是Gorenstein n −环.
(1)⇒(3): 设任意投射左R 模M ，及M 的任意一个投射预解式：
010M P P →→→→L ，令i K 是模M 的第i 个E −上合冲模，0i ≥，那么这个
投射预解式在(1)i P i n ≥−时是正合的，这里1P M −=，因此我们得到如下正合列： 121200n n n n n K P P P K +−→→→→→→→L ，依此我们可推出上正合列是2n K 的投射分解，且正合列中的n K 是2n K 的第n 个合冲模，由此也就有n K 是
Gorenstein 投射的.
(3)⇒(1)：设n K 是任意左R 模的投射预解式中的第n 个E −上合冲模，那么n K 是Gorenstein 投射的，则存在一个正合列:0n n f K P →→，n P 是投射的，另设:n g K P ′→是一个投射盖，所以存在一个同态:n h P P ′→，即有f gh =，那么
h 是单的，并且()R id R n ≤，类似地，我们还可证明 ()R id R n ≤，于是有R 是
Gorenstein n −环.
引理2.2.10[]20
R 是Gorenstein n −环，短正合列00M M M ′′′→→→→，则有：
(1) 如果M ′和M ′′是Gorenstein 投射的，则M 是Gorenstein 投射的；
(2) 如果M 和M ′′是Gorenstein 投射的，则M ′是Gorenstein 投射的；
(3) 如果M ′和M 是Gorenstein 投射的，则M ′′是Gorenstein 投射的当且仅当对
任意投射模P ，有1(,)0Ext M P ′′=.
定理2.2.11[21] 如果R 是QF ()0Gorenstein −环当且仅当对每一个左R −模M 都是Gorenstein 投射模.
证明：充分性：设M 为任意左R −模，则M 有内射分解
0120M E E E →→→→→L 和投射分解2100P P P M →→→→→L ，因为R
是QF 环，故我们可以得到一个投射模的正合列：
210012P P P E E E →→→→→→→L L ，其中10Im()M P P =→，由于对任意的投射模P ，在QF 环上也是内射的，故有通过(,)Hom P −函子作用后得到序列：0110(,)(,)(,)(,)Hom E P Hom E P Hom P P Hom P P →→→→→L L 也是正合的，即：210012P P P E E E →→→→→→→L L 是模M 的完全投射分解，从而由
定义即可得出M 是Gorenstein 投射的.
反过来，设E 是内射左R −模，因为它也是Gorenstein 投射的，则存在一个单同态：0E P →→，其中P 是投射的左R −模，而且(,)(,)0Hom P P Hom P E →→也是正合的，而E 是P 的直和项，故E 是投射的，则E 既是内射的，又是投射的，所以R 是QF 环.
引理2.2.12 设R 是1Gorenstein −环，则对于任意左R −模M ，存在一个正合列：00K E M →→→→，其中K 是投射的，E 是Gorenstein 投射的. 证明：R 是1Gorenstein −环，由推论2.2.8，则存在一个正合列：
000C P M →→→→，其中C 是Gorenstein 投射的，0P 是投射的，当然也是
Gorenstein 投射的，又因为C 是Gorenstein 投射的，由推论2.2.8，则存在一个正合列：00i
C K C ′→→→→，其中K 是投射的，而Im C i ′=，故有C ′是Gorenstein 投射的，则考虑如下推出图：
00 0
00
0 = 00
C P M K E M C C ↓↓→→→→↓↓
→→→→↓↓
′′
↓↓
‖
分析上图，中间列000P E C ′→→→→，其中0P 和C ′都是Gorenstein 投射的，由引理2.2.10，可得E 是Gorenstein 投射的，而中间一行的正合列
00K E M →→→→ 就是我们所要求的.
定理2.2.13 设R 是Gorenstein n −环，1n ≥，对任意左R −模M ，存在一个短正合列：00K E M →→→→，其中()1pd K n ≤−，而E 是Gorenstein 投射的。

证明：若1n =，则由上引理可证.假设2n ≥，若存在正合列：
00M P M ′→→→→，其中P 是Gorenstein 投射的，且()1pd M n ′≤−,由归纳假设，我们有一个正合列：00K E M ′′′→→→→，其中E ′是Gorenstein 投射
的，且()2pd K n ′≤−；因为E ′是Gorenstein 投射的，所以由推论2.2.8，存在一个正合列：000E P E ′′′→→→→，其中0P 是投射的，E ′′是Gorenstein 投射的，将上面的一些正合列整合一下，就有左右两个推出图：
0 00 0 0 = 00K E M K P K E E ↓↓′′′→→→→↓↓
′→→→→↓↓
′′′′↓↓0 0 ‖
0 0
00
0 0 = 0 0
M P M K E M E E ↓↓
′→→→→↓↓→→→→↓↓′′′′↓↓ ‖
从左边的推出图的中间行00 0K P K ′→→→→ 看出，由()2pd K n ′≤−，可得：
()1pd K n ≤−;
从右边的推出图的中间列00P E E ′′→→→→，因为P 和E ′′都是Gorenstein 投射的，由引理2.2.10，我们可得到E 是Gorenstein 投射的，且中间行的正合列
00K E M →→→→ 就是我们所要求的.
定理2.2.14 设R 是Gorenstein n −环，对任意左R −模M ，以下结论等价： (1) 存在一个短正合列：00K E M →→→→，其中()1pd K n ≤−，E 是
Gorenstein 投射的.
(2) 存在一个短正合列：00M K E ′′→→→→,其中()pd K n ′≤，E ′是
Gorenstein 投射的.
证明：(1)⇒(2), M 是任意左(右) R −模，由(1)，存在正合列
00K E M →→→→， E 是Gorenstein 投射的，由推论2.2.8，则存在一个正
合列：000E V E ′→→→→，其中0V 是投射的，E ′是Gorenstein 投射的，则考虑如下推出图：
从下面推出图中我们可以看到：在中间行00 0K V K ′→→→→ 中，由
()1pd K n ≤−，可得：()pd K n ′≤.而且第三列的正合列00M K E ′′→→→→就
是我们所要求的.
0 00 0 0 = 00
K E M K V K E E ↓↓→→→→↓↓′→→→→↓↓′′↓↓0 0 ‖ (2)⇒(1) 已知M 是任意左(右) R −模，由(2),存在一个正合列
00M K E ′′→→→→，其中()pd K n ′≤，所以存在一个正合列：
000K U K ′→→→→，其中0U 是投射的，而且()1pd K n ≤−，那么考虑下面的推出图：
0 =
00 00 0 0
K K E U E M K E ↓↓↓↓′→→→→↓↓′′→→→→↓↓0 0
　‖
在中间的行正合列000E U E ′→→→→ 中，因为0U 和E ′都是Gorenstein 投射的，由引理2.2.10可得：E 也是Gorenstein 投射的.而第一竖列的正合列
00K E M →→→→就是我们所要求的.
第三章 有关广义Gorenstein 维数的结论
1969年，Auslander 和Bridger 在Gorenstein 零维数的基础上引进了通常的Gorenstein 维数，
黄兆泳教授在[11]中又引进了相对于凝聚环上的Wakamatsu 倾斜模的广义Gorenstein 维数，从而把通常的Gorenstein 维数推广到Wakamatsu 倾斜模的情形，并且用广义Gorenstein 维数对满足以下两个条件的Wakamatsu 倾斜模R S ω进行了刻画，（1）R ，S 都是凝聚环；（2）.()R l FP id ω−和.()S r FP id ω−均有限. 基于以上背景讨论，本人进一步对广义Gorenstein 维数和FP −内射维数进行研究，并得到了一些很好的结果.
§3.1 预备知识
在本节中，我们假设所有的环都是有单位元的结合环，所有的模均指酉模。

定义3.1.1 设R 是一个环，M 是一个左（右）R −模，若对于一个有限生成的投射左（右）R −模P 和P 的一个有限生成子模N ，有P M N
≅，则M 叫做有
限表现的或是有限表出的.
定义3.1.2 一个环R 叫做左（右）凝聚环，若对于任意有限表现的左（右）R −模的有限生成子模仍是有限表现的.
我们用mod R 表示有限表现的左R −模范畴；
任何mod R ω∈，我们用R add ω表示在mod R 中所有同构与ω的有限直和的直和项所组成的全子范畴.
定义3.1.3我们把(),R R R S Hom A ω叫做模A 的对偶模，并且表示为A ∗，对于任意的一个同态f ，也有(),R R S f Hom f ω∗=.
设:A A A σ∗∗→ 且 ()()()A x f f x σ=，x A ∈，f A ∗∈，则有： 若A σ是一个单态射，那么A 叫做ω-无挠模； 若A σ是一个同构，那么A 叫做ω-自反模.。