高三数学解析几何试题

高三数学解析几何试题
1.（1）．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线
的距离的最小值是 .
（2）．（选修4—5不等式选讲）已知则的最小值 .
（3）．(选修4—1几何证明选讲）如图，内接于，，直线切于点C，交于点.若则的长为；
【答案】(1)；(2)9；(3)
【解析】略
2.在极坐标系中，圆C：关于直线l：对称的充要条件
是（）
A．k＝1B．k＝－1C．k＝±1D．k＝0
【答案】A
【解析】圆C的直角坐标方程是，直线l的直角坐标方程是y＝x.
若圆C关于直线l对称，则圆心在直线y＝x上，所以，
即k＝±1.又k4＋4k＋1＞0，所以k＝1，故选A.
3.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是
____．
【答案】，．
【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程
为
．
【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．
4.（本小题满分10分）
自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，
．
（1）求的大小；
（2）分别求线段和的长度．
【答案】（1）; （2）,．
【解析】（1）由可知，所以即
，又可求得从而可求得；
（2）由正弦定理及切割线定理可求圆的半径，从而可求和．
试题解析：（1）设圆的半径为， ,∴；
．（*）
，∴．
代入（*）式得,解得．
（2）在中：∵，，∴，
根据切割线定理有，即：
（+）=，解得．
．
又由（1）可知，故为等边三角形。

．
【考点】1．圆的性质及应用;2．正弦定理．
5.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且
．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】第一问根据弦切角等于圆周角，得,从而得出，利用内错角相等，两直线平行，结果得证，第二问利用相似三角形，求得结果．
试题解析：（1）证明：，，，
（2）解：在和中，，，，，，
由，得
【考点】圆的性质，相似三角形．
6.在直角坐标系中，已知圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线，射线．射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）线段的长为2．
【解析】（Ⅰ）由极坐标与直角坐标转化公式直接代入圆的普通方程即可得出所求的
结果；（Ⅱ）设为点的极坐标，然后联立方程组，即可解得点的极坐标；同
理可求出点的极坐标，最后由公式即可得出所求的结果．
试题解析：（Ⅰ）圆的普通方程为：．，∴圆的极坐标方程为：．
（Ⅱ）设为点的极坐标，则解得，设为点的极坐标，
则，解得，，∴线段的长为2．
【考点】1、圆的极坐标方程；2、圆的参数方程；3、直线与圆的位置关系．
7.【选修4-2：极坐标与参数方程】已知直线n的极坐标是，圆A的参数方程
是（θ是参数）
（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；
（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用,即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数
即可将圆的参数方程化为普通方程；（2）运用普通方程，并利用圆心到直线的距离减去半径即
得最小值．
试题解析：（1）由，展开为，化为；
（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为，圆心，半径．∴圆心到直线n的距离．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值为：
．
【考点】（1）极坐标、参数方程化普通方程；（2）圆上点到直线距离的最值问题．
8.【选修4-1：几何证明选讲】
如图，AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作
AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】第一问利用半径相等以及切线涉及到的垂直关系，得到直线平行，应用平行线的性质，
最后利用相等的传递性，得到两角相等，从而确定出其为角的平分线，第二问利用圆的有关性质，等弧所对的弦是相等的，再利用四点共圆的条件，得出角相等，从而应用角的三角函数值相等，
求得结果．
试题解析：（Ⅰ）证明：如图，连接OC，因为OA=OC，
所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，
所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
如图，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，
所以cos∠B=cos∠CED，
所以，
所以BC=2．
【考点】圆的有关性质．
9.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】，到准线的距离为，到准线的距离为，则线段的中点到抛物线的准线的距离为，故选B.
【考点】抛物线的定义.
10.如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）根据切线角定理知，又是公共角，所以，由相似得，故；（2）由切割线定理得：，所以，由角平分线定理，所以，再由相交弦定理得：．
试题解析：（1）∵是圆的切线，∴，又是公共角，
∴．
∴，∴．
由切割线定理得：，∴．
又，∴．
又∵是的平分线，∴．
∴，∴．
又由相交弦定理得：．
【考点】1、切线角定理；2、切割线定理；3、角平分线定理；4、相交弦定理．
11.已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．
【答案】（1），；（2）或.
【解析】（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公
式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标
方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.
试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．
直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．
（2）把（为参数）代入方程：化为：，由
，解得，∴．
∵，∴，
解得或．又满足．∴实数或．
【考点】圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.
12.已知、分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）由椭圆方程可得焦点坐标,设,根据数量积公式可得间的关系式,与椭圆方程联立可得的值,从而可得点坐标. （2）由题意可知直线斜率存在,设的方程为,与椭圆方程联立消去可得关于的一元二次方程.由题意可得其判别式大于0,可得两根
之和两根之积. 根据为锐角可知,根据数量积公式可得关于的不等式,从而可得
的范围.
试题解析：（1）因为椭圆方程为，知，
∴，设，
则，
又，联立，解得，∴．
（2）显然不满足题意，可设的方程为，设，
联立，∴，
且，∴，
又为锐角，∴，∴，∴，
∴，
∴，又∵，∴，∴
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系问题.
13.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为___________.
【答案】
【解析】因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.
【考点】1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.
14.已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为．
【答案】
【解析】因为直线和直线互相垂直且交于点，而恰好是圆的圆心，所以，四边形是边长为的正方形，因此其内切圆半径是，面积是，故答案为.
【考点】1、圆的性质及数形结合思想；2、两直线垂直斜率之间的关系.
【思路点睛】本题主要考查圆的性质及数形结合思想、两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 数形结合是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，
大大提高了解题能力与速度.解答本题有两个关键点:一是首先要从两直线方程的表面特征，挖掘
出两直线垂直这种位置关系；二是结合圆的几何性质判断出四边形是边长为的正方形，其内切圆半径为.
15.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求C的普通方程和直线的倾斜角；
（Ⅱ）设点(0，2)，和交于两点，求.
【答案】（Ⅰ）,．（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由参数方程消去参数即得；由极坐标方程化为直角坐标方程，根据斜率即得倾
斜角
（Ⅱ）根据在直线上，可设直线的参数方程代入椭圆方程化简，根据一元二次方程根与
系数的关系，利用参数的几何意义求解.
试题解析：解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，
由，得，（＊）
将代入（＊），化简得，
所以直线的倾斜角为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数），
代入并化简，得．
．设两点对应的参数分别为，
则，所以
所以．
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）直线的普通方程为.
由消去得，
于是.
设，则，所以.
故.
【考点】1、参数方程；2、极坐标方程．
16.选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，已知曲线C的极坐标方程为.
（1）将曲线C的极坐标方程化为参数方程；
（2）已知曲线C上两点，求△AOB的面积的最小值及此时的值.【答案】（1）；（2）或时，有最小值为.
【解析】（1）求得曲线的直角坐标方程为，从而求得它的参数方程；（2）由于，可得．求得的范围，可得的范围，可得面积的最小值及此时的值．
试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为.
所以参数方程为.
（2）
，
当且仅当，即，或时，有最小值为.
【考点】简单曲线的极坐标方程.
17.已知点是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】过点作出准线的垂线，垂足为，由图象和抛物线的定义，可知
，由平面几何知识，得到点、、共线时，最小，即最小值为；故选B．
【考点】1.抛物线的定义；2.点到圆上点的距离的最值．
【技巧点睛】本题考查利用抛物线的定义处理最值问题、点与圆的位置关系，属于中档题；处理本题的技巧有两个：一是处理与圆有关的距离的最值问题，往往先求到圆心的距离，再增加或减少半径；二是处理与抛物线有关的距离问题，往往利用抛物线的定义，将抛物线到焦点的距离和到准线的距离进行转化.
18.已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三
角形的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过的左焦点的直线交于两点，是否存在常数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）存在使之成立.
【解析】(Ⅰ)依据题设建立关于的方程求解；(Ⅱ)借助题设条件建立直线与椭圆的方程,运用向量的计算公式进行推证.
试题解析:
（Ⅰ）∵，∴，
又∵，则，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．设．
当直线的斜率不存在时，，不妨取，，
；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，代入整理得
，
，
∴，
，
，
，
．
综上所述，存在实数，使恒成立．
【考点】直线的方程及椭圆的标准方程及向量的数量积公式的运用．
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线中的典型代表曲线椭圆的标准方程及相关几何性质.求圆锥曲线的标准方程的常规方法是想方设法建立关于基本量的方程或方程组,通过解方程组解出,依据图形的位置写出其标准方程即可;直线与圆锥曲线的位置关系依靠联立直线与圆锥曲线的方程来实现的,通过对方程的研究,到达解决问题的目的.本题设置了过焦点的直线与椭圆的交点与焦点之间的一个数量关系进行分析和探究,有效地检测了学生运算求解能力和运用向量等知识去分析问题解决问题的能力.
19.如图,四边形是圆的内接四边形,是圆的直径，，的延长线与的延长线交于点,过作，垂足为点.
(Ⅰ)证明: 是圆的切线；
(Ⅱ)若，，求的长.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)只要证得即可，需证，需证，由题中的条件可得；(Ⅱ)由题中条件可得，由切割线定理可得，进而可求得，由勾股定理可得的长为．
试题解析：(Ⅰ)证明: 连接，，
∵，∴.
∵是圆的直径，∴.
∴. ∴.
∴∥.
∵，∴.
∴是圆的切线.
(Ⅱ)解:∵是圆的直径，∴,即.
∵，∴点为的中点.
∴.
由割线定理:,且.得.
在△中，，，则为的中点.∴.
在Rt△中，. ∴的长为.
【考点】切割线定理．
20.已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲
线的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
【考点】双曲线方程.
21.双曲线的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意圆心到直线的距离等于半径，则，整理得，解得，所以双曲线的离心率为，故选B.
【考点】1、双曲线的几何性质；2、点到直线距离.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为：
.
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点在圆上，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）即可得；（Ⅱ）由圆的参数方程可得，进而利用三角值域可得范围.
试题解析：由有
即
∵代入上式有圆的普通方程为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，（为参数）
∴
∴的取值范围为.
(其它方法酌情给分).
【考点】极坐标与参数方程.
23.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据两角差的正弦公式把曲线的极坐标方程展开，两边同乘以，根据
代换即得圆的直角坐标方程；（2）由（1）可得曲线的参数方程为（为参数），代入得到关于的函数关系，由参数的范围可求得其范围.
试题解析：（1）圆的极坐标方程为，即有，
则，即有
即为圆：．
（2）设，
由圆的方程可得，
所以圆的圆心是，半径是2，
将（为参数），代入，得，
又直线过，圆的半径是2，
由题意有：，所以．
即的取值范围是．
【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及圆参数方程的应用.
24.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴
正半轴为极轴的极坐标系中，的极坐标方程.
（Ⅰ）说明是哪种曲线，并将的方程化为普通方程；
（Ⅱ）与有两个公共点，顶点的极坐标，求线段的长及定点到两点的距离之积.
【答案】（Ⅰ）是圆，（Ⅱ），.
【解析】（Ⅰ）利用将极坐标方程化为直角坐标方程：
（Ⅱ）利用直线参数方程几何意义得，
，将直线参数方程代入圆方程，利用韦达定理求解可得结果
试题解析：（Ⅰ）是圆，的极坐标方程，
化为普通方程：即：.
（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线上，
将的参数方程为（为参数）代入中得：
化简得：
.设两根分别为，
由韦达定理知：
所以的长，
定点到两点的距离之积.
【考点】直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程
25.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。

现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点是它的两
个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最长路程是（）
A．20B．18C．16D．14
【答案】C
【解析】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
【考点】椭圆的应用
26.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点，若点满足
，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为
__________．
【答案】3
【解析】由得点为中点，由得.令，代入得，所以
27.已知抛物线：的准线被圆：截得的弦长为4，则抛物线的方程为__________．
【答案】
【解析】将圆的方程化为标准方程为，则圆心，半径.
因为抛物线的准线方程为,所以圆心到准线的距离.
由圆的半径，弦长为4，得，解得.
于是抛物线的方程.
28.已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐进线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为（）
A．4B．5C．D．与点的位置有关
【答案】C
【解析】因双曲线的两条渐近线分别为，结合图形可知：点到这两条直
线的距离分别是，，则
，又因为，所以，应选答案C。

29.已知椭圆：的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使
得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试卷分析：（Ⅰ）根据离心率为，短轴右端点为A的坐标即可求出a,b的值，进而
求出椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线与轴不垂直时，当轴时，由椭圆的对称
性可知恒有直线与直线关于轴对称，即在轴上存在定点，使得直线与直线
关于轴对称.
试卷解析：
（Ⅰ）由题意得，
，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）假设存在点满足题设条件.
当直线与轴不垂直时，设的方程为，
代入椭圆方程化简得：，
设，，则，，
所以
，
因为，
所以当时，，直线与直线关于轴对称，
当轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线与直线关于轴对称，
综上可得，在轴上存在定点，使得直线与直线关于轴对称.
点睛：本题考查椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理的运用，考查了分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题，超强的运算能力是解决问题的关键.
30.若抛物线上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到轴的最短距离为
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】解析：设抛物线的焦点为的中点为，准线方程为，则点到准线的距离，即点到准线的距离的最小值为，所以点到轴的最短距离，应选答案D。

31.如图，过椭圆：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.
（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】试题分析: (1)设 ,分别将坐标代入椭圆中,得出两等式,相减得出
,写出的表达式,化简得出结果; (2)设直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求出 ,算出的表达式,而 ,代入,用基本不等式求
出最大值,再得出四边形面积的最大值.
试题解析: （1）设,,根据对称性，有，因为,都在椭圆上，所以，，二式相减得，，所以
为定值.
（2）当的倾斜角为时，与重合，舍去.
当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，，设直线的方程为，代入，得.显然，，. 所以
设，所以，.所以.
当且仅当即时等号成立，所以.
所以平行四边形面积的最大值为.
点睛: 本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.解题技巧: 在(1)中,采用设而不求;在(2)中, 设直线的方程比好,因为联立
直线与椭圆方程计算量减少,还有,由韦达定理可求出.在求三角形
面积最大值时,将看成一个整体,利用基本不等式求出最大值.
32.设P为双曲线C：，上且在第一象限内的点，F
1，F
2
分别是双曲的左、
右焦点，PF
2⊥F
1
F
2
，x轴上有一点A且AP⊥PF
1
，E是AP的中点，线段EF
1
与PF
2
交于点
M．若，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设条件知，，，．
在Rt△PF
1
A中，由射影定理得，所以．
所以，.．
所以EF
1
的直线方程是，当x = c时．
即，，又，所以，即，同除以a4得，得或．
所以．
点晴：本题考查的是双曲线离心率的求法.解决这类问题的主旨是构建基本量a,b,c的等量关系，
本题中关键是在Rt△PF
1
A中，由射影定理得，所以，可求得
，令x = c，．结合化简可得.
33.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，，且（其中为坐标原点）的中点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于，两点，已知点，求证：是定值.
【答案】（1）（2）夹江县
【解析】
(1)利用中点坐标公式求得的值，利用向量关系求得，最后利用求得的值即可得出椭圆方程为.
(2) 设，，联立直线与圆的方程，得到，，整理计算
求得，即可证得是定值.
试题解析：
（Ⅰ）∵的中点坐标为，∴，则，
∵，
∴，解得，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：设，，
将代入，得，
则，，，
∴
，
∴为定值.
34.已知圆：，过的直线与圆相切，则直线的方程为__________．【答案】或
【解析】当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径2，∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径2，
故直线也适合题意，所以，所求的直线的方程是或，故答案为或.
35.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，
点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点．如果的斜率与的
斜率的乘积为，则的大小等于．
【答案】
【解析】试题分析:设，由题设可得，即，也即
，故。

又因，故
，由题设可得，故
.故应填答案.
【考点】抛物线的几何性质及直线的方程等知识的综合运用．
【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历
届高考必考的考点之一.本题以直线的斜率与的斜率的乘积为为背景，考查是抛物线的几
何性质和直线的斜率与倾斜角之间关系及分析问题解决问题的综合能力.解答时先推证，
再推证，进而推得，从而使得问题获解.
36.已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点
（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（I）;（Ⅱ）存在点.
【解析】（I）设点坐标为直接找出关于的方程,这就是曲线的轨迹方程.（Ⅱ）可知直线与倾斜角互补,则,设带入式,得到的方程,
求出的值.
试题解析：
（I）法1：设,则依题意有
整理得,即为曲线的方程.
法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，
易得曲线的方程为.
（Ⅱ）存在.
设直线,
则，即
由得,即
整理得
∴解得
综上知, 在轴上是存在点满足题意.
点睛：（1）求曲线轨迹方程的方法有直接法，定义法，相关点法.
（2）直线与曲线相交时通常都需要联立方程组找出两交点之间的关系.
（3）若两直线的倾斜角互补，则它们的斜率互为相反数.
37.已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于，两点.
①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；
②若（为原点），求面积的取值范围.
【答案】（1）（2）①②
【解析】（1）根据左焦点坐标得，根据左准线方程得，解方程组得，（2）①以算代证：即利用，坐标表示，根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简得定值，②的面积，因此根据直线的方程与椭圆方程
联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求（用斜率表示），同理可得，代入面积公式化
简可得.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.
试题解析：解：（1）由题设知，，，
，，
：.
（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.
设，，直线代入椭圆得，整理得，
，，.
由，知，，
（定值）.
②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，
当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，
设，，将代入椭圆得到，
，，同理，，
的面积.
令，，
令，则.
综上所述，.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将
该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题
类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
38.已知直线的斜率为2，、是直线与双曲线C：，的两个交点，设
、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设
则,
点（2，1）是AB的中点,
,,
直线的斜率为2,,
得,
,
.
39.设分别是所对边的边长，则直线与
的位置关系是
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】由题意，，由正弦定理得，故两直
线垂直
【考点】两直线位置关系
40.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为 ( )
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】依题知，渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝2a2，∴e＝.选C
41.已知椭圆，右焦点为，，且，椭圆的离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，当直线与椭圆有唯一公共点时，作于（为坐标原点），若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知，可得，求得，再由椭圆离心率求得，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）设为，由，利用勾股定理得。