向量运算求两点间距离和空间图形中的角度

教师姓名
学生姓名 教材版本 人教版 学科名称
数学 年 级 高一上 上课时间 2012. 课题名称
向量解立体几何 教学目标
掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法。

教学重点 向量运算解几何题的方法。

教 学 过 程 备 注
一、课前准备 复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b == ，且2m a b =+ ，求m .
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
二、新课导学
探究一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a = 求出线段长度.
试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.
三、典型例题
例1 、如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线
BD的长与棱长有什么关系？
1
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
探究二：用向量求空间图形中的角度
例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,
AC BD分别为,a b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.
※ 动手试试
练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠= ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.
练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.
※ 学习小结
1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a = ；
2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式cos ,a b a b a b
⋅=⋅ 求解. ※ 知识拓展
解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
四、当堂检测：
1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .
2. 已知1cos ,2
a b =- ，则,a b 的夹角为 . 3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）
A.32
B.1010
C.35
D.25 4. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）
A.32a
B.32a
C.34a
D.34a 5.正方体''''ABCD A B C D -中棱长为a ，'13
AM AC = ,N 是'BB 的中点，则MN 为（ ） A.216a B.66
a C.156a D.153a
6.如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 分别是''',BB B C 的中点，求： ⑴ ',MN CD 所成角的大小；
⑵ ,MN AD 所成角的大小；
⑶ AN 的长度.
课后
小结 上课情况：
课后需再巩固的内容：
配合需求
家 长
学管师
学科组长审批
教研主任审批。