2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018~2019学年度第二学期高二理科数
学期中联考试卷
考试时间120分钟 命题人
一．单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.在下列命题中，不是公理的是 ( )
A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个
平面 C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
2．一条直线和两异面直线b ，c 都相交，则它们可以确定 （ ）
A ．一个平面 B. 两个平面 C. 三个平面 D.四个平面 3下列命题中，错误的是( )
A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
4．下列命题正确的是 ( )
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5、一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
，则的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AD 的中点，O 为侧面AA 1B 1B 的中心P 为棱CC 1上任意一点，则异面直线OP 与BM 所成的角等于 （ ） A ．90° B.60° C.45° D.30°
7.在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，PA ⊥平面ABCD ，且PA =1，则P 到对角线BD 的距离为
（ ）
A ．
2921 B.513 C.2
3
D.423
8．一条线段长为52，其侧视图长为5，俯视图长为34，则其正视图长为( )
A ．5 .34 C ．6 D.41
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
10.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为
( )
A.5π:6
B.6π:2 C ．π:2
D ．5π:12
11．在直线坐标系中，设(3,2),(2,3)A B --，沿y 轴把直角坐标平面折成0
120的二面角后，AB 的长为 （ ）
B. 12．已知球O 1和球O 2的半径分别为1和2，且球心距为5，若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为( )
A.π2
B.4π
5 C ．π D ．2π 二．填空题（每题5分共20分） 13.如图
是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________． 14.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0
45， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________
15．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ．
16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |
的最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的线面角正切值为．
三.解答题(第17题10分，其它个题每题12分共70分）
17.（本题10分）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：①D，B，F，E四点共面；②若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；
18.（本题12分）如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC 1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；
19．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．
(1)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；(2)当BC1⊥B1P时，求二面角C－B1P－C1的余弦值．
且∥，是中点，平面，，是
中点．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.
21.（本小题12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图
2.
(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；
(3)求四面体NEFD体积的最大值．
21、（本小题12分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)
F
E
D
B
A
C
2018-2019学年高二数学下学期期中联考试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,满分60分，
8.1111111AC 1的俯视图为AC ＝34，AC 1的正视图为AD 1，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，则a 2＋c 2＝25，a 2
＋b 2
＝34，又a 2
＋b 2
＋c 2
＝50，则b 2
＝25，c 2
＝16，AD 1＝b 2
＋c 2
＝41. 12解析：选B 作出两球面相交的一个截面图，如图所示，AB 为相交圆的直径，由条件知O 1A ＝1，O 2A ＝2，O 1O 2＝5，所以△AO 1O 2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC ＝
O 1A ·O 2A O 1O 2＝2
5
， 所以所求圆的面积为π·
⎝
⎛⎭
⎪⎫252＝4π
5，故选B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13. 平行四边形 14.1
(11)222
S =
⨯=+、1800 16、1/3 13.解析：∵平面ABFE ∥平面DCGH ，又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面DCGH ＝
HG ，∴EF ∥HG .同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．答案：14 恢复后的原图形
为一直角梯形1
(11)222
S =
+⨯=+解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．
设P (x,2,2)(0≤x ≤2)．则|OP |＝
－x
2
＋
－
2
＋
－
2
＝
x －
2
＋5.
所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.再求线面角。

三. 解答题（本大题共6小题，满分75分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （10分）17①如图所示．
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD．所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
②在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．18.（12分）思路分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；解法二：通过线面垂直来证明线线垂直；
方法三（向量法）
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE⊂平面C D B1，AC1⊄平面C D B1，∴AC1//平面C D B1；
19.（12分）解析(1）不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AP＝a，则A，
C ，B 1，P 的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a )．AC →＝(0,2,0)，B 1P →
＝(－3，－1，a －2)，AC →·B 1P →
＝－2≠0，∴B 1P 不垂直AC .∴直线B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直．
(2)BC 1→＝(－3，1,2)，由BC 1⊥B 1P ，得BC 1→·B 1P →
＝0. 即2＋2(a －2)＝0，∴a ＝1.又BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面CB 1P . ∴BC 1→
＝(－3，1,2)是平面CB 1P 的法向量．
设平面C 1B 1
P 的法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎨
⎧
B 1
P →·n ＝0，
B 1
C 1
→·n ＝0，
则n ＝(1，3，－23)．设
二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝
|BC 1→
·n ||BC 1→|·|n |
＝6
4.∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的
大小为
64
.
20.（12分） (1) 证明：由题意， ∥，
=
∴四边形为平行四
边形，所以. 又∵， ∴
∥
又平面，
平面
∴
∥平面 ………4分
同理，∥平面，又 ∴平面∥平面. …………6分
（2）设求点
到平面
的距离为.因为V 三棱锥A-PCD = V 三棱锥P-ACD
即 .
或用空间向量求得分 12分
21.（12分）[解析] (1)证明：四边形MNEF 和四边形EFDC 都是矩形，
∴MN ∥EF ，EF ∥CD ，MN ＝EF ＝CD ，∴MN 綊CD ． ∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ．
∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ．4分
(2)证明：连接ED ，
∵平面MNEF ⊥平面ECDF ，且NF ⊥EF ，平面MNEF ∩平面ECDF ＝EF ，NE ⊥平面MNFF ，∴NE ⊥平面ECDF ．∵FC ⊂平面ECDF ，∴FC ⊥NE ．∵EC ＝CD ，∴四边形ECDF 为正方形，∴FC ⊥ED ．又∵ED ∩NE ＝E ，ED ，NE ⊂平面NED ，∴FC ⊥平面NED ．
∵ND ⊂平面NED ，∴ND ⊥FC ． 8分
(3)设NE ＝x .则FD ＝EC －4－x ，其中0<x <4，由(2)得NE ⊥平面FEC ，
∴四面体NEFD 的体积为V NEFD ＝13S △EFD ·NE ＝12x (4－x )．∴V NEFD ≤12[x ＋－x 2]2
＝2，
当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，四面体NEFD 的体积最大，最大值为2．12分 22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB∩BC=B， ∴CD ⊥平面ABC. 3分 又),10(<<==λλAD
AF AC AE
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD 11分
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ
故当7
6
=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 12分。