2016年河南省南阳、周口、驻马店等六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年河南省南阳、周口、驻马店等六市高考数学一模试卷（文
科）
一、选择题：（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝（1，2，5}，∁U B＝（1，3，5}，则A∩B＝（）
A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}
2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a+i的模等于（）
A．B．C．D．
3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）
A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0D．|a|+|b|＞|a+b| 4．（5分）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
5．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11＝（）
A．4B．3C．2D．1
6．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，
则实数m等于（）
A．7B．5C．4D．3
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A．B．C．2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是（）
A．k＞4B．k＞5C．k＞6D．k＞7
9．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（4）＝f（﹣2）＝0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，﹣2）∪（2，4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）
10．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|
＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
11．（5分）三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝BC ＝，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝
2，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A ．
π
B ．
π
C ．
π D ．π
12．（5分）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y ＝
（x ＞0）的图
象上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）
13．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 ．
14．（5分）已知cos （α﹣
）+sin α＝
，则sin （α+
）的值为 ． 15．（5分）已知点A （0，2），抛物线
的焦点为F ，射线F A
与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |：|MN |＝1：5，则a 的值等于 ．
16．（5分）数列{a n}的通项a n＝n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．
三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共
10分.）
17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣3sin2x﹣cos2x+2．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝，＝2+2cos（A+C），求f（B）的值．
18．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面P AD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面P AM的距离．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：
＝1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝
（1）求f（x）在[1，a]（a＞1）上的最小值；
（2）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）＞0只有两个整数解，求实数m的取值范围．
[选做题]
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝AC，求AC：BC．
[选做题】
23．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
[选做题】
24．设函数f（x）＝|2x﹣a|+2a．
（1）若不等式f（x）≤6解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）≤kx﹣5的解集非空，求实数k取值范围？
2016年河南省南阳、周口、驻马店等六市高考数学一模
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝（1，2，5}，∁U B＝（1，3，5}，则A∩B＝（）
A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U B＝{1，3，5}，所以B＝{2，4}，
所以A∩B＝{2}，
故选：A．
2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a+i的模等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．
则复数z＝2a+i＝1+i．
∴|z|＝＝，
故选：C．
3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）
A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0D．|a|+|b|＞|a+b|【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，
∴a2＜b2，故A正确；
再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；
由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；
再由a和b为负数可得|a|+|b|＝|a+b|，D错误．
故选：D．
4．（5分）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，
∴（）•＝﹣2 ＝0，
（）•＝﹣2 ＝0，∴＝＝2 ，设与的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得cosθ＝＝＝＝，
∴θ＝60°，
故选：B．
5．（5分）各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11＝（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，
∴a4•a14＝（2）2＝8，
∵a4•a14＝（a9）2，
∴a9＝2，
∴log2a7+log2a11＝log2a7a11＝log2（a9）2＝3，
故选：B．
6．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，
则实数m等于（）
A．7B．5C．4D．3
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数z＝x﹣y的最小值是﹣1，
得y＝x﹣z，即当z＝﹣1时，函数为y＝x+1，此时对应的平面区域在直线y＝x+1的下方，
由，解得，即A（2，3），
同时A也在直线x+y＝m上，即m＝2+3＝5，
故选：B．
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：此几何体是底面积是S＝＝1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V＝＝．
故选：B．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条
件是（）
A．k＞4B．k＞5C．k＞6D．k＞7
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 2 是
第二圈3 7 是
第三圈4 18 是
第四圈5 41 是
第五圈6 88 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故选：B．
9．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（4）＝f（﹣2）＝0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，﹣2）∪（2，4）
C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）
【解答】解：∵偶函数f（x）（x∈R）满足f（4）＝f（﹣2）＝0，
∴f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣4）＝f（2）＝0，
且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递增和递减，
求x•f（x）＞0即等价于求函数在第一、三象限图形x的取值范围．
即x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）函数图象位于第三象限，
x∈（2，4）函数图象位于第一象限．
综上说述：x•f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4），
故选：D．
10．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，
∵|AB|2+＝，
∴∠ABF2＝90°，
又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF2|﹣|AF1|＝2a，
∴|AF1|+3﹣4＝5﹣|AF1|，
∴|AF1|＝3．
∴|BF1|﹣|BF2|＝3+3﹣4＝2a，
∴a＝1．
在Rt△BF1F2中，＝+＝62+42＝52，又＝4c2，∴4c2＝52，
∴c＝．
∴双曲线的离心率e＝＝．
故选：A．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为（）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：∵AB＝BC＝，AC＝6，
∴cos C＝，∴sin C＝，
∴△ABC的外接圆的半径＝＝，
设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，则R2＝d2+（）2＝（2﹣d）2+（）2，
∴该三棱锥的外接球半径为R2＝，表面积为：4πR2＝4π×＝π，
故选：D．
12．（5分）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）
A．πB．C．D．
【解答】解：∵y＝＝≤1当且仅当x＝1时取等号，
∴x+＝
∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，
设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），
则圆柱的底面圆的半径为y，高位h＝x2﹣x1，
∵f（x1）＝，f（x2）＝，
∴＝，
即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，
∴x2•x1＝1，
∴h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，
∴h＝2•，
＝πy2•h＝2π＝2•≤2π•（y2+1﹣y2）＝π，当且仅当y＝时∴V
圆柱
取等号，
故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，
故选：A．
二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）
13．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔
中的概率为．
【解答】解：正方形的面积S＝0.5×0.5＝0.25，
若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S＝π×12＝π，
则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P ＝＝，
故答案为：．
14．（5分）已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值为﹣．
【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα＝cosα+sinα＝，
∴cosα+sinα＝，
∴sin（α+）＝﹣sin（α+）＝﹣（sinα+cosα）
＝﹣．
故答案为：﹣
15．（5分）已知点A（0，2），抛物线的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：5，则a
的值等于．
【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），
设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，
∴|KM|：|MN|＝1：5，
则|KN|：|KM|＝2：1，
∵k FN＝＝﹣，k FN＝﹣2
∴＝2，求得a＝．
故答案为：．
16．（5分）数列{a n}的通项a n＝n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470．
【解答】解：∵a n＝n2（cos2﹣sin2）＝n2cos
∴+32cos2π+…+302cos20π
＝+…
＝[1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+（282+292﹣302×2）]
＝[（12﹣32）+（42﹣62）+…+（282﹣302）+（22﹣32）+（52﹣62）+…+（292﹣302）]
＝[﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]
＝[﹣2×]
＝470
故答案为：470
三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共
10分.）
17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣3sin2x﹣cos2x+2．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝，＝2+2cos（A+C），求f（B）的值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin x cos x﹣3sin2x﹣cos2x+2
＝sin2x﹣2sin2x+1
＝sin2x+cos2x
＝2sin（2x+）…4分
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴f（x）∈[﹣1，2]…6分
（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]＝2sin A+2sin A cos（A+C）
有，sin A cos（A+C）+cos A sin（A+C）＝2sin A+2sin A cos（A+C）
化简可得：sin C＝2sin A，…9分
∴由正弦定理可得：c＝2a，
∵b＝，
∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝
∴可解得：A＝30°，B＝60°，C＝90°…11分
所以可得：f（B）＝1…12分
18．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）＝40×0.075＝3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]＝2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）＝．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面P AD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面P AM的距离．
【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△P AD，△ACD 均为正三角形，
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
∴AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，∴PC ⊥AD ． （2）点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离， 由（1）可知PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高． 在Rt △POC 中，
，
，
在△P AC 中，P A ＝AC ＝2，，边PC 上的高AM ＝
，
∴△P AC 的面积
，
设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D ﹣PAC ＝V P ﹣ACD 得， 又，∴
， 解得
，∴点D 到平面P AM 的距离为
．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知R （x 0，y 0）是椭圆C ：＝1上的一点，从原点O 向圆R ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ．
（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1•k 2的值； （3）试问OP 2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由圆R的方程知圆R的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以，即①
又点R在椭圆C上，所以②
联立①②，解得，
所以，所求圆R的方程为；
（2）因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，
所以，，
两边平方可得k1，k2为（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）＝0的两根，可得，
因为点R（x0，y0）在椭圆C上，
所以，即，
所以；
（3）方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由（2）知2k1k2+1＝0，
所以，故．
因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，
所以，
即，
所以，
整理得，
所以
所以．
方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，
解得，
所以，
同理，得．
由（2）2k1k2+1＝0，得，
所以
＝，
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝36．综上：OP2+OQ2＝36．
21．（12分）已知函数f（x）＝
（1）求f（x）在[1，a]（a＞1）上的最小值；
（2）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）＞0只有两个整数解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝，f′（x）＝．
令f′（x）＞0，解得，得f（x）的递增区间为；
令f′（x）＜0，解得x＞，可得f（x）的递减区间为．
∵x∈[1，a]（a＞1），
当时，f（x）在[1，a]上为增函数，f（x）的最小值为f（1）＝ln2．
当a＞时，f（x）在上为增函数，在上为减函数，
又f（2）＝ln2＝f（1），
∴若，f（x）的最小值为f（1）＝ln2，
若a＞2，f（x）的最小值为f（a）＝．
综上，当1＜a≤2时，f（x）的最小值为ln2；当a＞2，f（x）的最小值为．
（2）由（1）知，f（x）的递增区间为，递减区间为，且在上ln（2x）＞lne＝1＞0，又x＞0，则f（x）＞0．又＝0．
∴m＞0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣m，
而f（x）＞0解集为，整数解有无数多个，不合题意．
m＝0时，由不等式式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）≠0，解集∪，整数解有无数多个，不合题意；
m＜0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＜0或f（x）＞﹣m，
∵f（x）＜0解集为无整数解，
若不等式f2（x）+mf（x）＞0有两个整数解，则f（3）≤﹣m＜f（1）＝f（2），∴﹣ln2＜m≤ln6．
综上，实数m的取值范围是．
[选做题]
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝AC，求AC：BC．
【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B＝∠EAC
因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠DCB
所以∠B+∠DCB＝∠EAC+∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，
又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE＝90°．
所以．
（2）因为∠B＝∠EAC，所以∠ACB＝∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，在△ABC中，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝30°，Rt△ABE中，
[选做题】
23．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ＝
得ρ2sin2θ＝2ρcosθ．
∴由曲线C的直角坐标方程是：y2＝2x．
由直线l的参数方程为（t为参数），得t＝3+y代入x＝1+t中消去t得：x ﹣y﹣4＝0，
所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4＝0…（5分）
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2＝2x，得t2﹣8t+7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|AB|＝＝＝，
因为原点到直线x﹣y﹣4＝0的距离d＝，
所以△AOB的面积是|AB|d＝＝12．…（10分）
[选做题】
24．设函数f（x）＝|2x﹣a|+2a．
（1）若不等式f（x）≤6解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）≤kx﹣5的解集非空，求实数k取值范围？
【解答】解：（1）因为f（x）≤6即为|2x﹣a|≤6﹣2a，
即2a﹣6≤2x﹣a≤6﹣2a
即a﹣3≤x≤3﹣．
因为其解集为{x|﹣6≤x≤4}，
所以a﹣3＝﹣6且3﹣＝4，
解得：a＝﹣2；
（2）由（1）知f（x）＝|2x+2|﹣4，
所以不等式f（x）≤kx﹣5，即为|2x+2|≤kx﹣1，
作出函数y＝|2x+2|，y＝kx﹣1的图象，
由图象可得k≤﹣1或k＞2．
则有k的取值范围为（﹣∞，﹣]∪（2，+∞）．。