广东高一高中数学月考试卷带答案解析

广东高一高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题
1.函数的大致图象为（）
2.已知函数，若，则实数的值等于（）
A．B．C．D．3.函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
4.已知函数，则函数的大致图象为（）
5.已知函数，则（）
A．B．C．1D．
6.下面各组函数中是同一函数的是（ ） A ．与 B ．与
C ．与
D ．
与
7.函数f （x ）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A ．a>0，b>0，c<0
B ．a<0，b>0，c>0
C ．a<0，b>0，c<0
D ．a<0，b<0，c<0
8.已知函数f （x ）＝ax 2＋2ax ＋4（0<a<3），x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则（ ） A ．f （x 1）＝f （x 2） B ．f （x 1）<f （x 2） C ．f （x 1）>f （x 2）
D ．f （x 1）与f （x 2）的大小不能确定
9.已知函数,且
,则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.函数的定义域为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，．如果瓶内的药液恰好156分钟
滴完．则函数的图像为（ ）
12.已知函数定义域是
，则
的定义域是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.已知函数定义域是，则的定义域是________．
2.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f （x）＝________．
3.已知函数,则的值
是．
4.给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
1.已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）若,求函数在区间上的最大值；
（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；
（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围．
2.设函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围．
3.已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的值．
4.销售甲、乙两种商品所得利润分别是（万元）和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式
，．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资（万元）．求：
（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；
（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润达到最大值，最大值是多少？
5.已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有，且f（1）=﹣2
（1）求f（0）及f（﹣1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明；
（3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．
广东高一高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.函数的大致图象为（）
【答案】A
【解析】由指数函数单调性可知此函数为减函数，当时，所以A正确
【考点】指数函数图像及性质
2.已知函数，若，则实数的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0
∴f（a）=-2∵2x＞0∴x+1=-2解得x=-3
【考点】分段函数的应用
3.函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、由一次函数y=ax-a的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0，即a＜0，与（a≠0）的图象a＞0相矛盾，故A选项错误；
B、由一次函数y=ax-a的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0，即a＜0，与（a≠0）的图象a＞0相矛盾，故B 选项错误；
C、由一次函数y=ax-a的图象与y轴的负半轴相交可知-a＜0，即a＞0，与（a≠0）的图象a＜0相矛盾，故C选项错误；
D、由一次函数y=ax-a的图象可知a＜0，与（a≠0）的图象a＜0一致，故D选项正确
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象
4.已知函数，则函数的大致图象为（）
【答案】A
【解析】函数定义域，当时，函数为增函数，当时函数为减函数
，当时，函数为减函数，综上可知A正确
【考点】函数性质及图像
5.已知函数，则（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
【考点】分段函数求值
6.下面各组函数中是同一函数的是（）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】A中两函数对应关系不同；B中两函数定义域不同；C中两函数定义域不同；D中两函数定义域，对应关系都相同，是同一函数
【考点】函数的概念
7.函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0
【答案】C
【解析】函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以-c＞0，得c＜0，
f（0）=＞0，∴b＞0，
由f（x）=0得ax+b=0，即x=-，
即函数的零点x=-＞0，
∴a＜0，
综上a＜0，b＞0，c＜0
【考点】函数的图象
8.已知函数f （x ）＝ax 2＋2ax ＋4（0<a<3），x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则（ ） A ．f （x 1）＝f （x 2） B ．f （x 1）<f （x 2） C ．f （x 1）>f （x 2）
D ．f （x 1）与f （x 2）的大小不能确定
【答案】B
【解析】：∵由函数表达式 f （x ）=ax 2+2ax+4=a （x+1）2+4-a ， 其对称轴为x=-1，又 =1-a ， 所以
（
）=
（1−a ），
∵0＜a ＜3， ∴-2＜1-a ＜1， ∴−1＜ （1−a ）＜
，
当
（
）=-1时，此时f （
）=f （
），
当图象向右移动时，所以f （）＜f （）
【考点】二次函数的性质
9.已知函数,且
,则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
或
【考点】函数求值 10.函数的定义域为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，需满足，解不等式组可得定义域为
【考点】函数定义域
11.如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，．如果瓶内的药液恰好156分钟
滴完．则函数的图像为（）
【答案】C
【解析】由题意知，每分钟滴下πcm3药液，
当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13-h），即h=13-，此时0≤x≤144；
当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4-h），即h＝40−，此时144＜x≤156．
∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快
【考点】函数模型的选择与应用
12.已知函数定义域是，则的定义域是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数定义域是可知，所以的定义域是
【考点】复合函数定义域
二、填空题
1.已知函数定义域是，则的定义域是________．
【答案】
【解析】由题意可知，函数
的定义域是
【考点】复合函数定义域
2.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f （x）＝________．
【答案】
【解析】当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1，
由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=
【考点】函数解析式的求解及常用方法
3.已知函数,则的值
是．
【答案】9
【解析】
原式的值为9
【考点】分组求和
4.给出以下四个命题: ①若函数的定义域为，则函数的定义域为
；
②函数的单调递减区间是
；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若
,且
,
．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号） 【答案】③④
【解析】：①若函数f （x ）的定义域为[0，2]， 由2x ∈[0，2]得：x ∈[0，1]，
即函数f （2x ）的定义域为[0，1]； 故错误； ②函数f （x ）=
的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞），故错误；
③∵集合P={a ，b}，Q={-1，0，1}， ∴满足f （b ）=0的映射共有：
，
，
共3个，
故正确；
④若f （x+y ）=f （x ）f （y ），则f （x+1）=f （x ）f （1）， 则
=f （1）=2，
又∵f （1）=2， ∴
；
故正确．
【考点】命题的真假判断与应用
三、解答题
1.已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）若,求函数在区间
上的最大值；
（2）若
,关于的方程
有且仅有一个根, 求实数的取值范围；
（3）若对任意
,不等式
均成立, 求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
；（3）
．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x 的方程f （x ）=k•g （x ）有且仅有一个根，即，有且只有一个根，令
，可得h
（x ）极大=h （2）=，h （x ）极小=h （1）=，进而可得当k ＞或0＜k ＜
时，k=h （x ）有且只有一个根；
（Ⅲ）设
，因为
在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f （x 1）-f （x 2）|＜g （x 2）-g （x 1）在x 1、
x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2恒成立，当a≥-（e x +2x ）恒成立时，a≥-1；当a≤e x -2x 恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a 的取值范围 试题解析：（1）当
时,
, 故
在
上
单调递减, 上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．
（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,
因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．
（3）不妨设,则恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立, 因此和均在上单调递增,
设,
则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而
在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时, , 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此
．综上述,．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性
2.设函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围．
【答案】（1）;（2）．
【解析】（1）在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x+2|和y=5的图象，结合图象写出：|x+1|+|x+2|-5≥0的解集，就是所求函数的定义域．（2）由题意知，x∈R时，|x+1|+|x+2|≥-a 恒成立，故，|x+1|+|x+2|的最小值大于或等于-a，从而得到a的取值范围
试题解析：（1）当时，，由得：
或或，解得：，
即函数的定义域为．
（2）依题意可知：恒成立，即恒成立，
而，，即的取值范围为
【考点】函数的定义域及其求法
3.已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的最小值；（2）要使f （x）≥0对任意的x∈R恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可得到结论
试题解析：（1）由题意，，由得，
当时，；当时，．
∴在单调递减，在单调递增，即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为
．
（2）对任意的恒成立，即在上，，
由（1）， 设，所以，由，得， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴在处取得极大值，， 因此的解为，∴． 【考点】函数恒成立问题与最值问题
4.销售甲、乙两种商品所得利润分别是（万元）和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式
，
．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资（万元）．求：
（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；
（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润达到最大值，最大值是多少？ 【答案】（Ⅰ）
，
（Ⅱ）给甲、乙两种商品分别投资
万元、
万元可使总利润达到最大值
万元
【解析】根据题意，对甲种品投（万元），商品投资（3-x ）万元）利用经验公式，
，求经甲、乙
两种商品的总润y 万元关x 的函数表达式；用配方法可求总利y 的最大值 试题解析：（Ⅰ）根据题意，得，
．…………………5分
（Ⅱ）．
∵
，∴ 当
时，即
，
时，
．
即给甲、乙两种商品分别投资万元、
万元可使总利润达到最大值
万元．……7分
【考点】函数模型的选择与应用
5.已知函数f （x ）满足f （x+y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时，有，且f （1）=﹣2 （1）求f （0）及f （﹣1）的值；
（2）判断函数f （x ）的单调性，并利用定义加以证明； （3）求解不等式f （2x ）﹣f （x 2+3x ）＜4．
【答案】（1）0,2（2）减函数（3）（﹣2，1）．
【解析】（1）令x=y=0求f （0）=0；再令x=-y=1得f （0）=f （1）+f （-1）；从而求解；（2）可判断函数f （x ）是R 上的减函数，利用定义证明；（3）由（2）知，f （2x ）﹣f （x 2+3x ）＜4可化为f （2x-x 2-3x ）＜f （-2）；从而得x 2+x-2＜0，从而解得
试题解析：（1）令x=y=0得， f （0）=f （0）+f （0）； 故f （0）=0； 令x=﹣y=1得，
f （0）=f （1）+f （﹣1）；
故f （﹣1）=f （0）﹣f （1）=2； （3分） （2）函数f （x ）是R 上的减函数，证明如下， 令x=﹣y 得，f （0）=f （x ）+f （﹣x ）； 故f （x ）=﹣f （﹣x ）；
任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，
则f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1）+f （﹣x 2） =f （x 1﹣x 2）=﹣f （x 2﹣x 1），
故由f （x 2﹣x 1）＜0知，﹣f （x 2﹣x 1）＞0， 从而得f （x 1）﹣f （x 2）＞0，
则函数f （x ）是R 上的减函数； （4分） （3）由（2）知，
f （2x ）﹣f （x 2+3x ）＜4可化为 f （2x ﹣x 2﹣3x ）＜f （﹣2）； 故x 2+x ﹣2＜0，
解得，x ∈（﹣2，1）． （5分）
【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；一元二次不等式的解法。