四边支承矩形薄板自振频率计算

四边支承矩形薄板自振频率计算
1. 基本假定及振动微分方程
弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。

板的振动理论是以以下几个假定为基础的：
1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。

这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。

2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。

3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。

在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：
022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂t
w
m y x w D y w D x w D （1） 等式中)
1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模
量和泊松比，h 为板的厚度。

微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1
y x W t B t A w m m m m m m ωω+=
∑
∞
=。

被表示
成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。

另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消
除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：022224444
4=-∂∂+∂∂+∂∂W m y
x W
D y W D x W D ω (2) 2. 边界条件
振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：
固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x x
W
； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0
==x W ，0)(022=∂∂=x x
W
；
自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((0
2333=∂∂∂-+∂∂=x y
x W
x W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：
（a ） （b ）
（c ） （d ）
（e ） （f ）
一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。

对于四边简支矩形板板，一对边简支，另两边任意的矩形板，可以采用的重三角级数和的单三角级数经典解法，但代数运算和数值计算都比较繁琐。

在工程应用时仍然不是很方便。

由于最低自振频率对应的振形比较易于假定。

因此能量法在工程中经常用来计算最低自振频率值。

本文采用能量法推导出不同边界条件下最低自振频率计算公式。

3.能量法
能量法是由提出的一个计算薄板最低自然频率的近似方法。

其基本原理如下：当板以某一圆频率ω及其振形),(y x W 进行自由振动时它的瞬时挠度可以表示成为：
),()sin cos (),,(y x W t B t A t y x w ωω+= （3）
这里研究自振频率为主，假定不受外荷载作用；薄板发生自由振动时，当板经过平衡位置时，我们有
1cos ,0sin ,0±===t t w ωω，速度达到最大值为W ω±，这时板的形变势能为零，动能达到最大值，即：
dxdy W m T 22max 2
1
ω⎰⎰=
（4） 当薄板振动距离平衡位置最远时，我们有0cos ,1sin ,=±=±=t t W w ωω，这时板的动能为零，而板的形变势能为最大，即：
⎰⎰⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂--∇=dxdy y x w y w x w w D U 2222222
2max )()1(2)(2ν （5）
按照格林定理：可以推导出
⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂dxdy y x w y w x w 222222)( ⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=dy y w x w dx y x w x w 222 （6） 对于一个矩形薄板没有自由边，而只有简支边和固支边，则在x 为常量的边界上有0=dx 及02
2=∂∂y w
，
在y 为常量的边界上有0=dy 及
0=∂∂x
w
，则（6）可简化为得到 ⎰⎰∇=
dxdy w D U 2
2max )(2
（7）根据能量守恒定理，最大动能等于最大势能，即 max max T U = （8）利用该等式就可以求出自振频率。

4. 矩形薄板自振频率计算公式推导
采用能量法在工程中计算最低自振频率。

一般来说，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中，已经用能量关系代替了平衡条件。

当然，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低自振频率可以具有较好的精度。

如果振形曲线是精确的，相应的振动频率也是精确值。

如果振形曲线是近似值，相应的频率也是近似值。

本文将根据假定振型函数推导6种不同边界条件的四边支承矩形板的自振频率计算公式 1）四边简支矩形板
四边简支板如图（a ）；取振形函数为提出的重三角级数：
b
x
n a x m C W mn n m ππsin sin
1
1
∑
∑
∞
=∞
== 可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件），代入公式（4）（7）可以得到
2112max 8
mn n m C ab
m T ∑
∑∞
=∞==
ω，
2222221
1
4max )(8
b
n a m C abD
U mn
n m +=
∑
∑∞
=∞
=π
求最低频率，可以令1==n m 由0max max =-T U 得到：
m
D
b a )11(
2
221+=πω。

四边简支板采用的振形函数是精确的，振形函数不仅能满足位移边界条件，还满足内力边界条件；计算得到的振动频率也是精确解。

2三边简支一边固支
三边简支一边固支如图（b ），振形函数b
y
x a ax x W πsin )32(3
3
4
+-=满足x=a 边固支，x=0，y=0，y=b
三边简支支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：
b a m T 92max
630419⨯=ω)352463019536(42
2
24445max b a b a b Da U ππ++= m
D
b a b a a )1261972436(1912614
4422221ππω++= 3 相邻边简支，另相邻边固支
相邻边简支，另相邻边固支如图（c ），取振形函数)32)(32(3343341y a ay y x a ax x C W +-+-=满足x=0，y=0相邻边简支，x=a ，y=b 相邻边固支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：
992
22max
630
219b a m T ⨯=ω )
351226305193663051936(2222
24455max
b a b a b Da U ⨯+⨯⨯+⨯⨯= m
D
b a b a a )
1331441(191266442221++=ω 4 一对边简支，一对边固支
一对边简支，一对边固支如图（d ），取振形函数)2cos
1(sin b
y
a
x
W ππ-=，满足x=0，x=a 边简支，y=0，y=b 边固支边界条件，由公式（4）（7）（8）得：
m
D
b a b a a 4
42222
1316381++=
πω 5．三边固支一边简支
三边简支一边固支如图（e ），取振形函数)2cos 1)(32(3
3
4
b
y
x a ax x W π-+-=满足x=0边固支，x=a ，y=0，y=b 三边简支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：
b
a m T 92max
630
4193⨯⨯=ω)
352426302191625336(22
224425max
b a b a b Da U ππ⨯+⨯⨯+⨯⨯=m
D
b a b a a
)6301523548554(194201
4
442222
1ππω++= 6.四边固支矩形板
四边固支矩形板如图（f ），矩形板的的边长分别为2a 和2b ，四边固支时振形函数为
......)()()(23221222222+++--=y C x C C b y a x W 假定只取一个系数，即2
222221)()(b y a x C W --=可
以满足位移边界条件，由公式（4）（7）（8）得：
9
9215max
7
2592b a m T ⨯⨯=ω
)74(72592)(22244551422
max b a b a b Da dxdy W D U b
b
a
a
++⨯⨯=∇=⎰
⎰
--m
D
b a b a a
)
741(2631
44222
1++=ω 对于四边固支矩形板还可以满足边界条件的采用振形函数)cos
1)(cos
1(1b
y
a
x
C W ππ++=求解自振频率。

m
D
b
a b a a 4
4
2222132334++=πω 通过上述分析，得到四边支承6种不同边界条件矩形板自振频率计算公式。

假定矩形边长a=b ，自振频率写为m
D
a
k f 22==
πω，不同边界条件下k 值如下表：。