2013-2014学年第1学期期末考试参考答案(A)

2013-2014学年第1学期期末考试参考答案(A)
学院： xxx 专业： xxxx 班级： xxx 科目： 实变函数
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、康托集0P 的测度0mP = 0 ，基数0P = c ，内部0P ︒=∅.
2、设1
[0,1](1,2,)n A n n =+=，则lim n n A →∞= [0,1] .
3、设n E R ⊂，如果对任意的n X R ⊂，都有*m X =**()()c m X E m X E +，则
称E 是可测集.
4、设{}k f 是E 上的一列非负可测函数，令1 1
()d k
E
k I f
x x ∞
==∑⎰，2 1
()d k E
k I f x x ∞
==∑⎰，
则1I 和2I 的大小关系是12I I =.
5、设1
,,,,(,)1()00,1p x p q Z p q p q q q f x x +⎧=∈<=⎪
=⎨⎪=⎩
且，，或(0,1)中的无理数, 则 1 0
()d f x x =⎰ 0 .
二、判断题（每小题3分，共15分）
三、叙述定理题（每小题5分，共10分）
1、鲁金(Lusin)定理.
设f 是E 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的0δ> ，存在闭集E E δ⊂，使得f 在E δ上连续且(\)m E E δδ< . 2、Fatou 引理.
设{}k f 是E 上的一列非负可测函数，则lim ()d lim ()d k k E E
k k f x x f x x →∞
→∞≤⎰⎰.
四、计算 1
7
22
0lim sin d 1k kx x k x →∞
+⎰
.（10分） 解
因为722lim
sin d 01k kx x k x
→∞=+……………………….（2分）
7
2kx kx ≤=，………………………….（4分）
在[0,1] 上L 可积，……………………………（6分）
由Lebesgue 控制收敛定理，………………………………（8分）
1
1177
2222 0 00lim sin d lim sin d 0d 011k k kx x kx x x k x k x →∞
→∞===++⎰
⎰⎰. 五、证明题（共45分）
1、设F 是闭集，G 是开集，则\F G 是闭集，\G F 是开集.（8分） 证 由于\c F G F
G = ，\c G F G
F =，所以\F
G 是闭集，\G F 是开集.
2、证明若(1,2,)i E i = 是n R 中的可测集，且 12i E E E ⊂⊂
⊂⊂
，则lim i i E →∞
可测且lim lim i i i i m E mE →∞
→∞
= . （12分）
证 令10\(1,2,,)i i i F E E i E -===∅ ………………………………………（2分）
则i F 是可测集，()i j F F i j ⋂=∅≠ ， …………………………………….（4分）
且1
1
lim i i i i i i E E F ∞
∞
→∞
===
=
从而，lim i i E →∞
可测，…………………………………（6分）
1
1lim i i i i i i m E m
F mF ∞
∞
→∞
====∑……………………………………………………….（8分）
1
11
1
(\)lim (\)k
i
i i i i i i m E E
m E E ∞
--→∞
===
=∑∑ ………………………………..（10分）
11
lim (
\)lim k
i i k k k i m E E mE -→∞
→∞
=== …………………………………………（12分）
3、设{}k f 是E 上的非负可测函数列，证明，如果 lim ()d 0k E
k f x x →∞=⎰，则函数列{}
k f 在E 上依测度收敛于0.（12分）
证 0σ∀> ，有1
[]()d k k E
mE f f x x σσ
≥≤
⎰
，……………(3分)
由于 lim ()d 0k E
k f x x →∞=⎰，从而有lim []0k k mE f σ→∞
≥=……………（7分）
所以lim [|0|]lim []0k k k k mE f mE f σσ→∞
→∞
-≥=≥=，即函数列{}k f 在E 上依测度收敛于
0……………………（10分）
4、叙述并证明Levi 定理.（13分）
叙述Levi 定理：设{}k f 是可测集E 上的单调递增的非负可测列，且
()lim ()()k k f x f x x E →∞
=∀∈ ，则()d lim ()d k E
E
k f x x f x x →∞=⎰⎰……………..（6分）
证 因为{}k f 单调递增，所以1(,)(,)k k G f E G f E +⊂，………………..（8分）
(,)lim (,)k k G f E G f E →∞
= …………………………………………………..（10分）
由于(,)lim (,)lim (,)k k k k mG f E mG f E m G f E →∞
→∞
==，………………………（12分）
所以()d lim ()d k E E
k f x x f x x →∞=⎰⎰…………………………………………...（13分）。