理论力学：_第12讲-第6章(1)a

中的投影
13
§6 - 1 矢量法 一、点的运动方程
z
M
动点M的位置由矢量 r 唯
r
一确定。
O
矢量 r ⎯⎯ M点的矢径。
x
y
M点运动时，r 为时间的函数：
r = r (t ) ⎯⎯矢量形式的运动方程
要求是单值、连续函数。
运动轨迹 矢径 r 的矢端曲线
14
矢量形式的运动方程
z
M
r = r(t)
要求是单值、连续函数。
6
简要复习
§5 - 4 滚动摩阻的概念 滚阻力偶的转向：
与相对滚动(趋势)的 转向相反。 滚阻力偶的大小：
静止时： 0 ≤ M ≤ M max
临界时： M = M max = δ FN 滚动时： M = M max = δ FN
7
理论力学
第二部分 运动 学
8
新课
引言
一、运动学的研究对象及任务
∵ 轮纯滚 ∴ OC = MC = rϕ = rω t
x = OA = OC − AC = rω t − r sinϕ 24
x = rω t − r sinϕ
y
= rω t − r sinω t
y = MA = r − r cos ϕ
= r − r cosω t
O1
ϕ
M
B
此即为M点的运动方程。 O A
s
M
弧坐标原点；
(-)
规定弧坐标的正方向;
O
动点M到原点的弧长 s 为M点的弧坐标。
z 运动方程
s = f (t ) 要求是单值、连续函数。 30
2. 自然轴系 z 密切面
平面曲线的密切面？
P点的切线与 P '点的切线(移到 P点)所决定的平 面，当 P ' → P时 的极限位置
⎯ P点的密切面31 。
所以:
本章研究点相对于一个参考系的运动规律。 包括: 点的运动轨迹, 运动方程, 速度和加速度。 运动方程：描述物体的空间位置随时间的变化
规律的数学方程。
本章内容： §6 -1 矢量法
§6 - 2 直角坐标法
§6 - 3 自然法
§6 - 4 点的速度和加速度在柱坐标
和极坐标中的投影
§6 - 5 点的速度和加速度在球坐标
=
d2 x d t2
=
&x&
ay
=
d vy dt
=
d2 y d t2
=
&y&
az
=
d vz dt
= d2 z d t2
= &z&
22
ax
=
d vx dt
=
&x&,
ay
=
d vy dt
=
&y&,
az
=
d vz dt
=
&z&
加速度的大小 a = a2x + a2 y + a2z
加速度的方向
∧
cos( a, i )
M－ 空间曲线上的动点; T － 曲线在点M的切线
(+)
(在密切面内)，其
正向指向弧坐标正
bn
(-)
Mτ
T(切线)
N
－
向； 密切面内垂直于切
线的直线，其正向
z 自然轴系的基矢量
其中: b = τ × n
指向曲率中心; B － 过动点M垂直于切
线和主法线的直33线.
z 自然轴系的特点 坐标原点跟随动 点在轨迹上作空 间曲线运动，坐 标轴的方向不断 变化。
34
z 求 dτ
Δϕ τ Δs
ds
dτ ds
= dτ
dϕ
⋅ dϕ
ds
M
Δτ M’ τ´
τ´
(+)
而:
dϕ = 1 ds ρ
为M处的曲率，ρ为曲率半径。
d τ 大小:
dϕ
d τ = lim Δτ = lim Δτ
dϕ Δϕ→0 Δϕ Δϕ→0 Δϕ
2 τ sin Δϕ
sin Δϕ
= lim Δϕ →0
时，此平面即为密切
Δϕ τ
M
τ´
Δs
Δτ M’ τ´
面；
(+)
2. 当 △ϕ → 0 时， △τ → 与 τ 垂直。 36
dτ ds
= dτ
dϕ
⋅ dϕ
ds
dτ
dϕ
dϕ = 1 ds ρ
Δϕ τ
M
τ´
Δs
Δτ M’ τ´
(+)
大小: d τ = 1
dϕ
沿
方向: 1. △τ 在 τ 和 τ’ 决定的平面内，
dt dt dt
dt
21
三、点的加速度 v = vxi + vy j + vz k
a = d v = d vx i + d vy j + d vz k
dt dt dt
dt
=
d2 x d t2 i
+
d2 y d t2
j
+
d2 z d t2
k
又
a = axi + ay j + azk
所以
ax
=
d vx dt
−
ϕ
)
2
a O1
ϕ
M
B
即：加速度的方向指向轮心。O
A
C
x
小结 列点的运动方程的步骤：
1 建立坐标系（与参考体固连）；
2 将点放在一般位置（正向一般位置）；
3 根据几何关系写出坐标；
4 表示成时间的函数。
29
§6 - 3 自然法
用自然法的条件：轨迹已知。
自然法也称为弧坐标法。 (+)
1. 弧坐标
在轨迹上任选一点O为
=
z&
20
vx
=
dx dt
=
x&
vy
=
dy dt
= y&
vz
=
dz dt
=
z&
速度的大小 v = vx2 + vy2 + vz2
速度的方向
∧
cos(v, i) =
vx
,
∧
cos(v, j) =
vy
,
∧
cos (v, k )
=
vz
v
v
v
三、点的加速度 v = vxi + vy j + vz k
a = d v = d vx i + d vy j + d vz k
θ ≤ ϕf
螺纹的自锁条件
θ
5
简要复习
§5 - 3 考虑摩擦时物体的平衡问题
有摩擦时的平衡问题的两种情况： 1 F < F max ， 摩擦力未达到最大值，系统处 于平衡状态的情况。这时与求一般的约束反力 的情况相同。 摩擦力的方向可以假设。
2 F = F max ， 或 F ≤ F max 时，系统处于(或 可能处于) 临界平衡状态的情况。摩擦力的方 向不能假设，必须根据接触面间的相对滑动趋 势预先判定。若可能的相对滑动趋势超过一种 则必须分别求解。
理论力学
第六章 点的运动学
（1）
Lecture 12
2
简要复习
§5 - 2 摩擦角与自锁现象 1 摩擦角
当摩擦力达到最大静摩
Fmax
擦力时，全反力FRA与法
线之间的夹角ϕf , 称为
ϕf
摩擦角。
tan ϕf = fs
FN FRA
摩擦角是全反力与法线间夹角的最大值。
用摩擦角表示的平衡条件是：
1．研究对象 点 或 刚体。
2. 运动学的任务 (1) 研究物体在空间的位置随时间变化的几何
性质；
包括：研究点的运动轨迹、速度、加速度；
刚体的角速度、角加速度,刚体上各点的速
度、加速度等；
(2) 提出对物体进行运动分析的一般方法。
研究运动的分解与合成的规律。
9
(2) 提出对物体进行运动分析的一般方法。 研究运动的分解与合成的规律。
矢量法的特点：直观， 公式简洁。适于推导公 式。但，用于定量分析 不方便。
v
M'
Δ v v'
y
17
§6 - 2 直角坐标法
一、点的运动方程
用点的直角坐标 x, y, z描
述点的位置, 则运动方程
为 x = f1(t)
y = f2(t)
z = f3(t)
轨迹方程
要求是单值、连续函数。
消去上式中的参数时间 t , 可得到点的轨迹方程:
2 = lim 2 = 1
Δϕ
Δϕ →0 Δϕ / 2 35
d τ 大小:
dϕ
d τ = lim Δτ = lim Δτ
dϕ Δϕ→0 Δϕ Δϕ→0 Δϕ
Δϕ
2 τ sin
sin Δϕ
= lim Δϕ →0
2 = lim 2 = 1
Δϕ
Δϕ→0 Δϕ / 2
方向:
1. △τ 在 τ 和 τ’ 决定的 平面内，当△ϕ → 0
r
运动轨迹 矢径 r 的矢端曲线
O
二、点的速度
y x
位移矢量: Δr = r′ − r
v
M
速度:
v = lim Δr = d r = r& Δt →0 Δt d t
M'
Δr r
r'
速度的方向: 沿轨迹的切线方向 O 15
速度:
v = lim Δr = d r = r& Δt →0 Δt d t
速度的方向: 沿轨迹的切线方向
ϕ
B
2
22
O
A
C
x
即：速度的方向指向最高点D点。
3 求加速度
ax = &x& = rω2 sinω t ay = &y& = rω2 cosω t
vx = rω − rω cosω t vy = rω sinω t
27
3 求加速度
vx = rω − rω cosω t
ax = &x& = rω2 sinω t vy = rω sinω t
Φ(x, y) = 0
Ψ (y, z) = 0
18
轨迹方程 消去上式中的参数时间 t , 可得到点的轨迹方程:
二、速度
Φ(x, y) = 0 Ψ (y, z) = 0
矢径： r = xi + yj + zk
由矢量法
v = d r = d x i + d y j+ d z k dt dt dt dt
又
v = vxi + vy j + vzk
19
二、速度
矢径： r = xi + yj + zk
由矢量法 v = d r = d x i + d y j + d z k dt dt dt dt
又
v = vxi + vy j + vzk
所以
vx
=
dx dt
=
x&
vy
=
dy dt
= y&
vz
=
dz dt
运动学仅研究运动的几何性质， 不涉及物体运动的物理原因。
二、学习运动学的目的 1 为学习动力学打基础； 2 为学习机械原理和设计传动机构打基础。
三、参考系 运动的相对性；
讲到运动，必须指明参考物体；
10
三、参考系 运动的相对性； 讲到运动，必须指明参考物体； 与参考体相固连的坐标系 ⎯⎯ 参考系。
C
x
2 求速度 vx = x& = rω − rω cosω t
vy = y& = rω sinω t
速度大小 v =
vx2
+
v
2 y
=
rω
2(1− cosω t)
= 2rω sin(ω t / 2) (0 ≤ ω t ≤252π )
vx vy
= =
rω rω
− rω cos sinω t
ω
t
速度大小 v = 2rω sin(ω t / 2) (0 ≤ ω t ≤ 2π )
z 关于密切面的几点结论 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是
唯一的。 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段曲
线，可以看作是位于该点的密切面内的平面 曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲
率，用 k 或 1/ρ 表示。
32
z 自然轴系
自然轴系 M－TNB
B(副法线) N(主法线)
ay = &y& = rω2 cosω t y
加速度的大小
a O1
a=
ax2
+
a
2 y
= rω 2= 常数
M
ϕ
B
加速度的方向
cos(a, x) = ax = sinϕ
O A
C
x
=
aπ
cos(
−
ϕ
)
即：加速度的方向 指向轮心。
2
28
加速度的方向
y
Βιβλιοθήκη Baiducos(a, x) = ax = sinϕ
=
aπ
cos(
0 ≤ ϕ ≤ ϕf
3
简要复习
2 自锁现象 由摩擦角的性质可知： z 自锁 当全部主动
力的合力的作用线在 摩擦角的范围内时， 无论这个力有多大， 物体必定保持平衡。
z 不自锁
当全部主动力的合力的作用线在摩擦角的范围以 外时，无论主动力有多小，物体必定不能平衡。
4
简要复习
z 斜面自锁条件 斜面自锁条件:
v
M M'
Δr r
r'
三、点的加速度
a = lim Δv = d v
Δt→0 Δt d t
=
d 2r d t2
=
r&&
O zM
v'
v
M'
Δ v v'
O
y
x
16
三、点的加速度
zM
a = lim Δv = d v
Δt→0 Δt d t
=
d 2r d t2
=
r&&
v'
O
加速度的方向:
x
沿速度矢端图的切线方向。
n
当△ϕ → 0 时，此平面即为密切面； 的
所以:
2.
当 △ϕ → 0 时， △τ → 与 τ 垂直。
dτ
dϕ
=
±n
dτ = 1 n
ds ρ
方 向
37
方向: 1. △τ 在 τ 和 τ’ 决定的平面内，
沿
当△ϕ → 0 时，此平面即为密切面；
n 的
2. 当 △ϕ → 0 时， △τ → 与 τ 垂直。 方
=
ax
a
cos(
∧
a, j)
=
ay
a
cos(
∧
a, k )
=
az
a
23
例 1 (书例 6 - 6 )
y
已知：轮纯滚，半径为
r, ϕ = ω t , ω = 常数。
求：轮缘上点M的运动 M
O1
ϕ
B
方程、速度、加速度。 O
解: 建立如图的坐标系。 A
C
x
设 t = 0 时，M点与原点O重合。
1 运动方程
运动学的具体内容运动学的具体内容第六章点的运动学第七章刚体的简单运动第八章点的合成运动第九章刚体的平面运动12运动学的具体内容运动学的具体内容第六章点的运动学第七章刚体的简单运动第八章点的合成运动第九章刚体的平面运动第ii册第五章刚体绕定点运动自由刚体运动刚体转动的合成13第六章点的运动学本章研究点相对于一个参考系的运动规律
运动学的具体内容
第六章 点的运动学 第七章 刚体的简单运动 第八章 点的合成运动 第九章 刚体的平面运动
11
运动学的具体内容
第六章 点的运动学 第七章 刚体的简单运动 第八章 点的合成运动 第九章 刚体的平面运动 第(II)册第五章
刚体绕定点运动、自由刚体 运动、刚体转动的合成
12
第六章 点的运动学
速度方向
cos(v, x) = vx =
1− cosϕ
y
v 2sin(ϕ / 2)
v
= sin ϕ = cos( π − ϕ ) M
2
22
O
Dϕ
2
O1
ϕ
B
A
C
x
即：速度的方向指向最高点D点。
26
cos(v, x) = vx = 1− cosϕ y v 2sin(ϕ / 2)
v
Dϕ
2
O1
= sin ϕ = cos( π − ϕ ) M